Compléments d’Algèbre Université de Nice 2020-2021
Formes quadratiques
Exercice 1. On se donne dans R3 les familles suivantes de formes linéaires.
Déterminer dans chaque cas si ces familles sont linéairement indépendantes.
1. l1(x1, x2, x3) =x1 +x2, l2(x1, x2, x3) =x2+x3, l3(x1, x2, x3) =x1 +x3. 2. l1(x1, x2, x3) =x1 +x2+x3, l2(x1, x2, x3) = x2+ 2x3, l3(x1, x2, x3) = 7x3. 3. l1(x1, x2, x3) =x1 + 2x3, l2(x1, x2, x3) = x1+x2, l3(x1, x2, x3) =x2−2x3. Exercice 2. Donner les matrices associées aux formes quadratiques suivantes.
Les décomposer en sommes de carrés de formes linéaires en utilisant la méthode de Gauss. En déduire leur signature.
1. q:R3 →R q(x, y, z) = xy+ 2xz+ 5yz,
2. q:R3 →R, q(x, y, z) =x2+y2+ 2z(xcosα+ycosβ),
3. q:R4 →R, q(x, y, z, t) = x2 + 3y2+ 4z2+t2+ 2xy+xt+yt.
Exercice 3. Soit ϕ l’application
M2,2(R)× M2,2(R)→R, (A, B)7→tr(tAB),
oùtr désigne la trace d’une matrice carrée d’ordre 2, c’est-à-diretr(A) =a11+a22 avec A= (aij).
1. Vérifier que ϕ est une application bilinéaire symétrique.
2. Donner la matrice associée à ϕ dans la base canonique Eij de M2,2(R), où Eij ∈ M2,2(R) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient sur la i-ème ligne et j-ème colonne, qui vaut 1.
3. En déduire le rang et la signature de la forme quadratique associée à ϕ.
Exercice 4. Discuter suivant la valeur du nombre réel a le rang et la signature de la forme quadratique qa définie par
qa :R3 →R, qa(x, y, z) =x2+ (1 +a)y2+ (1 +a+a2)z2 + 2xy−2ayz.
Exercice 5. Soient a etb des réels etϕ:R2×R2 →R la forme bilinéaire définie par
ϕ((x1, x2),(y1, y2)) =x1y1 + 4x1y2+bx2y1+ax2y2. 1/3
1. Pour quelles valeurs de b la forme bilinéaire ϕ est-elle symétrique ?
2. Déterminer la signature de la forme quadratique q associée à ϕen fonction de a.
Exercice 6. Soitn >1. SoitRn[X]l’espace vectoriel des polynômes en la variable X de degré inférieur au égal à n et soient a0, a1, . . . , an des réels distincts. On considère l’application
q:Rn[X]→R, q(P) =
n
X
i=0
P(ai)2.
1. Montrer que q est une forme quadratique et donner sa forme bilinéaire as- sociée.
2. Montrer que q est définie positive.
Exercice 7. On munit R2 et R3 du produit scalaire usuel. Réduire en base or- thonormée les formes quadratiques suivantes :
1. q(x1, x2) = x21+ 10x1x2+x22 2. q(x1, x2) = 6x21+ 4x1x2+ 9x22
3. q(x1, x2, x3) = 41x21−25x22+ 34x23−24x1x3
Exercice 8. Soit E l’espace vectoriel des applications linéaires de R2 dans R2. Pour λ, µ∈R on définit l’application
∀f ∈E q(f) =λtr(f2) +µdet(f).
1. Vérifier que q est une forme quadratique sur E en l’exprimant en fonction des coefficients de la matrice représentant f dans la base canonique de R2. 2. Déterminer en fonction de λ et µ le rang et la signature de q. Analyser en
particulier les cas (λ, µ) = (1,0) et (λ, µ) = (0,1).
Exercice 9. Soient M1 et M2 deux matrices symétriques réelles avec M1 définie positive. D’après le cours il existe une matrice inversible S tel que
tSM1S = Id et tSM2S = Diag(λ1, . . . , λn).
Montrer que les coefficients diagonaux λi sont les racines du polynôme P(t) = det(M2−tM1)et que la i-ème colonne de S, notéeSi, vérifie Si ∈ker(M2−λiM1) et tSiM1Si = 1.
Exercice 10. En utilisant l’exercice 9, diagonaliser simultanément les deux formes quadratiques sur R2
q1(x1, x2) = 3x21+ 6x22, q2(x1, x2) =−2x21+x22−10x1x2,
c’est-à-dire trouver deux formes linéaires l1, l2 sur R2 et des coefficients réels αij tel que
q1 =α11l21+α12l22, q2 =α21l21 +α22l22. 2/3
Exercice 11. En utilisant l’exercice 9, diagonaliser simultanément les deux formes quadratiques sur R2
q1(x1, x2) = 3x21+ 6x1x2+ 9x22, q2(x1, x2) = 2x21+ 11x22+ 14x1x2,
c’est-à-dire trouver deux formes linéaires l1, l2 sur R2 et des coefficients réels αij tel que
q1 =α11l21+α12l22, q2 =α21l21 +α22l22.
3/3
