Fonctions convexes

(1)

MPSI-Maths Fontionsonvexes myismail.hez.om

HighTeh Prépas,Rabat

Résumé de ours:

Fonctions convexes

9février2010

Blague du jour :

Bonjour,vousavezrejointlamessagerievoaled'aidepsyhiatrique.

-Si voustesdépressif,lenumérosurlequelvousappuierezestsansimportane,personnenerépondra.

-Si vousêtesunompulsifàlarépétition,rarohezet reomposez.

-Si vousêtesunagressif-passif,mettez-nousenattente.

-Si vousêtesantisoial,arrahezletéléphonedumur.

-Si vousavezdesdiultés d'attention,nevousoupezpasdesinstrutions.

Mathématiien du jour Taylor

BrookTaylor(1685-1731)estunéletiquehommedesienesanglais.Ils'intéressa

aux mathématiques, à la musique, la peinture et la philosophie. Il ajouta aux ma-

thématiques une nouvelle branhe appelée alul de diérenes nies , inventa

l'intégrationparpartie,etdéouvritlessériesappeléesdéveloppementdeTaylor.

Danstout lehapitreononsidère

I = [a, b]

^un^segment^de

R

,et

f ∈ F (I, R )

^.

Dénition1 Ondit que

f

^est^onvexe^sur

I

^si^et^seulement ^si

∀(x, y) ∈ I ² , ∀λ ∈ [0, 1]

^on ^a^:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f (y)

^.

Théorème 1

f

^est^onvexe ^sur

I

^si^et^seulement^si

∀n ∈ N ^∗ , (x ⁱ ) ₁ ≤ i ≤ n ∈ I ⁿ , ∀(λ ⁱ ) ₁ ≤ i ≤ n ∈ [0, 1] ⁿ

^on ^a^:

f

n

X

i =1

λ i x i

!

≤

n

X

i =1

λ i f (x ⁱ )

Théorème 2

f

^est^onvexe^sur

I

^si^et^seulement ^si^les^ordes^de

f

^,^(segments^qui^joignent^deux

pointsde laourbesde

f

⁾^sontâu^dessus^deêtteôurbe.Âutrement^dit^:

f (x) ≤ f (b) − f (a) b − a (x−

a) + f (a) ∀x ∈ [a, b]

^.

Théorème 3

f

^est^onvexe^sur

I

^siêt^seulement^si^les^pentes^desôrdes^dontôn^xeûneêxtrémité

sontroissantes.Autrementdit:Lafontion

ϕ a : x 7→ f (x) − f (a)

x − a

^est ^roissante.

Théorème 4 Si

f

^est^de^lasse

C ¹

^sur

I

^,^alors^:

f

êstônvexe^siêt^seulement^si

f ^′

^est^roissante.

Dans easlestangentes de

f

^sont^situes^en ^dessous ^de ^sa^ourbe.

Autrement dit:

f ^′ (a)(x − a) + f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b]

^.

Théorème 5 Si

f

^est ^de ^lasse

C ²

^sur

I

^,^alors ^:

f

êst ônvexe^siêt^seulement ^si

f ” ≥ 0

^.

Fonctions convexes

Fonctions convexes

I = [a, b]

R

f ∈ F (I, R )

f

I

∀(x, y) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1]

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f (y)

f

I

∀n ∈ N ∗ , (x i ) 1 ≤ i ≤ n ∈ I n , ∀(λ i ) 1 ≤ i ≤ n ∈ [0, 1] n

f

n

X

i =1

λ i x i

!

≤

n

X

i =1

λ i f (x i )

f

I

f

f

f (x) ≤ f (b) − f (a) b − a (x−

a) + f (a) ∀x ∈ [a, b]

f

I

ϕ a : x 7→ f (x) − f (a)

x − a

f

C 1

I

f

f ′

f

f ′ (a)(x − a) + f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b]

f

C 2

I

f

f ” ≥ 0

Fin

à la prochaine

∀(x, y) ∈ I ² , ∀λ ∈ [0, 1]

∀n ∈ N ^∗ , (x ⁱ ) ₁ ≤ i ≤ n ∈ I ⁿ , ∀(λ ⁱ ) ₁ ≤ i ≤ n ∈ [0, 1] ⁿ

λ i f (x ⁱ )

C ¹

f ^′

f ^′ (a)(x − a) + f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b]

C ²