Fonctions convexes

MPSI-Maths Fontionsonvexes myismail.hez.om

HighTeh Prépas,Rabat

Feuille d'exeries:

Fonctions convexes

9février2010

Blague du jour :

•

^{Mamieditàsonpetit-ls:}

-Puisque 'esttonanniversaire,jevaiste faireungâteauavedouzebougies!

-Tusais,Mamie,equejepréférerais,'estquetumefassesdouzegâteauxaveune

une bougie.

•

^{Entreunhommequiaunmilliarddedirhams,etunhommequia10enfantsenfants,}

quel est elui qui est leplus satisfait? -C'est l'hommequi est père de dix enfants.

Celuiqui aunmilliarddedirhamsenveutenoreplus.

Mathématiien du jour Cauhy

AugustinLouis,baronCauhy(1789-1857),estunmathématiienfrançais.CatholiqueferventetRoyaliste

légitimiste,sespositionspolitiquesetreligieusesluivalutnombred'oppositions.

IlestaprèsLeonhardEulerl'undesmathématiienslesplusproliques.Sestravauxdereherheouvrent

l'ensembledesdomainesmathématiques.Onluidoitnotammentenanalysel'introdutiondesfontions

holomorphesetdesritèresdeonvergenedessériesetdessériesentières.Sestravauxsurlespermutations

furentpréurseursdelathéoriedes groupes.En optique,onluidoitdestravauxsurlapropagation des

ondes életromagnétiques.Toutefois lanégligenedont t preuve Cauhy enversles travauxd'Évariste

GaloisetdeNiels Abel,perdantleursmanusrits,aependantentahésonprestige.

Touteslesfontionsonsidéréessontdansettefeuilled'exeriedelasse

C ²

^.

Exercice 1

^Soient

^x 1 , x 2 , . . . , x n > 0

^.

Montrerque:

x 1

x 2

+ x 2

x 3

+ · · · + x n

x 1

≥ n

^.

Exercice 2

^Soit

^{f : R −→ R}

^onvexe.

Montrerquel'on a:

Soit

f

^roissantesur

R

. Soit

f

déroissante sur

R

.

Soitil existe

a ∈ R

telque

f

^estdéroissante sur

] − ∞, a]

^{,puis roissante sur}

[a, +∞[

^.

Exercice 3

^.

1) Soit

f : R ⁺ −→ R

onvexeetborne.Montrer que

f

^estdéroissante.

2) Soit

f : R −→ R

onvexeetborne.Montrer que

f

^estonstante.

Exercice 4

^Soit

^f : R ^∗ ₊ −→ R

onvexeet

g : R ^∗ ₊ −→ R

anetellesque:

∀ x > 0, f (x) ≤ g(x)

et

f (1) = g(1)

^.

Montrerque:

f = g

Exercice 5

^Soit

^{f : R −→ R}

^{onvexetelleque}

^{C f}

^{admet une asymptote d'équation}

^{y = mx + p}

en

+∞

^.

Montrerque

C f

^{est audessusde etteasymptote.}

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Exercice 6

^Soit

^{f : R −→ R}

^{onvexedérivable.}

Montrerque

f ^′

^estontinue.

Exercice 7

^Soit

^{f : R −→ R}

^{deuxfoisdérivable telleque:}

^{f ≤ 0}

^,

^{f ′ ≤ 0}

^,

^{f ′′ ≤ 0}

^.

1) Étudier l'existenedes limites(dans

R ∪ {∓ß}

^)en

+ß

^de

f (x)

^,

f ^′ (x)

^,

f (x) x

^.

2) Mme question pourleslimites en

−ß

^de

f (x)

^,

f ^′ (x)

^,et

xf ^′ (x)

^.

Exercice 8

^Soit

f : [a, b] → R

ontinuetelle que:

∀ x, y ∈ [a, b], f

x + y 2

≤ f (x) + f (y)

2

^.

Montrerque

f

^estonvexe.

Exercice 9

^Soit

^{f : [a, b] −→ [c, d]}

^{onvexe, bijetive,roissante.}

Onpose:

a ≤ u 0 = u ≤ v 0 = v ≤ b u n+1 = u n + v n

2 v n+1 = f ^{− 1}

f (u n ) + f (v n ) 2

Montrerque

(u n )

^et

(v n )

^{onvergent versune mmelimite.}

Exercice 10

^Soit

^{f : R −→ R ∗} +

^.

Montrerque:

ln f

^{est onvexe}

⇐⇒ ∀α > 0

^,

f ^α

^{est onvexe.}

Exercice 11

^.

1) Soit

f : R −→ R

onvexedérivable.

Montrer que

p = lim

+ ∞→ ( f (x) − xf ^′ (x))

^existe.

2) On suppose

p

^{ni. En utilisant le fait que}

f (x) − xf ^′ (x)

^{est borne au voisinage de}

+∞

^,

montrerque

f (x)

x

^et

f ^′ (x)

^{admettentune mêmelimite}

m

^{nie en}

+∞

^.

3) Montrer alors que

lim

+ ∞→f (x) − mx − p = 0

^.

Exercice 12

^{Étant donnéunefontion}

^f

^onvexesur

^R

^etunefontion

^g

^{onvexeet roissante}

sur

R

,montrer que

g ◦ f

^estonvexe.

Exercice 13

^Soit

^f : [0, +∞[−→ R

deuxfoisdérivable telleque

lim

+ ∞→f (x) = f (0)

^.

Montrerqu'ilexiste

c ∈ ]0, +∞[

^telque

f ^′′ (c) = 0

^.

Exercice 14

^Soit

^f : [0, +∞[−→ [0, +∞[

^onave.

1) Montrer quela fontion

x 7−→ f (x)

x

^estdéroissante sur

]0, +∞[

^.

Indiation:Utiliser la monotoniede la fontion:

ϕ : x 7→ f (x) − f (0) x − 0

^.

2) Montrer que:

∀ x, y ≥ 0, f (x + y) ≤ f (x) + f (y)

^.

Indiation:Utiliser la dénitionde la onvexité ave

t = x

x − y < 0

^.

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Exercice 15

^{Constante d'Euler.}

Soit

f : [0, +∞[−→ R

onave,dérivable,roissante.

1) Montrer que:

∀ x ≥ 1, f (x + 1) − f (x) ≤ f ^′ (x) ≤ f (x) − f (x − 1)

^.

2) Onpose:

u n = f ^′ (1) + f ^′ (2) + · · · + f ^′ (n) − f (n) v n = f ^′ (1) + f ^′ (2) + · · · + f ^′ (n) − f (n + 1)

Montrer queessuitesonvergent.

3) Onprend

f (x) = ln x

^.Soit

γ = lim

x→ + ∞ u n

^{(onstante d'Euler).}

Caluler

γ 10 ^{− 2}

^près.

Exercice 16

Caratérisation des fontions onvexes ou onaves par le TAF.

Soit

f : R −→ R

dérivable telleque :

∀ a, b ∈ R

telque

a < b, ∃! c ∈]a, b[

^telque

f (b) − f (a) = (b − a)f ^′ (c)

^.

1) Montrer que pour tout

a ∈ R

,la fontion

b 7−→ f (b) − f (a)

b − a

^{estmonotone sur}

] − ∞, a[

^et

sur

]a, +∞[

^.

2) Endduire que

f

^{eststritement onvexeoustritementonave.}

Exercice 17

Pseudo-drive seonde.

Soit

f : R −→ R

ontinue.Onsupposeque:

∀ x ∈ R D ² f (x) = lim

h→ 0

f (x + h) + f (x − h) − 2f (x)

h ²

^existe.

1) Si

f

^{estde lasse}

C ²

^,aluler

D ² f (x)

^.

2) Soit

f

^quelonqueet

a < b < c

^{tels que}

f (a) = f (b) = f (c)

^.

Montrer qu'ilexiste

x ∈ ]a, c[

^telque

D ² f (x) ≤ 0

^.

Indiation:Prendre

x

^telque

f (x)

^{soit maximal.}

3) Onsupposeàprésent que:

∀ x ∈ R , D ² f (x) ≥ 0

^.

a) Soient

a < b < c

^et

P

^{lepolynme de degréinférieur ouégal 2oïnidant ave}

f

^aux

points

a, b, c

^.Montrerque

P ^′′ ≥ 0

^.

b) Caluler

P ^′′

^{en fontionde}

a, b, c

^et

f (a), f (b), f(c)

^{.Endéduire que}

f

^{est onvexe.}

Exercice 18

^{Inégalités en vra}

1) Montrer que:

∀x ∈ R , e ^x ≥ 2e ^{x 2}

^.

2) Soit

n ∈ N ^∗

.Montrerque:

∀x ∈ R ₊ , x ⁿ⁺¹ − (n + 1)x + n ≥ 0

^.

3) Soit

x ∈]1, +∞[

^et

n ∈ N ^∗

.Montrer que:

x ⁿ − 1 ≥ n

x ^{n+1 2} − x ^{n− 2 1}

.

Exercice 19

^Moyenne arithmio-géométrique, harmonique.

Soit

x 1 , . . . , x n n

^{réels stritement positifs. On dénit leur moyennes} arithmétique, géométrique etharmonique par :

a = 1 n

n

X

k=1

x k , g = ⁿ v u u t

n

Y

k=1

x k , 1 h = 1

n

n

X

k=1

1 x k

Montrerque:

h ≤ g ≤ a

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Exercice 20

^{Inégalités de Hölder, Minkowski et} Cauhy-Shwarz.

Soit

p

^et

q

^{deuxréelsstritement supérieurs}

1

^{tels que:}

1 p + 1

q = 1

^Soit

x 1 , . . . , x n

^et

y 1 , . . . , y n

desréelspositifs.

1) Lebutde ettequestion estde montrerque :

n

X

k=1

x k y k ≤

n

X

k=1

x ^p _k

! ¹ _{p n} X

k=1

y ^q _k

! ¹ _q

(Inégalitéde Hölder.)

a) Montrer que:

∀x, y ∈ R ^∗ xy ≤ x ^p p + y ^q

q

Indiation :Onpourrautiliserla onavité dela fontion

ln

^.

b) Montrer lerésultat demandé lorsque:

n

X

k=1

x ^p _k = 1

^et

n

X

k=1

y _k ^q = 1

) Endéduire leasgénéral.

d) Endéduire que:

n

X

k=1

x k y k

! 2

≤

n

X

k=1

x ² _k

! _n X

k=1

y ² _k

!

(Inégalitéde Cauhy-Shwarz.)

2) Montrer que:

n

X

k=1

(x k + y k ) ^p

! ¹ _p

≤

n

X

k=1

x ^p _k

! ¹ _p +

n

X

k=1

y ^p _k

! ¹ _p

(Inégalitéde Minkowski.)

Fin

à la prochaine