Pour ce devoir, vous devez rendre chacun(e) une copie (différente ...). Il vous est demandé de rédiger d’une part la dernière question que vous êtes parvenu(e) à traiter parmi les vingt premières (exercices 1 à 3), et ce en sautant éventuellement des questions. D’autre part vous rédigerez, parmi toutes les autres questions que vous êtes parvenu(e) à traiter celle qui vous semble la plus importante conceptuellement dans le problème et qui reflète donc la difficulté principale du sujet.
Je vous demande également une déclaration d’intention au sens suivant : si vous êtes motivé(e) par une classe étoilée, vous devez rédiger l’exercice 4 ou au moins donner des pistes sur ces questions. Si, au contraire, vous ne comptez pas demander de classe étoilée, merci de ne pas les rédiger.
Enfin, soignez la rédaction, d’autant qu’elle devrait être relativement courte !
Une partieX deR2 est dite convexe si, pour tous pointsaetbdeX, le segment[a;b]est inclus dansX, i.e. pour tout tdans[0; 1],(1−t)a+tb appartient àX.
On s’intéresse aux fonctions convexes. Soitf une fonction deI dansR, avecI convexe (c’est-à- dire que I est un intervalle). On appelle graphe def l’ensemble des points du plan de la forme (x, f(x)) avec x ∈ I et on appelle épigraphe de f l’ensemble A(f) des points du plan situés au-dessus du graphe def, i.e.
A(f) ={(x, y)∈I×R|y≥f(x)}.
On dit que f est convexe (sur I) si A(f) est convexe et on dit que f est concave si −f est convexe.
Dans la suiteI désignera un intervalle de R.
Exercice 1 Fonctions affines et fonctions convexes
1. Montrer quefest convexe si et seulement si, pour tousxetydeIet toutzdans le segment [x;y], le point du graphe de f correspondant à z est au-dessous du segment joignant les points du graphe def correspondant àx ety.
2. Montrer qu’il est équivalent de dire :
∀(x, y)∈I2, ∀t∈[0; 1], f((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x) +tf(y).
3. Montrer que, pour tous(xi)1≤i≤ndansI tous(αi)1≤i≤nréels strictement positifs de somme 1 (i.e.Pn
i=1αi= 1), on af(Pn
i=1αixi)≤Pn
i=1αif(xi).
4. Montrer que toute combinaison linéaire à coefficients strictement positifs de fonctions convexes surI est une fonction convexe sur I.
5. Montrer que toute fonction affine est convexe surI. (On rappelle qu’une telle fonction est de la formex7→ax+b avecaetb réels.)
6. Soitf une fonction définie comme limite de fonctions, i.e.∀x∈I,f(x) = limn→+∞fn(x).
Montrer que si les fonctions fn sont convexes surI, alors f l’est aussi.
7. Soit f une fonction définie comme enveloppe supérieure de fonctions, i.e. ∀x ∈I,f(x) = sup{fa(x)|a∈R}. Montrer que si les fonctionsfasont convexes surI, alorsf l’est aussi.
8. Montrer que toute fonction qui est enveloppe supérieure de fonctions affines est convexe.
Exercice 2 Fonctions puissances
1. Soitr ≥1, montrer sup{tr−1(t+r(1−t))|t∈R∗+}= 1.
2. Soit r ≥1 et fa la fonction définie sur R∗+ parfa(x) = ar−1(a+r(x−a)). Montrer que sup{fa(x)|a∈R∗+}=xr.
3. En déduire que, pour r≥1, la fonction ϕr :x7→xr est convexe surR∗+. 4. Que dire de ϕr pour r <1?
5. Montrer que, sur R∗+, on a limn→+∞n(ϕ1/n −1) = ln et en déduire que la fonction logarithme est concave surR∗+.
Exercice 3 Moyennes et inégalités de convexité
Soitϕune fonction deR∗+dansR,(xi)1≤i≤ndes réels strictement positifs et(αi)1≤i≤ndes réels strictement positifs de somme 1 (i.e.Pn
i=1αi = 1). On noteλla donnée(xi, αi)1≤i≤net on note, quand c’est bien défini, µϕ(λ), la moyenne associée àϕde λ, définie par
µϕ(λ) =ϕ−1
n
X
i=1
αiϕ(xi)
! .
Dans la suite on fixe une donnéeλ.
1. Montrer que la moyenne d’ordre r, c’est-à-dire la moyenne associée à x 7→ xr, est bien définie pourr6= 0. On la noteMr.
2. Montrer que la moyenne d’ordre 0 ou encore moyenne géométrique, c’est-à-dire la moyenne associée au logarithme népérien, est bien définie. On la noteM0.
3. Utiliser la convexité de ϕr pour montrer M1(λ)≤Mr(λ) pourr ≥1. Plus généralement, montrer que siϕ est convexe croissante, alorsM1(λ)≤µϕ(λ).
4. En déduire que la fonctionr 7→Mr(λ) est croissante sur R∗+.
5. Utiliser la concavité du logarithme pour montrer M0(λ) ≤ M1(λ). Plus généralement, montrer que siϕ est concave croissante, alorsM1(λ)≥µϕ(λ).
6. Montrer que la fonctionr 7→Mr(λ) est croissante surR.
7. En utilisant que les fonctions convexes et concaves utilisées dans cet exercice le sont stric- tement, en ce sens qu’elles ne sont affines sur aucun intervalle, montrer que la croissance des moyennes est stricte sauf si les(xi)1≤i≤nsont tous égaux.
Exercice 4 Inégalités entre moyennes (*)
1. Soit f et g deux fonctions strictement monotones et continues sur I. On a µf =µg si et seulement s’il existeα etβ réels tels queg=αf+β. On notera queαest nécessairement non nul.
2. Soit f et g deux fonctions strictement monotones et continues sur I. On a µf ≤µg si et seulement si ou bien g est croissante et g◦f−1 est convexe, ou bien g est décroissante et g◦f−1est concave. Si la convexité ou la concavité est stricte, alors l’égalitéµf(λ) =µg(λ) n’a lieu que si les(xi)1≤i≤nsont tous égaux.
3. Soit f et g deux fonctions deux fois dérivables, de dérivées nulle part nulles. On a µf ≤ µg ⇐⇒ f”/f0 ≤g”/g0. Retrouver les résultats sur les moyennes d’ordre r à partir de ce critère.
Exercice 1 Fonctions affines et fonctions convexes
1. Pour x dans I, note Mx le point du graphe de f correspondant à x, i.e. Mx = (x;f(x)).
Supposons A(f) convexe, alors pour x et y dans I et z dans le segment [x;y]. On peut écrire z = (1−t)x+ty avec t ∈ [0; 1] et alors (1−t)Mx+tMy appartient à A(f) si et seulement s’il est au-dessus de Mz. Par conséquent, si A(f) est convexe, le point du graphe de f correspondant à z est au-dessous du segment joignant les points du graphe de f correspondant àx ety.
Réciproquement si cette propriété est satisfaite, soitA= (x, a)etB = (y, b)des points de A(f). Par conséquentA est au-dessus de Mx et B de My, i.e. a≥f(x) etb≥f(y). Soit C = (z, c) un point du segment [A;B] et t dans [0; 1] tel que C = (1−t)A+tB. Alors C est au-dessus de (1−t)Mx+tMy puisque(1−t)a+tb≥(1−t)f(x) +tf(y) car t et (1−t)sont positifs. Comme ce dernier est au-dessus deMz, il en résulte queCappartient àA(f), par définition de celui-ci.
Il en résulte quef est convexe si et seulement si, pour tousx ety deI et toutz dans le segment[x;y], le point du graphe def correspondant àzest au-dessous du segment joignant les points du graphe def correspondant àx ety.
2. Avec les notations précédentes, les ordonnées respectives deMzet de(1−t)Mx+tMy sont respectivement f(z) =f((1−t)x+ty) et(1−t)f(x) +tf(y) et doncMz est au-dessous de (1−t)Mx+tMy si et seulement sif((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x) +tf(y).
Il en résulte quef est convexe si et seulement si
∀(x, y)∈I2, ∀t∈[0; 1], f((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x) +tf(y).
3. On procède par récurrence surn. Soit donc, pournentier naturel non nul,(Hn)le prédicat :
« ∀(xi)1≤i≤n∈In,∀(αi)1≤i≤n∈(R∗+)n,Pn
i=1αi= 1⇒f(Pn
i=1αixi)≤Pn
i=1αif(xi)».
Le prédicat (H1) est une tautologie et (H2) résulte de la question précédente. Soit donc n∈N,n≥2tel que (Hn−1) soit vrai. Soit maintenant(xi)1≤i≤n dansI et(αi)1≤i≤ndes réels strictement positifs de somme 1. On pose t = Pn−1
i=1 αi. On a donc 1−t = αn et t∈]0; 1[. On pose enfin, pour1≤i≤n−1,βi =αi/tetx=Pn−1
i=1 βixi. On aPn−1 i=1 βi = 1 et donc, par convexité de I et positivité des coefficients (βi)1≤i≤n, on a x ∈ I. D’après (H2), on a
f
n
X
i=1
αixi
!
=f(tx+ (1−t)xn)≤tf(x) + (1−t)f(xn) et, d’après (Hn−1), puisquePn−1
i=1 βi = 1,
f(x)≤
n−1
X
i=1
βif(xi) = 1 t
n−1
X
i=1
αif(xi)
et donc, en regroupant les deux inégalités,
f
n
X
i=1
αixi
!
≤
n
X
i=1
αif(xi).
Par conséquent (Hn) est héréditaire et donc vrai pour tout entier naturel non nuln.
Autrement dit, si f est convexe, alors pour tous (xi)1≤i≤n dans I et tous (αi)1≤i≤n
réels strictement positifs de somme 1, on af(Pn
i=1αixi)≤Pn
i=1αif(xi).
4. Soitf etg deux fonctions convexes surI etα etβ deux réels strictement positifs. Soit x ety de I ettdans[0; 1]. On a
(αf+βg) ((1−t)x+ty) = αf((1−t)x+ty) +βg((1−t)x+ty)
≤ α((1−t)f(x) +tf(y)) +β((1−t)g(x) +tg(y))
≤ (1−t) (αf+βg) (x) +t(αf+βg) (y) et donc αf+βg est convexe, i.e.
toute combinaison linéaire à coefficients strictement positifs de fonctions convexes sur I est une fonction convexe sur I.
5. Poura etbréels, on a f :x7→ax+b, on a∀(x, y)∈I2,∀t∈[0; 1],
f((1−t)x+ty) =a(1−t)x+aty+b= (1−t)(ax+b) +t(ay+b) = (1−t)f(x) +tf(y) et donc f est convexe surI. En faitf est à la fois convexe et concave.
Toute fonction affine est convexe surI.
6. Soit f une fonction sur I et (fn)n∈N des fonctions convexes sur I telles que ∀x ∈ I, f(x) = limn→+∞fn(x). Soit xety deI ettdans[0; 1]. On a
∀n∈N fn((1−t)x+ty)≤(1−t)fn(x) +tfn(y).
Or chacun des termes de cette inégalité a une limite quand ntend vers +∞ et donc par compatibilité du passage à la limite à la structure d’espace vectoriel réel (deR)et d’ordre (surR), il vient
f((1−t)x+ty) = lim
n→+∞fn((1−t)x+ty)
≤ lim
n→+∞((1−t)fn(x) +tfn(y)) = (1−t)f(x) +tf(y) et donc f est convexe.
Si f est une fonction définie comme limite de fonctions convexes sur I, alors f l’est aussi.
7. Soit f une fonction sur I et (fa)a∈R∗+ des fonctions convexes sur I telles que ∀x ∈ I, f(x) = sup{fa(x)|a∈R}. Soitx ety deI ett dans[0; 1]. On a
∀a∈R∗+ fa((1−t)x+ty)≤(1−t)fa(x) +tfa(y).
Or, par définition de f et positivité de t et(1−t), un majorant du terme de droite est (1−t)f(x) +tf(y) et donc
∀a∈R∗+ fa((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x) +tf(y).
Par passage à la borne supérieure, il en résulte f((1−t)x+ty) ≤(1−t)f(x) +tf(y) et donc f est convexe surI.
Sif est une fonction définie comme enveloppe supérieure de fonctions convexes surI, alorsf l’est aussi.
8. D’après la question 5, toute fonction affine est convexe sur tout intervalle. D’après ce qui précède on en conclut
toute fonction qui est enveloppe supérieure de fonctions affines est convexe.
Exercice 2 Moyennes et inégalités de convexité
1. Soit f la fonction définie sur R∗+ par f(t) =tr−1(t+r(1−t)) =rtr−1−(r−1)tr. Cette fonction est dérivable sur son domaine de définition, de dérivéet7→r(r−1)tr−2(1−t) et est donc croissante sur ]0; 1] et décroissante sur[1; +∞[. Elle atteint donc son maximum en 1, i.e. 1.
Pour r≥1, on asup{tr−1(t+r(1−t))|t∈R∗+}= 1.
2. Avec les notations précédentes, et pouraetxdansR∗+, on afa(x) =xrfa/x(1) =xrf(a/x) et donc, par positivité dexr et f, supa∈R∗
+fa(x) = xrsupt∈R∗
+f(t) =xr puisque lorsque adécritR∗+,a/xaussi.
Pour r≥1, on asup{fa(x)|a∈R∗+}=xr.
3. Comme, pour a ∈ R∗+, fa est affine, d’après la question I.7, ϕr définie sur I = R∗+ par ϕr(x) = sup{fa(x) |a ∈ R∗+} est une enveloppe supérieure de fonctions convexes et est donc convexe sur R∗+.
Pour r≥1, la fonction ϕr :x7→xr est convexe surR∗+.
4. Pour r = 1 et r = 0, ϕr est affine donc convexe et concave. Pour r < 0, les questions 1 à 3 sont encore valides puisque seul compte le signe de r(r −1) et donc ϕr est convexe sur R∗+. Enfin pour 0 < r <1, on peut appliquer les questions 1 à 3 à −ϕr puisqu’alors
−r(r−1)est positif.
Les fonctionsϕr, définies surR∗+, y sont convexes pour r <0etr >1, concaves pour 0< r <1, et les deux à la fois pourr = 0etr = 1.
5. Pourx dansR∗+ etn dansN∗, on a, en posantu= ln(x)/n, n(ϕ1/n(x)−1) =n
eln(x)/n−1
= eu−1 u ln(x).
Or, lorsquen tend vers l’infini, u tend vers 0 et donc le taux d’accroissement(eu−1)/u tend vers exp0(0), i.e.e0 = 1.
Donc, surR∗+,limn→+∞n(ϕ1/n−1) = ln.
Puisque les fonctions ϕ1/n sont concaves sur R∗+, pour n ∈ N∗, il en est de même de n(ϕ1/n−1) et donc leur opposé est convexe. D’après la question I.6, leur limite est une fonction convexe, i.e.−lnest convexe surR∗+.
La fonction logarithme est concave sur R∗+.
Exercice 3 Inégalités de convexité
1. Pour r 6= 0, ϕr est strictement monotone et continue de R∗+ dans lui-même, de fonction réciproque ϕ1/r. Aussi pour toute donnée (xi, αi)1≤i≤n, x = Pn
i=1αiϕr(xi) est un réel strictement positif et doncϕ1/r(x) est bien défini.
La moyenne d’ordrer est bien définie pour r6= 0.
2. La fonctionlnest strictement monotone et continue deR∗+dansR, de fonction réciproque l’exponentielle, définie surR. La moyenne d’ordre 0 est donc définie.
La moyenne géométrique est bien définie.
3. Soitλ= (xi, αi)1≤i≤n une donnée et r≥1. Puisqueϕr est convexe, on a
ϕr n
X
i=1
αixi
!
≤
n
X
i=1
αiϕr(xi)
et donc, par (stricte) croissance de ϕr et donc de (ϕr)−1, M1(λ)≤Mr(λ).
L’argument n’utilisant que la convexité et la croissance deϕr, il vient Siϕest convexe croissante, alorsM1(λ)≤µϕ(λ).
4. Soitpetq deux réels tels que0< p < q. Soitλ= (xi, αi)1≤i≤nune donnée etλ0 la donnée (xpi, αi)1≤i≤n. On aMp(λ)p=M1(λ0) et donc, puisqueq/p >1,
Mp(λ)p≤Mq/p(λ0) =Mq(λ)p et donc, par croissance deϕ1/p,
la fonction r7→Mr(λ) est croissante surR∗+.
5. Soitλ= (xi, αi)1≤i≤n une donnée et ϕconcave croissante de R∗+ dansR. On a
ϕ
n
X
i=1
αixi
!
≥
n
X
i=1
αiϕ(xi)
et donc, par croissance deϕet donc de ϕ−1,
M1(λ)≥µϕ(λ).
Siϕest concave croissante, alors M1(λ)≥µϕ(λ).
6. Soitλ= (xi, αi)1≤i≤n une donnée et r6= 0. Soitλ0 la donnée(xri, αi)1≤i≤n. On a
M0(λ0) = exp
n
X
i=1
αiln(xri)
!
= exp r
n
X
i=1
αiln(xi)
!
=M0(λ)r
et donc
M0(λ)r=M0(λ0)≤M1(λ0) =Mr(λ)r .
Si r > 0, par croissance de φ1/r, il en résulte M0(λ) ≤ Mr(λ). Si, au contraire, r < 0, la décroissance de φ1/r entraine M0(λ) ≥Mr(λ). Enfin, comme M−r est l’inverse de Mr appliquée aux inverses des données, la croissance de Mr sur r > 0 entraine la croissance surr <0.
La fonction r7→Mr(λ) est croissante sur R.
7. Puisque les fonctions sont strictement convexe, l’inégalitéf((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x) + tf(y)est stricte dès que (1−t)x+tyest dans l’intervalle ouvert entre x ety. Autrement dit il n’y a égalité que sit= 0,t= 1 oux=y. Si on choisit0< t <1, le seul cas d’égalité estx=y. Or les(αi)dans une donnée sont tous strictement positifs ; donc il n’y a égalité dans les inégalités de convexité employées que si les(xi)1≤i≤nsont tous égaux.
La croissance des moyennes est stricte sauf si les (xi)1≤i≤n sont tous égaux.
Exercice 4 Inégalités entre moyennes (*)
1. En reprenant les questions III.3 et III.5, on constate qu’en fait, si ϕest continue et stric- tement croissante, alors M1 ≤ µϕ ⇔ ϕ est convexe et M1 ≥ µϕ ⇔ ϕ est concave. De même si ϕ est continue et strictement décroissante, alors M1 ≤ µϕ ⇔ ϕ est concave et M1≥µϕ⇔ϕest convexe.
Soit f et g deux fonctions strictement monotones et continues sur I et donc bijectives.
Posons h = g◦f−1. Alors h est strictement monotone et µf = µg s’écrit µh =M1. Par conséquent h est à la fois convexe et concave. Elle est donc affine (et bijective, i.e. non constante). Et il en résulte :
On a µf =µg si et seulement s’il existeα etβ réels,α6= 0, tels queg=αf+β.
2. Soit f et g deux fonctions strictement monotones et continues sur I et donc bijectives.
Posons h = g◦f−1. Alors h est strictement monotone et µf ≤ µg s’écrit µh ≤ M1 ou µh≥M1 selon les cas. Plus précisément
On aµf ≤µg si et seulement si ou biengest croissante etg◦f−1 est convexe, ou bien g est décroissante etg◦f−1 est concave.
De même qu’en question III.7, on a également
Si la convexité ou la concavité est stricte, alors l’égalitéµf(λ) =µg(λ) n’a lieu que si les (xi)1≤i≤n sont tous égaux.
3. Comme le changement def en−f et celui degen−glaisse invariantes toutes les quantités considérées, on peut supposerf etgcroissantes sans restreindre la généralité. La relation µf ≤µg équivaut alors à la convexité deh=g◦f−1. En posant y=f(x), il vient h(y) = g(x) eth0(y) =g0(x)/f0(x)d’après le théorème de dérivation des fonctions composées. La convexité dehéquivaut à la croissance deh0en fonction dey, et puisquef est croissante, à celle deg0/f0 en fonction dex. Or la dérivée deg0/f0 est(g”f0−f”g0)/(f0)2, dont le signe est celui deg”f0−f”g0. Cette fonction est donc croissante si et seulement sif”/f0 ≤g”/g0.
On a µf ≤µg ⇐⇒f”/f0≤g”/g0.
On reprend les fonctionsϕr en posantϕ0= ln. On a alorsϕr”/ϕ0r= (r−1)x−1 surR∗+ et c’est donc une fonction croissante der. Par conséquentMrl’est aussi. Comme la croissance est stricte, il en est de même pourMr sauf quand les (xi)1≤i≤n sont tous égaux.
On a donc bien retrouvé les résultats sur les moyennes d’ordrer.
