Les résultats doivent être encadrés ou soulignés. Soignez la rédaction.

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Exercice 1 Fonctions convexes

Une partie𝑋 deR² est dite convexe si, pour tous points𝑎et𝑏de𝑋, le segment[𝑎;𝑏]est inclus dans𝑋, i.e. pour tout 𝑡dans[0; 1],(1−𝑡)𝑎+𝑡𝑏 appartient à𝑋.

On s'intéresse aux fonctions convexes. Soit𝑓 une fonction de𝐼 dansR, avec𝐼 convexe (c'est-à- dire que 𝐼 est un intervalle). On appelle graphe de𝑓 l'ensemble des points du plan de la forme (𝑥, 𝑓(𝑥)) avec 𝑥 ∈ 𝐼 et on appelle épigraphe de 𝑓 l'ensemble 𝐴(𝑓) des points du plan situés au-dessus du graphe de𝑓, i.e.

𝐴(𝑓) ={(𝑥, 𝑦)∈𝐼×R∣𝑦≥𝑓(𝑥)}.

On dit que 𝑓 est convexe (sur 𝐼) si 𝐴(𝑓) est convexe et on dit que 𝑓 est concave si −𝑓 est convexe.

Dans la suite𝐼 désignera un intervalle de R.

1. Montrer que𝑓est convexe si et seulement si, pour tous𝑥et𝑦de𝐼et tout𝑧dans le segment [𝑥;𝑦], le point du graphe de 𝑓 correspondant à 𝑧 est au-dessous du segment joignant les points du graphe de𝑓 correspondant à𝑥 et𝑦.

2. Montrer qu'il est équivalent de dire :

∀(𝑥, 𝑦)∈𝐼², ∀𝑡∈[0; 1], 𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)≤(1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦).

3. Montrer que, pour tous(𝑥_𝑖)1≤𝑖≤𝑛dans𝐼 tous(𝛼_𝑖)1≤𝑖≤𝑛réels strictement positifs de somme 1 (i.e.∑𝑛

𝑖=1𝛼_𝑖= 1), on a𝑓(∑𝑛

𝑖=1𝛼_𝑖𝑥_𝑖)≤∑𝑛

𝑖=1𝛼_𝑖𝑓(𝑥_𝑖).

4. Montrer que toute combinaison linéaire à coecients strictement positifs de fonctions convexes sur𝐼 est une fonction convexe sur 𝐼.

5. Montrer que toute fonction ane est convexe sur𝐼. (On rappelle qu'une telle fonction est de la forme𝑥7→𝑎𝑥+𝑏 avec𝑎et𝑏 réels.)

6. Soit𝑓 une fonction dénie comme limite de fonctions, i.e.∀𝑥∈𝐼,𝑓(𝑥) = lim𝑛→+∞𝑓_𝑛(𝑥). Montrer que si les fonctions 𝑓_𝑛 sont convexes sur𝐼, alors 𝑓 l'est aussi.

7. Soit 𝑓 une fonction dénie comme enveloppe supérieure de fonctions, i.e. ∀𝑥 ∈𝐼,𝑓(𝑥) = sup{𝑓_𝑎(𝑥) ∣ 𝑎 ∈ R^∗₊}. Montrer que si les fonctions 𝑓_𝑎 sont convexes sur 𝐼, alors 𝑓 l'est aussi.

8. Montrer que toute fonction qui est enveloppe supérieure de fonctions anes est convexe.

9. Soit𝑟 ≥1, montrer quesup{𝑡^𝑟−1(𝑡+𝑟(1−𝑡))∣𝑡∈R^∗₊}= 1.

10. Soit 𝑟 ≥1 et 𝑓𝑎 la fonction dénie sur R^∗₊ par𝑓𝑎(𝑥) = 𝑎^𝑟−1(𝑎+𝑟(𝑥−𝑎)). Montrer que sup{𝑓_𝑎(𝑥)∣𝑎∈R^∗₊}=𝑥^𝑟.

11. En déduire que, pour 𝑟≥1, la fonction 𝜑_𝑟 :𝑥7→𝑥^𝑟 est convexe surR^∗₊. 12. Que dire de 𝜑𝑟 pour 𝑟 <1?

13. Montrer que, sur R^∗₊,lim𝑛→+∞𝑛(𝜑_1/𝑛−1) = ln et en déduire que la fonction logarithme est concave sur R^∗₊.

Ce second exercice est optionnel.

Exercice 2 Inégalités de convexité

Soit𝜑une fonction deR^∗₊dansR,(𝑥_𝑖)1≤𝑖≤𝑛des réels strictement positifs et(𝛼_𝑖)1≤𝑖≤𝑛des réels strictement positifs de somme 1 (i.e.∑𝑛

𝑖=1𝛼𝑖 = 1). On note𝜆la donnée(𝑥𝑖, 𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛et on note, quand c'est bien déni, 𝜇𝜑(𝜆), la moyenne associée à𝜑de 𝜆, dénie par

𝜇_𝜑(𝜆) =𝜑⁻¹ ( _𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝜑(𝑥_𝑖) )

.

Dans la suite on xe une donnée𝜆.

1. Montrer que la moyenne d'ordre 𝑟, c'est-à-dire la moyenne associée à 𝑥 7→ 𝑥^𝑟, est bien dénie pour𝑟∕= 0. On la note𝑀𝑟.

2. Montrer que la moyenne d'ordre 0 ou encore moyenne géométrique, c'est-à-dire la moyenne associée au logarithme népérien, est bien dénie. On la note𝑀₀.

3. Utiliser la convexité de 𝜑_𝑟 pour montrer 𝑀₁(𝜆)≤𝑀_𝑟(𝜆) pour 𝑟 ≥1. Plus généralement on peut montrer que si 𝜑est convexe croissante, alors𝑀₁(𝜆)≤𝜇_𝜑(𝜆).

4. En déduire que la fonction𝑟 7→𝑀_𝑟(𝜆) est croissante sur R^∗₊.

5. Utiliser la concavité du logarithme pour montrer 𝑀₀(𝜆) ≤𝑀₁(𝜆). Plus généralement on peut montrer que si𝜑est concave croissante, alors 𝑀1(𝜆)≥𝜇𝜑(𝜆).

6. Montrer que la fonction𝑟 7→𝑀𝑟(𝜆) est croissante surR.

7. En utilisant que les fonctions convexes et concaves utilisées dans cet exercice le sont stric- tement, en ce sens qu'elles ne sont anes sur aucun intervalle, montrer que la croissance des moyennes est stricte sauf si les(𝑥_𝑖)1≤𝑖≤𝑛sont tous égaux.

8. (Question subsidiaire 1) Soit𝑓 et𝑔deux fonctions strictement monotones et continues sur 𝐼. On a 𝜇𝑓 =𝜇𝑔 si et seulement s'il existe𝛼et𝛽 réels tels que𝑔=𝛼𝑓+𝛽. On notera que 𝛼 est nécessairement non nul.

9. (Question subsidiaire 2) Soit𝑓 et𝑔deux fonctions strictement monotones et continues sur 𝐼. On a 𝜇_𝑓 ≤𝜇_𝑔 si et seulement si ou bien𝑔 est croissante et𝑔∘𝑓⁻¹ est convexe, ou bien 𝑔 est décroissante et 𝑔∘𝑓⁻¹ est concave. Si la convexité ou la concavité est stricte, alors l'égalité𝜇𝑓(𝜆) =𝜇𝑔(𝜆)n'a lieu que si les(𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 sont tous égaux.

10. (Question subsidiaire 3) Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions deux fois dérivables, de dérivées nulle part nulles. On a 𝜇_𝑓 ≤ 𝜇_𝑔 ⇐⇒ 𝑓^′′/𝑓^′ ≤ 𝑔^′′/𝑔^′. Retrouver les résultats sur les moyennes d'ordre𝑟 à partir de ce critère.

Exercice 1 Fonctions convexes

1. Pour 𝑥 dans 𝐼, note 𝑀𝑥 le point du graphe de 𝑓 correspondant à 𝑥, i.e. 𝑀𝑥 = (𝑥;𝑓(𝑥)). Supposons𝐴(𝑓) convexe, alors pour𝑥 et𝑦 distincts dans𝐼 et𝑧 dans le segment[𝑥;𝑦], on peut écrire𝑧= (1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦avec𝑡= (𝑧−𝑥)/(𝑦−𝑥), et donc𝑡∈[0; 1], et alors(1−𝑡)𝑀_𝑥+𝑡𝑀𝑦

appartient à 𝐴(𝑓) si et seulement s'il est au-dessus de 𝑀𝑧. Par conséquent, si 𝐴(𝑓) est convexe,𝑀_𝑧 est au-dessous du point d'abscisse𝑧 de la corde du graphe de 𝑓 joignant les points correspondant à𝑥 et𝑦.

Réciproquement si cette propriété est satisfaite, soit𝐴= (𝑥, 𝑎)et𝐵 = (𝑦, 𝑏)des points de 𝐴(𝑓). Par conséquent𝐴 est au-dessus de 𝑀𝑥 et 𝐵 de 𝑀𝑦, i.e. 𝑎≥𝑓(𝑥) et𝑏≥𝑓(𝑦). Soit 𝐶 = (𝑧, 𝑐) un point du segment [𝐴;𝐵] et 𝑡 dans [0; 1] tel que 𝐶 = (1−𝑡)𝐴+𝑡𝐵. Alors 𝐶 est au-dessus de (1−𝑡)𝑀_𝑥+𝑡𝑀_𝑦 puisque(1−𝑡)𝑎+𝑡𝑏≥(1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦) car 𝑡 et (1−𝑡)sont positifs. Comme ce dernier est au-dessus de𝑀𝑧, il en résulte que𝐶appartient à𝐴(𝑓), par dénition de celui-ci.

Il en résulte que𝑓 est convexe si et seulement si, pour tous𝑥 et𝑦 de𝐼 et tout𝑧 dans le segment[𝑥;𝑦], le point du graphe de𝑓 correspondant à𝑧est au-dessous du segment joignant les points du graphe de𝑓 correspondant à𝑥 et𝑦.

2. Avec les notations précédentes, les ordonnées respectives de𝑀𝑧et de(1−𝑡)𝑀_𝑥+𝑡𝑀𝑦 sont respectivement 𝑓(𝑧) =𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦) et(1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦) et donc𝑀𝑧 est au-dessous de (1−𝑡)𝑀_𝑥+𝑡𝑀_𝑦 si et seulement si𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)≤(1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦).

Il en résulte que𝑓 est convexe si et seulement si

∀(𝑥, 𝑦)∈𝐼², ∀𝑡∈[0; 1], 𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)≤(1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦).

3. On procède par récurrence sur𝑛. Soit donc, pour𝑛entier naturel non nul,(H_𝑛)le prédicat : Pour tous(𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 dans𝐼, tous (𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛 réels strictement positifs de somme 1, on a 𝑓(∑𝑛

𝑖=1𝛼𝑖𝑥𝑖)≤∑𝑛

𝑖=1𝛼𝑖𝑓(𝑥𝑖).

Le prédicat (H1) est une tautologie et (H2) résulte de la question précédente. Soit donc 𝑛∈N,𝑛≥2tel que (H𝑛−1) soit vrai. Soit maintenant(𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 dans𝐼 et(𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛des réels strictement positifs de somme 1. On pose 𝑡 = ∑𝑛−1

𝑖=1 𝛼_𝑖. On a donc 1−𝑡 = 𝛼_𝑛 et 𝑡∈]0; 1[. On pose enn, pour1≤𝑖≤𝑛−1,𝛽_𝑖 =𝛼_𝑖/𝑡et𝑥=∑𝑛−1

𝑖=1 𝛽_𝑖𝑥_𝑖. Puisque𝐼 est un intervalle, il est convexe et puisque∑𝑛−1

𝑖=1 𝛽𝑖=𝑡/𝑡= 1,𝑥appartient à𝐼. D'après(H2), on a donc

𝑓 ( _𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝑥_𝑖 )

=𝑓(𝑡𝑥+ (1−𝑡)𝑥_𝑛)≤𝑡𝑓(𝑥) + (1−𝑡)𝑓(𝑥_𝑛) et, d'après (H𝑛−1), puisqu'une fois encore∑𝑛−1

𝑖=1 𝛽𝑖= 1,

𝑓(𝑥)≤

𝑛−1

∑

𝑖=1

𝛽_𝑖𝑓(𝑥_𝑖) = 1 𝑡

𝑛−1

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝑓(𝑥_𝑖)

et donc, en regroupant les deux inégalités,

𝑓 ( _𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝑥_𝑖 )

≤

𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝑓(𝑥_𝑖).

Par conséquent (H𝑛) est héréditaire et donc vrai pour tout entier naturel non nul𝑛.

Autrement dit, si𝑓 est convexe, alors pour tous (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 dans𝐼 tous(𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛 réels strictement positifs de somme 1, on a𝑓(∑𝑛

𝑖=1𝛼𝑖𝑥𝑖)≤∑𝑛

𝑖=1𝛼𝑖𝑓(𝑥𝑖).

4. Soit𝑓 et𝑔 deux fonctions convexes sur𝐼 et𝛼 et𝛽 deux réels strictement positifs. Soit 𝑥 et𝑦 de 𝐼 et𝑡dans[0; 1]. On a

(𝛼𝑓+𝛽𝑔) ((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦) = 𝛼𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦) +𝛽𝑔((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)

≤ 𝛼((1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦)) +𝛽((1−𝑡)𝑔(𝑥) +𝑡𝑔(𝑦))

≤ (1−𝑡) (𝛼𝑓+𝛽𝑔) (𝑥) +𝑡(𝛼𝑓+𝛽𝑔) (𝑦) et donc 𝛼𝑓+𝛽𝑔 est convexe. Une récurrence immédiate montre que

toute combinaison linéaire à coecients strictement positifs de fonctions convexes sur 𝐼 est une fonction convexe sur 𝐼.

5. Pour𝑎 et𝑏réels et𝑓 :𝐼 →R,𝑥7→𝑎𝑥+𝑏, on a∀(𝑥, 𝑦)∈𝐼²,∀𝑡∈[0; 1],

𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦) =𝑎(1−𝑡)𝑥+𝑎𝑡𝑦+𝑏= (1−𝑡)(𝑎𝑥+𝑏) +𝑡(𝑎𝑦+𝑏) = (1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦) et donc 𝑓 est convexe sur𝐼. En fait𝑓 est à la fois convexe et concave.

Toute fonction ane est convexe sur𝐼.

6. Soit 𝑓 une fonction sur 𝐼 et (𝑓_𝑛)𝑛∈N des fonctions convexes sur 𝐼 telles que ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) = lim𝑛→+∞𝑓𝑛(𝑥). Soit 𝑥et𝑦 de𝐼 et𝑡dans[0; 1]. On a

∀𝑛∈N 𝑓𝑛((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)≤(1−𝑡)𝑓𝑛(𝑥) +𝑡𝑓𝑛(𝑦).

Or chacun des termes de cette inégalité a une limite quand 𝑛tend vers +∞ et donc par compatibilité du passage à la limite à la structure d'espace vectoriel réel (deR)et d'ordre (surR), il vient

𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦) = lim

𝑛→+∞𝑓_𝑛((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)

≤ lim

𝑛→+∞((1−𝑡)𝑓_𝑛(𝑥) +𝑡𝑓_𝑛(𝑦)) = (1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦) et donc 𝑓 est convexe.

Si𝑓 est une fonction dénie comme limite (simple) de fonctions convexes sur 𝐼, alors 𝑓 l'est aussi.

7. Soit 𝑓 une fonction sur 𝐼 et (𝑓𝑎)𝑎∈R^∗₊ des fonctions convexes sur 𝐼 telles que ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) = sup{𝑓_𝑎(𝑥)∣𝑎∈R^∗₊}. Soit 𝑥et𝑦 de 𝐼 et𝑡dans[0; 1]. On a

∀𝑎∈R^∗₊ 𝑓𝑎((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)≤(1−𝑡)𝑓𝑎(𝑥) +𝑡𝑓𝑎(𝑦).

Or, par dénition de 𝑓 et positivité de 𝑡 et(1−𝑡), un majorant du terme de droite est (1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦) et donc

∀𝑎∈R^∗₊ 𝑓𝑎((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)≤(1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦).

Par passage à la borne supérieure, il en résulte 𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦) ≤(1−𝑡)𝑓(𝑥) +𝑡𝑓(𝑦) et donc 𝑓 est convexe sur𝐼.

Si𝑓 est une fonction dénie comme enveloppe supérieure de fonctions convexes sur𝐼, alors𝑓 l'est aussi.

8. D'après la question 5, toute fonction ane est convexe sur tout intervalle. D'après ce qui précède on en conclut

toute fonction qui est enveloppe supérieure de fonctions anes est convexe.

9. Soit𝑓 la fonction dénie pour𝑡∈R^∗₊par𝑓(𝑡) =𝑡^𝑟−1(𝑡+𝑟(1−𝑡)) =𝑟𝑡^𝑟−1−(𝑟−1)𝑡^𝑟. Cette fonction est dérivable sur son domaine de dénition, en tant que combinaison linéaire de fonctions puissances indéniment dérivables sur R^∗₊, de dérivée 𝑡 7→ 𝑟(𝑟−1)𝑡^𝑟−2(1−𝑡) et est donc croissante (au sens large) sur]0; 1]et décroissante (au sens large) sur [1; +∞[. Elle atteint donc son maximum en 1, i.e. son maximum est 1.

Pour 𝑟≥1, on asup{𝑡^𝑟−1(𝑡+𝑟(1−𝑡))∣𝑡∈R^∗₊}= 1.

10. Avec les notations précédentes, et pour𝑎et𝑥dansR^∗₊, on a𝑓_𝑎(𝑥) =𝑥^𝑟𝑓_𝑎/𝑥(1) =𝑥^𝑟𝑓(𝑎/𝑥) et donc, par positivité de𝑥^𝑟 et 𝑓, sup_𝑎∈R^∗

+𝑓𝑎(𝑥) = 𝑥^𝑟sup_𝑡∈R^∗

+𝑓(𝑡) =𝑥^𝑟 puisque lorsque 𝑎décritR^∗₊,𝑎/𝑥aussi.

Pour 𝑟≥1, on asup{𝑓_𝑎(𝑥)∣𝑎∈R^∗₊}=𝑥^𝑟.

11. Comme, pour 𝑎 ∈ R^∗₊, 𝑓_𝑎 est ane, d'après la question 8, 𝜑_𝑟 dénie sur 𝐼 = R^∗₊ par 𝜑𝑟(𝑥) = sup{𝑓_𝑎(𝑥)∣𝑎∈R^∗₊}est une enveloppe supérieure de fonctions anes et est donc convexe sur R^∗₊.

Pour 𝑟≥1, la fonction 𝜑_𝑟 :𝑥7→𝑥^𝑟 est convexe surR^∗₊.

12. Pour 𝑟 = 1 et 𝑟 = 0, 𝜑_𝑟 est ane donc convexe et concave. Pour 𝑟 < 0, les questions 9 à 11 sont encore valides puisque seul compte le signe de 𝑟(𝑟−1) et donc𝜑_𝑟 est convexe surR^∗₊. Enn pour 0< 𝑟 <1, on peut appliquer les questions 9 à 11 à−𝜑_𝑟 puisqu'alors

−𝑟(𝑟−1)est positif.

Les fonctions𝜑𝑟, dénies surR^∗₊, y sont convexes pour 𝑟 <0et𝑟 >1, concaves pour 0< 𝑟 <1, et les deux à la fois pour𝑟 = 0et𝑟 = 1.

13. Pour𝑥 dansR^∗₊ et𝑛 dansN^∗, on a, en posant𝑢𝑛= ln(𝑥)/𝑛,lim𝑛→+∞𝑢𝑛= 0 et donc 𝑛(𝜑_1/𝑛(𝑥)−1) =𝑛(𝑒^𝑢𝑛−1)∼𝑛𝑢𝑛= ln(𝑥).

Donc, surR^∗₊,lim𝑛→+∞𝑛(𝜑_1/𝑛−1) = ln.

Puisque les fonctions𝜑_1/𝑛sont concaves surR^∗₊, pour𝑛∈N^∗, ainsi que la fonction (ane) constante−1, il en est de même de𝑛(𝜑_1/𝑛−1), d'après 4, et donc leur opposé est convexe.

D'après la question 6, leur limite est une fonction convexe, i.e.−lnest convexe surR^∗₊. La fonction logarithme est concave sur R^∗₊.

Exercice 2 Inégalités de convexité

1. Pour 𝑟 ∕= 0, 𝜑𝑟 est strictement monotone et continue de R^∗₊ dans lui-même, de fonction réciproque 𝜑_1/𝑟. Aussi pour toute donnée (𝑥_𝑖, 𝛼_𝑖)1≤𝑖≤𝑛, 𝑥 = ∑_𝑛

𝑖=1𝛼_𝑖𝜑_𝑟(𝑥_𝑖) est un réel strictement positif et donc𝜑_1/𝑟(𝑥) est bien déni.

La moyenne d'ordre𝑟 est bien dénie pour 𝑟∕= 0.

2. La fonctionlnest strictement monotone et continue deR^∗₊dansR, de fonction réciproque l'exponentielle, dénie surR. La moyenne d'ordre 0 est donc dénie.

La moyenne géométrique est bien dénie.

3. Soit𝜆= (𝑥𝑖, 𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛 une donnée et 𝑟≥1. Puisque𝜑𝑟 est convexe, on a

𝜑_𝑟 ( _𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝑥_𝑖 )

≤

𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝜑_𝑟(𝑥_𝑖)

et donc, par stricte croissance de𝜑_𝑟,

𝑀1(𝜆)≤𝑀𝑟(𝜆).

L'argument n'utilisant que la convexité et la croissance de𝜑𝑟, il vient Si𝜑est convexe croissante, alors𝑀1(𝜆)≤𝜇𝜑(𝜆).

4. Soit𝑝et𝑞 deux réels tels que0< 𝑝 < 𝑞. Soit𝜆= (𝑥_𝑖, 𝛼_𝑖)1≤𝑖≤𝑛une donnée et𝜆^′ la donnée (𝑥^𝑝_𝑖, 𝛼_𝑖)1≤𝑖≤𝑛. On a𝑀_𝑝(𝜆)^𝑝=𝑀₁(𝜆^′) et donc, puisque𝑞/𝑝 >1,

𝑀𝑝(𝜆)^𝑝≤𝑀_𝑞/𝑝(𝜆^′) =𝑀𝑞(𝜆)^𝑝 et donc, par croissance de𝜑_1/𝑝,

la fonction 𝑟7→𝑀_𝑟(𝜆) est croissante surR^∗₊.

5. Soit𝜆= (𝑥𝑖, 𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛 une donnée et 𝜑concave croissante de R^∗₊ dansR. On a

𝜑 ( _𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝑥_𝑖 )

≥

𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖𝜑(𝑥_𝑖)

et donc, par stricte croissance de𝜑,

𝑀1(𝜆)≥𝜇𝜑(𝜆).

Si𝜑est concave croissante, alors 𝑀1(𝜆)≥𝜇𝜑(𝜆).

6. Soit𝜆= (𝑥_𝑖, 𝛼_𝑖)1≤𝑖≤𝑛 une donnée et 𝑟∕= 0. Soit𝜆^′ la donnée(𝑥^𝑟_𝑖, 𝛼_𝑖)1≤𝑖≤𝑛. On a

𝑀₀(𝜆^′) = exp ( _𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖ln(𝑥^𝑟_𝑖) )

= exp (

𝑟

𝑛

∑

𝑖=1

𝛼_𝑖ln(𝑥_𝑖) )

=𝑀₀(𝜆)^𝑟

et donc

𝑀0(𝜆)^𝑟=𝑀0(𝜆^′)≤𝑀1(𝜆^′) =𝑀𝑟(𝜆)^𝑟 .

Si 𝑟 > 0, par croissance de 𝜙_1/𝑟, il en résulte 𝑀₀(𝜆) ≤ 𝑀_𝑟(𝜆). Si, au contraire, 𝑟 < 0, la décroissance de 𝜙_1/𝑟 entraine 𝑀0(𝜆) ≥𝑀𝑟(𝜆). Enn, comme 𝑀−𝑟 est l'inverse de 𝑀𝑟

appliquée aux inverses des données, la croissance de 𝑀_𝑟 sur 𝑟 > 0 entraine la croissance sur𝑟 <0.

La fonction 𝑟7→𝑀_𝑟(𝜆) est croissante sur R.

7. Puisque les fonctions sont strictement convexes, l'inégalité𝑓((1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦)≤(1−𝑡)𝑓(𝑥) + 𝑡𝑓(𝑦)est stricte dès que (1−𝑡)𝑥+𝑡𝑦est dans l'intervalle ouvert entre 𝑥 et𝑦. Autrement dit il n'y a égalité que si𝑡= 0,𝑡= 1 ou𝑥=𝑦. Si on choisit0< 𝑡 <1, le seul cas d'égalité est𝑥=𝑦. Par conséquent, puisque les(𝛼𝑖)dans une donnée sont tous strictement positifs, il n'y a égalité dans les inégalités de convexité employées que si les (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 sont tous égaux.

La croissance des moyennes est stricte sauf si les (𝑥_𝑖)1≤𝑖≤𝑛 sont tous égaux.

8. En reprenant les questions 3 et 5, on constate qu'en fait, si𝜑 est continue et strictement croissante, alors 𝑀₁ ≤ 𝜇_𝜑 ⇔𝜑 est convexe et𝑀₁ ≥𝜇_𝜑 ⇔ 𝜑est concave. De même si 𝜑 est continue et strictement décroissante, alors𝑀1 ≤𝜇𝜑⇔𝜑est concave et𝑀1 ≥𝜇𝜑⇔𝜑 est convexe.

Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions strictement monotones et continues sur 𝐼 et donc bijectives.

Posons ℎ = 𝑔∘𝑓⁻¹. Alors ℎ est strictement monotone et 𝜇𝑓 = 𝜇𝑔 s'écrit 𝜇ℎ =𝑀1. Par conséquent ℎ est à la fois convexe et concave. Elle est donc ane (et bijective, i.e. non constante). Et il en résulte :

On a 𝜇_𝑓 =𝜇_𝑔 si et seulement s'il existe𝛼 et𝛽 réels tels que𝑔=𝛼𝑓+𝛽.

9. Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions strictement monotones et continues sur 𝐼 et donc bijectives.

Posons ℎ = 𝑔∘𝑓⁻¹. Alors ℎ est strictement monotone et 𝜇_𝑓 ≤ 𝜇𝑔 s'écrit 𝜇_ℎ ≤ 𝑀1 ou 𝜇_ℎ≥𝑀₁ selon les cas. Plus précisément

On a𝜇_𝑓 ≤𝜇_𝑔 si et seulement si ou bien𝑔est croissante et𝑔∘𝑓⁻¹ est convexe, ou bien 𝑔 est décroissante et𝑔∘𝑓⁻¹ est concave.

De même qu'en question 7, on a également

Si la convexité ou la concavité est stricte, alors l'égalité𝜇_𝑓(𝜆) =𝜇_𝑔(𝜆) n'a lieu que si les (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 sont tous égaux.

10. Comme le changement de𝑓 en−𝑓 et celui de𝑔en−𝑔laisse invariantes toutes les quantités considérées, on peut supposer𝑓 et𝑔croissantes sans restreindre la généralité. La relation 𝜇_𝑓 ≤ 𝜇_𝑔 équivaut alors à la convexité deℎ =𝑔∘𝑓⁻¹. En posant, pour 𝑥 >0,𝑦 =𝑓(𝑥), il vientℎ(𝑦) =𝑔(𝑥) etℎ^′(𝑦) =𝑔^′(𝑥)/𝑓^′(𝑥) d'après le théorème de dérivation des fonctions composées. La convexité deℎéquivaut à la croissance deℎ^′ en fonction de𝑦, et puisque𝑓 est croissante, à celle de𝑔^′/𝑓^′en fonction de𝑥. Or la dérivée de𝑔^′/𝑓^′est(𝑔^′′𝑓^′−𝑓^′′𝑔^′)/(𝑓^′)², dont le signe est celui de𝑔^′′𝑓^′−𝑓^′′𝑔^′. Cette fonction est donc croissante si et seulement si 𝑓^′′/𝑓^′ ≤𝑔^′′/𝑔^′.

On a 𝜇_𝑓 ≤𝜇_𝑔 ⇐⇒𝑓^′′/𝑓^′ ≤𝑔^′′/𝑔^′.

On reprend les fonctions𝜑_𝑟 en posant𝜑₀= ln. On a alors𝜑^′′_𝑟/𝜑^′_𝑟= (𝑟−1)𝑥⁻¹ surR^∗₊ et c'est donc une fonction croissante de𝑟. Par conséquent𝑀𝑟l'est aussi. Comme la croissance est stricte, il en est de même pour𝑀𝑟 sauf quand les (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 sont tous égaux.

On a donc bien retrouvé les résultats sur les moyennes d'ordre𝑟.