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Les résultats doivent être encadrés ou soulignés. Soignez la rédaction.
Exercice 1 Une équation diophantienne
On s’intéresse aux solutions de l’équation y2+ 2 =x3 pour x ety entiers relatifs. Pour cela on va faire de l’arithmétique dans l’anneau A=Z[i√
2]. Dans la suite de l’exercice, on fixe x ety entiers relatifs tels quey2+ 2 =x3.
1. SoitAl’ensemble des nombres complexes de la formem+in√
2, avecmetnentiers relatifs.
Montrer queA est un anneau intègre.
2. MontrerA× ={−1,1}.
3. Montrer que A est euclidien au sens suivant : pour tout a, b dans A, avec b non nul, il existeq etr dansAtels quea=bq+r et0≤ |r|<|b|. (Indication : considérer le nombre complexe a/b et trouver un point de A le plus proche possible.) On dit que b divise a lorsque r est nul.
4. On appellera nombre premier de A tout p dans A ayant exactement quatre diviseurs, à savoir1,−1,pet−p. Démontrer que sipest premier et qu’il ne divise pasa, alors on peut trouveru etv dansAtels que up+va= 1. (Indication : procéder comme dansZ.) 5. En déduire que sip, premier dansA, divise un produit abde deux éléments aetb de A,
il diviseaou il divise b.
6. En déduire que tout élément non nulade As’écrita=εQn
i=1pαii pour une certaine unité ε de A, un certain entier naturel n, des nombres premiers (pi)1≤i≤n de A et des entiers strictement positifs (αi)1≤i≤n. Discuter l’unicité de cette décomposition.
7. Montrer queπ =i√
2est premier dansAet que s’il divisey2+ 2, alors il divisey. Montrer qu’alorsy2,y,x3 etx sont pairs, mais que ceci aboutit à une contradiction.
8. En déduire que si p divise y2+ 2, il divise soit y+i√
2, soit y−i√
2 mais pas les deux, puis que y+i√
2, ety−i√
2sont des cubes dans A.
9. Calculer(m+in√
2)3 pourm etnentiers relatifs et en déduire que |y|= 5.
10. Donner toutes les solutions de l’équation diophantienne étudiée.
MPSI 2 DL 6 à rendre le 11/02/10
