Fonctions convexes

Fonctions convexes

1 x → ln (1 + e

)

Soit

f :x→ln (1 +e^x) 1- Montrer que f est convexe surR.

2- Soitn≥2 eta1, ..., an des réels strictement positifs de produit 1. Montrer que

3ⁿ ≤

n

Y

j=1

(2 +aj)

Réponse

1-

∀x∈R, f⁰(x) = 1 1 +e^−x Il est clair quef⁰ est croissante surR.

2- Notonsuj = lnaj. On doit montrer que

ln3≤ 1 n

n

X

j=1

ln (2 +e^uj)

Ce qui découle de la convexité de

g:x→ln (2 +e^x)

2 X

.A.X

SoitE un espace euclidien.

1- Montrer que

f :x→ hx, xi=kxk² est convexe surE.

2- SoitAune matrice symétrique dénie positive ; montrer que g:X→X^T.A.X

est convexe surRⁿ. Indications

Pour le 1, appliquer la dénition.

Pour le 2, on peut aussi appliquer la dénition, ou remarquer que hX, Yi=X^T.A.Y

dénit un produit scalaire surRⁿ.

1

3 f

≤

´

a

f ≤

(f (a) + f (b))

Soita < b etf convexe surI= [a, b] ; soitc=^a+b₂ . 1- On supposef dérivable ; montrer que

f(c)≤ 1 b−a

ˆ b a

f ≤ 1

2(f(a) +f(b))

2- Même question en supposant seulementf continue.

Réponse

1- Soitg la fonction ane qui coïncide avecf enaetb ; alors : ˆ b

a

f ≤ ˆ b

a

g= b−a

2 (f(a) +f(b))

Soith:t→f(c) + (t−c)f⁰(c): sa représentation graphique est la tangente au pointc. ˆ b

a

f ≥ ˆ b

a

h= (b−a).f(c)

2- On peut se ramener au cas oùc= 0, soita=−b. On remarque que

∀u∈I, f(c) =f(0)≤f(u) +f(−u) 2 Dans ce cas, par changement de variable :

ˆ b a

f = ˆ b

a

f(−u) du

Donc ˆ b

a

f =1 2

ˆ b a

(f(u) +f(−u)) du≥ ˆ b

a

f(0) du= (b−a).f(0)

Autre méthode : on pourrait utiliser une demi-tangente à défaut d'une tangente.

4

f (0) + f (1) + ...f (n − 1) +

f (n)

Soitf dérivable convexe deRdansR. Soit s_n =1

2f(0) +f(1) +...f(n−1) +1 2f(n) Montrer que

∀n≥1,0≤sn− ˆ n

0

f ≤1

8(f⁰(n)−f⁰(0)) Indications

On se ramène au casn= 1 etf(0) =f⁰(0) = 0.

Soith=f(1), p=f⁰(1),A= (0,0), B = (1, h), etC= (c,0)intersection de la tangente enB avec l'axeOx.

On étudie l'aire du triangle(A, B, C): 1

2.h.c= 1

2.p.c.(1−c)≤p 8

2

5 Trace et fonctions convexes

Soitf une fonction convexe surR.

1- SoitS∈Sn(R)de valeurs propresλ1≤...≤λn. Soit Ω =

P.S.P⁻¹/ P ∈On(R) SoitA∈Ω. Montrer que

∀j∈ {1, ...n}, λ₁≤a_j,j ≤λ_n 2- Montrer que

n

X

j=1

f(λ_j) = max







n

X

j=1

f(a_j,j)/ A∈Ω







3- Pour tout endomorphisme symétriqueu, on notep_λle projecteur orthogonal surKer (u−λId), et on pose

f(u) = X

λ∈Sp(u)

f(λ)p_λ

Soitvetwdeux endomorphismes symétriques sur un même espace euclidienEett∈[0,1]. Montrer que

tr (f((1−t)v+tw))≤(1−t).trf(v) +t.trf(w)

Indications

1- Soitscanoniquement associé àS;Areprésentesdans une base orthonormaleB= (e1, e2, ...en), et

aj,j =hs(ej), eji=

n

X

k=1

λk.x²_k

avec _n

X

k=1

x²_k=kejk²= 1

2- SoitD= diag (λ1, ..., λn);A=P.D.P⁻¹=P.D.P^T.

aj,j =

n

X

k=1

λkp²_j,k

Donc

f(aj,j) =f

n

X

k=1

λkp²_j,k

!

≤

n

X

k=1

p²_j,k.f(λk)

et en sommant : _n

X

j=1

f(aj,j)≤

n

X

k=1

f(λk)

3- On choisit une base orthonormaleB= (e1, e2, ...en)telle que la matrice dansB de (1−t)v+tw soit diagonale :

MB((1−t)v+tw) = diag (λ1, ..., λn) D'où

M_B(f((1−t)v+tw)) = diag (f(λ₁), ..., f(λ_n)) On noteV etW les matrices dansB dev etw.

Pour toutj :

f(λj) =f((1−t)vj,j+twj,j)≤(1−t)f(vj,j) +tf(wj,j) Il reste à sommer et à utiliser la question précédente.

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