Fonctions convexes

Chapitre 17

Fonctions convexes

Dans tout chapitre,I désigne un intervalle de Retf ∈F(I,R). I - Fonctions convexes sur un intervalle

Définition 1 (Convexité). f est dite convexe si

∀ x, y∈I, λ∈[0,1], f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y).

f est dite concave si −f est convexe.

Exercice 1.Donner des exemples de fonctions convexes. Donner une représentation graphique de cette dénition.

Théorème 1 (Inégalité de Jensen).

f est une fonction convexe si et seulement si

∀n∈N^?,∀(x_i)_i∈

J1,nK∈Iⁿ,∀(λ_i)_i∈

J1,nK ∈[0,1]ⁿ ;

n

X

i=1

λ_i = 1, f

n

X

i=1

λ_ix_i

!

≤

n

X

i=1

λ_if(x_i).

Lemme 1.

Les propositions suivantes sont équivalentes.

(i). f est une fonction convexe.

(ii). ∀ x, y, z∈I ; x < y < z, ^f(y)−f_y−x^(x) ≤ ^f(z)−f(x)_z−x . (iii). ∀ x, y, z∈I ; x < y < z, ^f(y)−f_y−x^(x) ≤ ^f(z)−f(y)_z−y . (iv). ∀ x, y, z∈I ; x < y < z, ^f(z)−f(x)_z−x ≤ ^f(z)−f_z−y^(y).

Exercice 2.Représenter ces résultats graphiquement.

Propriété 1 (Taux d’accroissement).

f est une fonction convexe si et seulement si pour touta∈I,τ_a : I\{a} →R, x7→ ^f(x)−f_x−a^(a) est croissante.

II - Convexité et dérivabilité Propriété 2.

Soient f une fonction convexe sur I, a ∈ I. On suppose que f est dérivable en a. Soient x, y ∈I tels quex < a < y. Alors,

f(x)−f(a)

x−a ≤f⁰(a)≤ f(y)−f(a) y−a .

Propriété 3 (ClasseC¹).

Soit f une fonction dérivable sur I. f est une fonction convexe si et seulement si f⁰ est croissante.

Chapitre 17. Fonctions convexes MPSI 1

Exercice 3.Montrer que les fonctions x7→ x² etx 7→ e^x sont convexes. Que dire de la fonction x7→lnx?

Exercice 4.Soientn∈N^? eta1, . . . , an∈R^?+. Montrer que

n

Y

k=1

ak

!¹

n

≤ 1 n

n

X

k=1

ak.

Corollaire 2 (ClasseC²).

Soit f ∈C²(I).f est une fonction convexe si et seulement sif⁰⁰≥0.

Définition 2 (Point d’inflexion).

Un point où la convexité change de signe est appelé point d'inexion. Si f est de classe C², les points d'inexion sont les points où f⁰⁰ change de signe.

Propriété 4 (Tangentes).

Soit f une fonction convexe et dérivable surI. Alors,

∀ x, a∈I, f(x)≥f(a) + (x−a)f⁰(a).

Exercice 5.Montrer les inégalités suivantes.

1. ∀u∈]−1,+∞[,ln(1 +u)≤u. 2. ∀ u∈R,1 +u≤e^u.

L•ycée Sˆta’nˆiŒs„laŒš 99 A. C€a’m€a’n€eš