RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientique
École Normale Supérieure, Kouba(Alger) Département de Mathématiques
MEMOIRE´
Pour l'obtension du garde de MAGISTER
SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES
OPTION : Équations et inclusions diérentielles ordinaires et fractionnaires Présentée par : Besma BOUCHENEB
Théorie du point xe dans les espaces localement convexes
Directeur de mémoire : Abdelhamid BENMEZAI
Soutenu le 12 /10 /2013 à l'E.N.S-Kouba
Devant le jury composé de
Mr. S. DJEBALI Professeur ENS-Kouba Président Mr. T. MOUSSAOUI M. C.(A) ENS-Kouba Examinateur Mme. K. HAMMACHE M.C.(B) ENS-Kouba Examinatrice
Mr. K. BACHOUCHE M.C.(B) ENSSEA Examinateur
Table des matières
1 Préliminaires 13
1.1 Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . 14
1.1.1 Espaces vectoriels topologiques . . . 14
1.1.2 Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . 14
1.1.3 Semi-normes . . . 14
1.2 La topologie faible . . . 20
1.3 Mesure de non compacité . . . 23
1.3.1 Mesure de non compacité de Kuratowski . . . 24
1.3.2 Mesure de non compacité faible de De Blasi . . . 28
1.4 Quelques notions de base . . . 29
2 Les théorèmes fondamentaux de point xe... 31
2.1 Théorèmes de Brouwer et Schauder . . . 32
2.1.1 Application du théorème de Brouwer . . . 34
2.1.2 Application du théorème de Schauder . . . 39
2.2 Théorèmes de Darbo, Sadovskii et M¨onch . . . 41
2.3 Alternative non linéaire de type Leray-Schauder . . . 44
2.4 Théorème du point xe de Furi-Pera . . . 47
3 Théorie du point xe dans les espaces localement... 52
3.1 Théorie du point xe dans les espaces localement convexes de Hausdor . . 53
3.1.1 Théorème du point xe de Schauder-Tychono . . . 53
3.1.2 Alternative non linéaire de type Leray-Schauder . . . 56
3
TABLE DES MATIÈRES 4
3.1.3 Théorème du point xe de Furi-Pera . . . 57
3.2 Théorèmes de point xe pour les applications faiblement continues . . . 59
3.2.1 Théorème du point xe de Schauder-Tychono pour la topologie faible . . . 59
3.2.2 Théorème du point xe de Darbo pour la topologie faible . . . 59
3.3 Théorèmes de point xe pour les applications faiblement séquentiellement continues . . . 60
3.3.1 Théorème du point xe d'Arino-Gautier-Penot . . . 60
3.3.2 Généralisation du théorème de Darbo . . . 61
3.3.3 Une alternative non linéaire de type Leray-Schauder . . . 62
3.3.4 Théorème du point xe de Furi-Pera . . . 63
3.3.5 Applications . . . 65
3.4 Théorèmes de point xe pour la somme de deux opérateurs . . . 71
3.4.1 Théorème du point xe de Krasnosel'skii dans les espaces de Banach 71 3.4.2 Théorème du point xe de Krasnosel'skii dans les espaces locale- ment convexes . . . 72
3.4.3 Théorème du point xe de Krasnosel'skii pour les applications fai- blement continues . . . 76
3.4.4 Théorème du point xe de Krasnosel'skii pour les applications fai- blement séquentiellement continues . . . 77
3.4.5 Application . . . 81
4 Alternatives non linéaires de type Leray-Schauder... 85
4.1 Introduction et préliminaires . . . 86
4.2 Alternative non linéaire de type Leray-Schauder . . . 87
4.2.1 Le cas d'un ensemble non borné . . . 87
4.2.2 Le cas d'un ensemble borné . . . 89
4.3 Alternative non linéaire de type Krasnosel'skii . . . 90
4.4 Les applications . . . 91
TABLE DES MATIÈRES 5
4.4.3 Formulation en problème de point xe . . . 93
4.4.4 Résultats d'existence . . . 94
5 Théorie de point xe avec la condition intérieure... 98
5.1 Introduction et préliminaires . . . 99
5.2 Théorèmes de point xe . . . 103
5.3 Exemples . . . 107
5.3.1 Exemple 1 . . . 107
5.3.2 Exemple 2 . . . 108
5.4 Théorèmes de point xe avec la mesure de non compacité faible . . . 109
6 Equations intégrales...´ 116
6.1 Préliminaires . . . 117
6.2 Application à une équation intégrale de type Volterra . . . 121
6.2.1 Cas spécial . . . 121
6.2.2 Cas général . . . 123
Résumé
Dans notre travail, nous avons étudié quelques théorèmes de point xe dans des es- paces de Banach munis de la topologie faible ; ceux ci peuventeˆtre appliqués directement pour prouver des résultats d'existence de solutions pour certaines équations intégrales non linéaires.
Ce travail est divisé en six chapitres. Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté quelques théorèmes de point xe dans des espaces de Banach. Dans le chapitre 3, nous avons donné quelques théorèmes de point xe dans des espaces vectoriels topologiques lo- calement convexes, en particulier dans des espaces de Banach munis de la topologie faible.
Dans le chapitre4, nous avons démontré deux alternatives non linéaires de type Leray- Schauder et une alternative non linéaire de type Krasnosel'skii ; ce dernier résultat est appliqué directement pour résoudre l'équation intégrale suivante :
y(t) = g(t, y(t)) +λ
∫
Ω
k(t, s)f(s, y(s))ds, t∈Ω,
posée dans l'espaceL1(Ω, X), l'espace des fonctions Lebesgue intégrables sur un ensemble mesurable Ω∈Rn et à valeurs dans un espace de Banach X de dimension nie. La fonc- tion g est une contraction par rapport à la deuxième variable et f ( resp. k ) est une fonction non linéaire( resp. mesurable ).
Dans le chapitre5, nous avons introduit une nouvelle condition analogue à la condition
TABLE DES MATIÈRES 7 de Furi-Pera et qu'on note (FPIC)δ; elle est dénie comme suit
(FPIC)δ
si {(xj, µj)}j≥1 est une suite dans Ωδ×[0,1]
convergente vers (x, µ) avec x=µF(x)et 0≤µ <1, alors µjF(xj)∈Ωpour j assez grand,
o`u Ωδ :={x∈Ω :dist(x, ∂Ω)< δ}.
En utilisant la condition (FPIC)δ, nous avons démontré quelques résultats d'existence pour des applications k−set contractions et aussi pour des applications condensantes dé- nies sur des ensembles ouverts bornés, strictement étoilés Ωd'un espace de Banach X.
Dans le dernier chapitre, nous avons utilisé le théorème du point xe de Schauder- Tychono ainsi que la mesure de non compacité faible pour obtenir quelques principes d'existence pour l'équation
u(t) = F u(t), t∈[0, T]
posée dans un espace de Banach muni de la topologie faible. Nous avons étudié comme cas particulier l'équation intégrale de Volterra
y(t) =h(t) +
∫ t 0
k(t, s)f(s, y(s))ds, t∈[0, T],
o`u l'intégrale est comprise dans le sens de l'intégrale de Pettis.
Abstract
In this work, we have studied some xed point theorems in Banach spaces equipped with the weak topology and applied them to prove existence results of solutions for some nonlinear integral equations.
This work is divided into six chapters. In the second chapter, we have presented some xed point theorems in Banach spaces. In Chapter 3, we have given some xed point theorems in locally convex spaces, especially in Banach spaces equipped with the weak topology.
In Chapter4, we have shown three nonlinear alternatives of Leray-Schauder and Kras- nosel'skii type involving the weak topology ; this result is applied directly to solve the following integral equation :
y(t) = g(t, y(t)) +λ
∫
Ω
k(t, s)f(s, y(s))ds, t∈Ω,
posed in L1(Ω, X), the space of Lebesgue integrable functions on a measurable subset Ω ofRnwith values in a nite dimensional Banach spaceX. Hereg is a function satisfying a contraction condition with respect to the second variable while f (resp. k)is a nonlinear ( resp. measurable )function.
In Chapter 5, we have presented a new condition similar to the condition of Furi-Pera
TABLE DES MATIÈRES 9 and denoted(FPIC)δ; it is dened as follows
(FPIC)δ
if {(xj, µj)}j≥1 is a sequence in Ωδ×[0,1]
converging to (x, µ) with x=µF(x) and 0≤µ <1, then µjF(xj)∈Ω for j suciently large,
where Ωδ :={x∈Ω :dist(x, ∂Ω)< δ}.
Using the condition (FPIC)δ, we have shown some xed point theorems for continuous strictk−set contractions and more generally condensing mapsF dened on bounded open and strictly star-shaped subsets Ω of a Banach space X.
In the last chapter, we have used the Schauder-Tychono xed point theorem whith the weak measure of noncompactness to obtain existence principles for the general operator equation
u(t) = F u(t), t∈[0, T]
in a Banach space endowed with the weak topology. As a particular case we have studied the Volterra integral equation
y(t) =h(t) +
∫ t 0
k(t, s)f(s, y(s))ds, t∈[0, T],
where the integral is understood as the Pettis integral.
