Contributions à l’analyse stochastique et à la viabilité

(1)

No d’ordre : 2348

TH`

ESE

pr´

esent´

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a

L’UNIVERSIT´

E MOHAMMED V-AGDAL

FACULT´

E DES SCIENCES RABAT

pour l’obtention du

DIPL ˆ

OME DE DOCTORAT D’´

ETAT EN

MATH´

EMATIQUES

par

Saˆıda AMINE

CONTRIBUTION `

A L ANALYSE

STOCHASTIQUE ET `

A LA VIABILIT´

E

Soutenue devant le jury compos´e de :

Président : A. ZOGLAT Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat Examinateurs :

M. EL KADIRI Professeur `a la Facult´e des Sciences de Rabat

M. KABIL Professeur `a la Facult´e des Sciences et Techniques de Mohammedia

R. MORCHADI Professeur Habilité à la Faculté des Sciences et Techniques de Mo-hammedia

S. SAJID Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia A. ZINE EL ABIDINE Professeur Habilité à la Faculté des Sciences de Rabat

(2)

Avant-Propos

Cette thèse est composéee de deux parties. Une partie a été effectuée au Département de Mathématiques de la Faculté des Sciences de Rabat. L’autre partie a été effectuée au Laboratoire de Probabilité de la Faculté des Sciences de Paris VI, France.

Je saisis l’occasion de l’achèvement de ce travail pour exprimer ma gratitude à Mon-sieur Mohammed El KADIRI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, pour ses conseils, ses encouragements constants et ses qualités humaines auxquelles j’étais très sensible.

Je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Monsieur Ali Suleymen USTUNEL, Pro-fesseur à l’Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Paris, pour les conseils efficaces et les encouragements constants qu’il m’a prodigués tout au long de ce travail ainsi que pour la confiance qu’il m’a témoignée.

J’adresse mes vifs remerciements à Monsieur Abdelhak ZOGLAT, Professeur à la Fa-culté des Sciences de Rabat qui me fait l’honneur de présider le jury.

Mes remerciements s’adressent également à Monsieur Abdelali ZINE EL ABIDINE, Professeur Habilité à la Faculté des Sciences de Rabat, qui a accepté de faire partie du jury de cette thèse.

Monsieur Said SAJID, Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Moham-media, m’a encouragé dans ma recherche. Son intérêt pour mon travail est une source de force et de motivation pour moi. Notre collaboration est le fruit de nos discussions. Je le remercie d’être un rapporteur de cette thèse.

Je suis redevable à Monsieur Radouan MORCHADI, Professeur Habilité à la Fa-culté des Sciences et Techniques de Mohammedia, pour son aide, ses conseils, son soutien constant et nos discussions qui ont abouti à un début de collaboration.

J’exprime ma profonde reconnaissance à Monsieur Mustapha KABIL, Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia, pour le soutien et les encouragements constants qu’il m’a prodigués. Je le remercie d’être un rapporteur de ma thèse.

Mes remerciements vont également à Madame Marta SANZ SOLE Professeur à l’uni-versité de Barcelone, pour son soutien et son amitié.

J’exprime mes remerciements à mes collègues du Département de Mathématiques de la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia. Plus particulièrement, les Profes-seurs, ALLALI, CHAIRA, HARFAOUI, MOUMIDA, NOUR EL ABIDINE et TAIK. Le travail en leur compagnie est un réel plaisir.

(3)

Je dédie cette thèse à

(4)

ANN´EE 2007 Titre de la th`ese :

CONTRIBUTIONS À L’ANALYSE STOCHASTIQUE ET À LA VIABILITÉ. Prénom, Nom : Saida AMINE

R´esum´e :

Cette thèse porte sur le calcul des variations stochastiques et la viabilité. Elle est com-posée de quatre chapitres. Dans les deux premiers chapitres, on utilise les techniques du calcul de Malliavin pour démontrer les résultats obtenus.

Dans le premier chapitre, à l’aide d’une classe de distributions sur l’espace de Wiener abstrait, on démontre deux types de formules : une version stochastique du théorème de Stokes, puis une formule d’Ito pour un processus à deux paramètres et à trajectoires non monotones.

Dans le second chapitre, on définit la loi d’une distribution et l’indépendance de deux distributions. Ensuite, on énonce et démontre des versions de la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale pour les distributions.

En ce qui concerne le troisième chapitre, on s’intéresse aux fonctions caractéristiques des lois quantiques. Pour tout opérateur auto-adjoint positif et de trace unité, on définit la fonction caractéristique à l’aide du système de Weyl. On montre que cette fonction se prolonge aux opérateurs de Hilbert-Schmidt de l’espace Fock d’un espace de Wiener complexe. A l’aide de la C¨* algèbre engendrée par le système de Weyl on démontre l’analogue du théorème de Bochner.

Enfin, pour le quatrième chapitre on démontre un résultat sur la viabilité des solu-tions d’une équation différentielle multivoque avec contrainte sur l’état. En imposant une nouvelle condition de tangence, on assure en l’absence de la convexité du second membre, la convergence des solutions approchées.

Mots-clefs : Calcul de Malliavin, formule d’Ito, loi des grands nombres, théorème de la limite central, viabilité.

(5)

Table des mati`

eres

1 Introduction. 6

2 Calcul stochastique non adapté à plusieurs paramètres. 16

2.1 Introduction . . . 17

2.2 Notations et pr´eliminaires . . . 18

2.3 Formule de Stokes de type Skorohod . . . 20

2.4 Formule d’Ito pour un processus anticipatif à deux paramètres à trajectoire non monotone et formule de changement de variable stochastique . . . 21

3 Loi des grands nombres et th´eor`eme de la limite centrale pour les dis-tributions sur l’espace de Wiener. 37 3.1 Introduction . . . 38

3.2 Notations et pr´el´eminaires . . . 38

3.3 Th´eor`eme de la limite centrale . . . 39

4 Fonctions caract´eristiques des op´erateurs de Fock. 44 4.1 Introduction . . . 45

4.2 Notations et rappels . . . 45

4.2.1 Le triplet < F ockH > centr´e sur le Fock . . . 45

4.2.2 Op´erateur de champ et syst`eme de Weyl-Segal . . . 46

4.2.3 Noyaux et symboles de Wick . . . 47

4.2.4 Analyse differentielle sur les espaces gaussiens complexes . . . 48

4.3 Fonction caractéristique et distribution caractéristique en probabilité quan-tique. . . 51

4.4 Représentation d’états quasi-libres du F ock à l’aide d’opérateurs de densité. 52 4.4.1 Application: retour à la dimension finie . . . 54

5 Solutions viables d’une inclusion diff´erentielle du second ordre avec contrainte. 57 5.1 Introduction. . . 58

5.2 Préliminaires et énoncé du résultat principal . . . 59

5.3 Existence de solutions. . . 59

5.3.1 Approximation de solutions. . . 61

(6)

Chapitre 1

Introduction.

(7)

Cette thèse porte sur l’analyse stochastique et les équations différentielles multivoques avec contrainte sur l’état. Elle est composée de 3 parties:

Dans la première partie de ce travail, on démontre des résultats de certains problèmes de probabilité en dimension infinie, en utilisant les techniques du calcul de Malliavin.

Pour fournir une preuve probabiliste du théorème d’Hormander, P. Malliavin [16] a développé en 1976, le calcul des variations stochastiques, qui est depuis connu par le calcul de Malliavin.

Dans sa forme générale, ce calcul est fortement complexe d’idées qui combinent pro-fondément des résultats de la probabilité et celle de l’analyse fonctionnelle [30]. Depuis sa conception, ce calcul a subi des extensions et des simplifications considérables. Il présente aujourd’hui, un outil puissant pour prouver une variété de résultats.

Le premier résultat de cette partie concerne le calcul stochastique anticipatif. La propriété essentielle de ce calcul est qu’il implique des intégrales stochastiques où les integrands ne sont pas adaptés (c’est à dire anticipatifs). Il existe plusieurs approches de définitions de ces intégrales [24, 22, 27]. Ici, nous nous concentrons sur l’intégrale de Ramer-Skorohod introduite par Ramer et Skorohod [24, 27]. Nualart et Zakai ont défini l’intégrale de Ramer-Shorohod sur un espace mesurable séparable (T,B,µ) où µ est une mesure sans atome [20].

Plus récemment, Nualart et Pardoux [21] ont développé un calcul stochastique dans le cas où T = [0,1] muni de la σ-algèbre borélienne et de la mesure de Lebesgue.

Jolis et Sanz [14] ont généralisé le calcul stochastique anticipatif au cas où T = [0,1]n. Dans le premier résultat sur les processus stochastiques anticipatifs on établit une formule de Stokes stochastique. En effet soit (Ω,H,µ) l’espace de Wiener classique sur lRd, sur lequel on définit l’intégrale stochastique de Skorohod, les espaces des fonctions tests Φ, Φ(H+∞) et leurs duaux espaces des distributions Φ0,Φ0(H−∞) introduits par Korezlioglu

et Ustunel [15]. Soit D un domaine de lRdde bord régulier. Après avoir défini l’intégrale de Skorohod sur le bord ∂D de D, on démontre la formule de Stokes stochastique suivante: Théorème 1 (Formule de Stokes-Skorohod)

Soit ξ : Ω −→ Λ1_{(D) un champ al´}_{eatoire p.s continu alors:}

Z D divξ(x)δW (x) = Z ∂D (ξ(x),n(x))_lRd δ_SW (x) − ∂_D∗ξ (1.0.1) dans Φ0, o`u ∂ = grad ◦ ∇ : Φ −→ Φ(H∞) ⊗ lRd; ∂∗ : Φ0(H−∞) ⊗ lRd−→ Φ0 et < ∂Dϕ,ξ >= E( Z D (grad ˙∇ϕ(x),ξ(x)) lRd dx), (1.0.2)

< , > représente la dualité entre Φ0(H−∞) ⊗ lRd et Φ(H∞) ⊗ lRd, δ l’intégrale de

Sko-rohod, δS l’int´egrale de Skorohod sur le bord de D et Λ1(D) est l’espace des 1- formes

diff´erentielles sur D.

Ensuite on d´eduit une formule de Green stochastique.

Quant au deuxième résultat, on considère T = [0,1]2 et Xs,t un processus anticipatif à

(8)

F (Xν(s,t)) o`u ν : [0,1]2 −→ [0,1]2 est une application non n´ecessairement monotone et F

une fonction r´eelle de classe C2_{. On obtient:}

Th´eor`eme 2 Soit

Xs,t = X0+ Z Rs,t ˙ KαδWα+ Z Rs,t ˙ ξαdα,

Si K ∈ ID4,2(H), ξ ∈ ID4,1(H), X0 ∈ ID4,1, et F ∈ Cb2, alors la formule(2.4.15, chap.2) est

vraie et tous ses termes sont des ´el´ements de L2_{. ID}

p,q(H) d´esignant l’espace de Sobolev

de Meyer-Watanabe.

En utilisant l’in´egalit´e de Holder on obtient:

Théorème 3 Sous les mêmes hypothèses qu’au théorème précédent et s’il existe p > 4 tel que E Z [0 ,1]2 | ˙Kα|pdα + E Z [0 ,1]2_{×[0 ,1]}2 | ˙∇ ˙Kα(s)|pdsdα < ∞,

alors la formule (2.4.15,chap.2) est vraie si F ∈ C2_.

Si on suppose maintenant que F est de classe C4_{, on obtient par it´}_{eration de la formule}

du théorème précédent, une formule où les integrands ne dépendent plus du rectangle Rs,t = [0,s] × [0,t] [3]:

Th´eor`eme 4 (Formule d’Ito)

Sous les mêmes hypothèses qu’au théorème précédent et si F ∈ C4 tel que F0(X0,0) = F00(X0,0) = 0, alors on a F (Xs,t) − F (X0,0) = A + B + C, a.s (1.0.3) où A = Z Rs,t ˙ K(x,y)h Z Rx,t ˙ K(u,v,)F00(Xx,v)δW (u,v) i δW (x,y) + Z Rs,t ˙ K(x,y)h Z Rx,t ˙ K(u,v)F(3)(Xx,v) Z Rx,v ˙ ∇ ˙Kα(u,v)δWα dudviδW (x,y) +1 2 Z Rs,t ˙ K(x,y)h Z Rx,t ˙ K2(u,v)F(3)(Xx,v)dudv i δW (x,y), B = Z Rs,t ˙ K(x,y) Z Rx,t ˙ K(u,v)F(3)(Xx,v)δW (u,v) Z Rx,t ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr dxdy + Z Rs,t ˙ K(x,y) Z Rx,t ˙ K(u,v)F(4)(Xx,v) Z Rx,v ˙ ∇ ˙Kα(u,v)δWα dudv Z Rx,t ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr dxdy

(9)

+1 2 Z Rs,t ˙ K(x,y) Z Rx,t ˙ K2(u,v)F(4)(Xx,v)dudv Z Rx,t ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr dxdy, et C=1 2 Z Rs,t ˙ K2(x,y) hZ Rx,t ˙ K(u,v,)F(3)(Xx,v)δW (u,v) i dxdy +1 2 Z Rs,t ˙ K2(x,y) hZ Rx,t ˙ K(u,v)F(4)(Xx,v) Z Rx,v ˙ ∇ ˙Kr(u,v)δWr dudv i dxdy +1 4 Z Rs,t ˙ K2(x,y) hZ Rx,t ˙ K2(u,v)F(4)(Xx,v)dudv i dxdy.

Cette formule présente moins de termes que celles trouvées par Jolis-Sanz[14] et Thieul-len [28] et permet de déduire une formule de changement de variable stochastique non adaptée. Enfin, en considérant un espace de Wiener abstrait (W,H,µ) et l’espace des dis-tributions de Meyer-Watanabe ID0, et aprés avoir défini une notion d’indépendance et une notion de loi pour les distributions, on démontre grâce au calcul de Malliavin la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale pour ces distributions [1, 2].

Th´eor`eme 5 (Loi des grands nombres)

Soit (Tn) une suite de distributions bornées, équidistribuées et fortement indépendantes

dans IDq,−k, alors Pn i=1Ti n I D0 −→ E(T1)

Théorème 6 (Théorème de la limite centrale)

Soit (Tn) une suite de distributions équidistribuées centrées et fortement indépendantes

dans IDq,−k,(q ≥ 2) alors: 1 √ n n X i (I + L)−k/2Ti Loi −→ N (0,σ) (1.0.4) o`u σ = var((I + L)−k/2T1) < ∞

Dans la deuxième partie de cette thèse on s’intéresse à certains problèmes relevant de la mécanique quantique. En effet, la plupart des physiciens pensent que l’axiomatique de Kolmogorov en probabilité est insuffisante pour décrire certains aspects du monde réel, alors ils ont recours à l’axiomatique de Von-neumann. Comme la mécanique quan-tique est une théorie essentiellement probabiliste, on assiste depuis quelques années à un développement de travaux sur le calcul stochastique non commutatif [17, 25, 13],... qui présentent une version très attirante du calcul d’Ito pour des processus d’opérateurs et répond à l’attente des physiciens.

(10)

Le passage du language probabiliste classique au language probabiliste quantique se fait comme suit :

Language probabiliste classique language probabiliste quantique Ω(espace de probabilit´e) H (espace de Hilbert)

A (tribu) A (sous espace ferm´e de H)

B(´ev´enement) IB( projecteur)=projB

A ⊂ B IA.IB = IB.IA= IA

∅(´ev´enement impossible) projecteur nul

Ω(événement certain) IH(projecteur identité)

∩ ∧(l’intersection de deux sous-espaces ferm´es)

∪ ∨(sous-espace fermé engendré par la réunion)

Ac(´ev´enement non A) IA⊥ = Id − I_A

Cependant, l’ensemble des opérateurs semble une algèbre incohérente avec certaines opérations probabilistes (classiques!), elle est alors remplacée par l’algèbre d’opérateurs bornées stable pour l’opération de passage à l’adjoint ∗. Les C∗ algèbres jouent le rôle des algèbres des fonctions continues souvent utilisées dans la théorie de la mesure tandis que les algèbres de Von-neumann jouent le rôle des tribus en probabilité quantique.

Une loi de probabilité quantique, appelée état par les physiciens, est alors définie comme un opérateur positif de trace égale à 1 sur un espace de Hilbert H. Par analogie avec la transformée de Fourier d’une mesure µ sur lR2 en probabilité classique, à toute loi de probabilité quantique ρ sur lR2, on associe la fonction caractéristique F définie par: F (r,s) = T r(ρWr,s) = E[ei(rP +sQ)] où P et Q désignent le couple canonique sur lR2, très

connu par les physiciens et Wr,s le syst`eme de Weyl associ´e.

En dimension infinie, le système de Weyl sur un espace de Hilbert complexe H sera remplacé par les opérateurs de création a+ et d’annihilation a− sur F ock(H). A toute loi de probabilité quantique B sur H, la fonction caractéristique s’écrit alors :

Bc(z) = F (z) = T r(Be−a

+_(¯_z)a−_(z)

) o`u ¯z est le conjugu´e de z ∈ H.

En dimension finie, Pool [23] a démontré une sorte de théorème de Planchrel, suivant lequel la bijection ρ → F s’étend à un isomorphisme entre les opérateurs de Hilbert-Schmidt de L2_{(lR) et L}2_(lR2_{). Le premier r´}_{esultat de cette partie consiste `}_{a ´}_{etendre cet isomorphisme}

aux opérateurs de Hilbert-Schmidt de F ock. Ensuite on démontre l’extension du théorème de Bochner à la dimension infinie pour toute loi de probabilité quantique sur F ock(H). Théorème 7 la transformation B → Bc restreinte à V ect(|eu >< ev|) se prolonge par

continuit´e en une isom´etrie bijective

B ∈ LHS(F ock(H)) N

→ Bc ∈ L2γ,(Ω).

O`u N = I0 ◦ S ◦ ν, ν est l’application noyau, I0 _l’isom´_{etrie de B. Lascar et S la}

transformation de F ock( ¯H × H) définie par f (¯z,z0) → f (z0, − ¯z). Autrement dit N est la composée de trois isométries bijectives:

LHS(F ock) ν

→ F ock( ¯HXH)→ F ock( ¯S HXH)→ LI0 2

(11)

B(¯z,z0) s’expriment en fonction de Bc ˜ B(¯z,z0) = ezz0¯ Z e−¯z. ¯w+z0.wBc( ¯w,w)dγ0( ¯w,w) (1.0.5) B(¯z,z0) = Z e−¯z. ¯w+z0.wBc( ¯w,w)dγ0( ¯w,w). (1.0.6)

On dit que Bc est la distribution caract´eristique de B.

On appelle état quasi-libre associé à un opérateur positif auto-adjoint A > IdH la

forme lin´eaire d´efinie sur H par: ϕ(z,¯z) = ωA(e−a

+_(¯_z)a−_(z)

) = exp((A − Id)¯z.z/2)

Le deuxième résultat de cette partie donne une condition suffisante pour qu’un état quasi-libre sur la C.C.R algèbre engendrée par le système de Weyl soit représenté par une loi quantique de F ock(H).

Théorème 8 Soit w = wA un état quasi-libre sur la C∗-algèbre W engendrée par le

système de Weyl. Alors, wA est representable par un opérateur de densité B de F ock si

A − Id est un op´erateur `a trace de H. Dans ce cas, le symbole de Wick de B est B(¯z,z0) = [detA + 1

2 ]

−1

exp(−2¯z(A + 1)−1z0).

La troisième partie s’intéresse à la viabilité des solutions d’une équation différentielle (déterministe) multivoque avec contrainte sur l’état.

En effet, le concept de la viabilité a été introduit par Nagumo [19]. Il s’agit d’établir une condition suffisante pour qu’une équation différentielle admette une trajectoire viable. Cette condition est que la fonction doit demeurer dans le cône contingent à l’espace des états. Ce résultat a été étendu au cas multivoque par Haddad [9] pour des multifonc-tions à valeurs convexes compactes. Ici, on s’intéresse à l’existence de solutions viables en l’absence de la convexité du second membre pour une équation différentielle du second ordre ¨ x(t) ∈ f (t,x(t), ˙x(t)) + F (x(t), ˙x(t)) (x(0), ˙x(0)) = (x0,v0) x(t) ∈ K. (1.0.7)

sous la condition tangentielle suivante

Pour tout (t,x,y) ∈ I × K × U , il existe w ∈ F (x,y) tel que lim inf h→0+ 1 h2dK(x + hy + h2 2 w + Z t+h t f (τ,x,y)dτ ) = 0,

où F est une multi-fonction définie de K × U semi-continue supérieurement, cycliquement monotone à valeurs compactes dans lRn, U un ouvert de lRn, K fermé de lRn et f une fonction de Carathéodory.

D’où le théorème [4]

Théorème 9 Il existe T > 0 et x(.) : [0,T ] → lRn absolument continue ainsi que sa dérivée ˙x(.) solutions de (1.0.7)

(12)

Ce résultat pourra sans doute s’étendre ( question ouverte!) au cas de la dimension infinie c’est à dire K et U des parties d’un espace de Hilbert et voir par conséquent sa version stochastique.... Certains auteurs se sont intéressés à la viabilité au cas stochastique [6, 7]...

Cette th`ese est divis´ee en 5 chapitres.

Le premier chapitre est une introduction générale et une présentation des résultats. Dans le chapitre 2, on établit deux résultats.

Le premier démontre une formule de Stokes stochastique de type Skorohod (théorème2.3.1, chap2) puis permet de déduire une formule de Green stochastique.

Quant au deuxième résultat, il porte sur les processus stochastiques anticipatifs à plu-sieurs paramètres et à trajectoire non monotone. En effet, on montre une formule d’Ito (théorème 2.4.1, théorème 2.4.2, théorème 2.4.3, chap2) puis une formule de changement de variable stochastique (proposition2.4.2). Enfin, on applique la formule trouvée à l’ex-ponentielle du brownien pour retrouver le résultat de Cairoli et Walsh [8].

Au chapitre 3, on démontre la loi des grands nombres (théorème 3.3.1, chap3) puis le théorème de la limite centrale (théorème 3.3.3, chap3) pour les distributions de Meyer Watanabe.

Au chapitre 4, on étudie les fonctions caractéristiques d’une loi quantique en dimen-sion infinie et les états quasi-libres sur la C.C.R algèbre engendrée par le système de Weyl. On montre que la fonction caractéristique d’une loi quantique admet une extension aux opérateurs de Hilbert Schmidt de F ock (théorème 4.3.1, chap4) puis on démontre l’analogue du théorème de Bochner pour des lois de probabilités quantiques en dimension infinie (théorème 4.4.1, chap4). Enfin, on retrouve par notre méthode les résultats de la dimension finie.

Dans le chapitre 5, on montre l’existence de solutions viables pour une classe d’inclusions différentielles du second ordre non convexe du type (1.0.7)( théorème 5.2.1, chap5).

(13)

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(16)

Chapitre 2

Calcul stochastique non adapt´

e `

a

(17)

R´

esum´

e

A l’aide d’une nouvelle classe de distributions sur l’espace de Wiener et le calcul stochastique non adapté, nous définissons une intégrale de Skorohod sur le bord ∂D d’un domaine très régulier de lRd, puis nous établissons une formule de Stokes-Skorohod pour un champ stochastique régulier. Enfin, nous déduisons une formule de Green stochastique de type Skorohod.

D’autre part à l’aide de la même classe de distributions, nous démontrons une formule d’Ito pour un processus stochastique anticipatif à deux paramètres à trajectoires non monotones et une fonction de classe C4_{. On en d´}_{eduit ensuite une formule de changement}

de variable stochastique.

2.1 Introduction

Dans l’étude d’un processus à deux paramètres il n’y a pas pas de notion d’adaptation par rapport à la filtration du brownien. En effet on peut choisir plusieurs filtrations pour représenter l’évolution du processus et pour chaque filtration la notion d’adaptation cor-respondante [3, 21]. Comme la définition de l’intégrale de Skorohod est indépendante des paramètres [24, 27] il est donc plus convenable de considérer des processus non adaptés lorsqu ’on travaille avec des processus à plusieurs paramètres.

Dans le cas adapté, Cairoli-Walsh et Wong-Zakai [3, 21]) ont developpé un calcul sto-chastique pour un processus à deux paramètres et ils ont défini une intégrale stochastique surfacique. Ensuite ils ont établi une sorte de formule de Green stochastique ([11] aussi). Le premier paragraphe de ce chapitre consiste à définir une intégrale stochastique surfa-cique pour un processus non adapté et établir une formule de Stokes puis une formule de Green stochastique. Cette intégrale sera définie au sens des distributions.

En géométrie différentielle aléatoire les intégrales stochastiques non monotones jouent un rôle très important [1], dans le second paragraphe de ce chapitre on démontrera une formule d’Ito pour un processus stochastique non adapté à trajectoires non monotones. On en déduira ensuite une formule de changement de variable stochastique.

Jolis et Sanz[6] ont établi une formule d’ Ito de type Skorohod pour un processus à deux paramètres en utilisant la formule de Taylor et une subdivision de [0,1]2. Hajek[5] a démontré une formule de type Stratonovich pour un processus à deux paramètres en utilisant la formule de Taylor et une subdivision of [0 ,1]2_{. Thieullen [18] a utilis´}_{e une}

régularisation du drap brownien par convolution pour établir une formule d’Ito de type Stratonovitch et enfin de type Skorohod. Dans ce travail nous allons établir une formule d’Ito de type Skorohod plus générale. En effet les processus sont non adaptés et à tra-jectoires non monotones. Notre méthode est inspirée de celle utilisée par [19] pour un processus anticipatif à un paramètre et basée sur la formule fondamentale suivante du calcul différentiel:

< F (Xν(s,t)),ϕ >=< F (Xν(0,t)),ϕ > +

Z s

0

d

(18)

o`u ϕ est une fonction test, Xs,t un processus anticipatif index´e par [0,1]2, ν est une

fonction d´efinie sur [0,1]2 _{de classe C}1_{, F une fonction d´}_{efinie sur lR de classe C}4 _{, et}

< , > représente le crochet de dualité. Par conséquent on doit calculer la densité de Lebesgue de l’application suivante:

s ∈ [0,1] 7−→< F (Xν(s,t)),ϕ > ,

pour tout t fixé dans [0,1]. Cependant la formule fondamentale du calcul différentiel n’est pas suffisante pour calculer cette densité. On doit en fait considérer des fonctions test as-sez régulières. Ceci nous amène à utiliser une nouvelle classe de fonctions test construite `

a l’aide d’une nouvelle norme de Sobolev sur l’espace de Wiener classique. La propriété fondamentale de cette classe de fonctions test est que leurs dérivées sont de classe C∞ presque sûrement par rapport à leurs variables [8]. De plus cette nouvelle classe est conte-nue dans la classe des fonctions test de Meyer.

2.2 Notations et pr´

eliminaires

Soit Ω l’espace de Wiener classique C([0,1],lRd) de dual Ω∗. H est son espace de Cameroun-Martin , c’est à dire, l’ensemble des fonctions absolument continues sur [0,1] à valeurs dans lRd et de densités de carrés integrable par rapport à la mesure de Lebesgue sur [0,1]; µ est la mesure de Wiener classique sur Ω. Soit X un espace de Hilbert séparable, les fonctions régulières sur (Ω,H,µ) à valeurs dans X sont de la forme:

F (w) = p(< h1,w > ,..., < hn,w >)x, o`u p ∈ Cb∞(lR n

), hi ∈ Ω∗ et x ∈ X. Pour une

fonction régulière F (w) sur Ω à valeurs dans X on définit la dérivée ∇F (w) =

n

X

i=1

∂ip(< h1,w > ,..., < hn,w >)hi⊗ x. (2.2.1)

Ce qui induit une application de Ω ⊗ X dans Ω ⊗ H ⊗ X et par recurrence on définit ∇k, k ∈ IN. L’espace de Sobolev IDp,k(X) pour p > 1, k ∈ IN est le complété des fonctions

régulières à valeurs dans X pour la norme

k F kp,k= k

X

i=1

k ∇iF kLp_(µ,X⊗H⊗i₎ . (2.2.2)

La d´eriv´ee ∇ : IDp,k(X) −→ IDp,k−1(H ⊗ X) est la fermeture de ∇ sous la norme (2.2.2).

ID(X) est la limite projective des espaces IDp,k(X), p ∈ (1,∞),k ∈ ZZ et son dual sera not´e

ID0(X).

Si X = lR, on note tout simplement IDp,k, ID, ID0 `a la place de IDp,k(X), ID(X), ID0(X).

On sait que l’ adjoint de ∇ coincide avec l’int´egrale de Skorohod sur ID2,1(H), que l’on

note par δ et on a la formule d’int´egration par parties suivante [4]:

E(F δu) = E(< ∇F,u >H), (2.2.3)

pour tout F ∈ ID2,1, o`u < , >H repr´esente le produit scalaire dans H.

(19)

unitaire à ∂D en tout point x. Soit ξ(x,ω) un champ de vecteur défini sur Ω × D, et p.s continu par rapport à x. Nous cherchons à donner un sens à

δS(ξ,n) d = δ∂D(ξ,n) d = Z ∂D (ξ(x),n(x)) lRdδ_SW (x), (2.2.4) o`u (,)

lRd est le produit scalaire dans lR

d

. Pour cela il est convenable d’étendre la formule d’intégration par parties au bord ∂D de D, c’est à dire définir l’ expression (2.2.4) comme une application linéaire satisfaisant:

E(F δ∂D(ξ,n)) = E(<∇F ,(ξ,n)˙ _lRd >_L2_(∂D)).

Or cette expression n’a de sens que si la restriction de ∇F à ∂D est bien définie c’est à dire il faut que ∇F (x) soit continue p.s par rapport à x. Cette dernière condition n’est pas satisfaite par les fonctions test de Meyer, c’est pour cela qu’on va considérer des fonctions test plus régulières [8].

En effet, soit A un op´erateur auto adjoint elliptique positif de domaine dense dans H et dont l’inverse est born´e. On suppose de plus qu’il existe α0, tel que k A−α0 k< 1. On

note H∞= ∩ndomAn , α →< Aαh,h >H est croissante et Hα est le compl´et´e de H∞pour

la norme

< Aαh,h >H= |h|2α, α ≥ 0.

Le dual de Hαest H−α, on obtient ainsi une famille filtrante d’espaces de Hilbert (Hα,α ∈

lR) o`u Hα s’injecte continˆument dans Hβ pour tout α > β. On munit H∞ de la topologie

limite projective. Soit h ∈ H∞, pour tout α ∈ lR on d´efinit l’op´erateur Γ(Aα) par

Γ(Aα)[exp(δh −1 2|h| 2_{)] = exp(δA}α_{h −} 1 2|A α_h|2 α), o`u |h|2 _{=< h,h >}

H . Pour p > 1, k ∈ ZZ, α ∈ lR on note par IDαp,k(X) le compl´et´e des

polynômes définis sur Ω à valeurs dans X sous la norme suivante: k φ kIDα p,k=k (I + L) k 2Γ(A α 2)φ k_Lp_(X) , (2.2.5)

où φ = p(δh1, . . . ,δhn)x; hi ∈ H∞, i = 1,...,n, p est un polynôme sur lRnet L est l’opérateur

d’ Ornstein-Uhlenbeck. On note:

i) IDα(X) l’intersection de tous les espaces IDα_p,k(X), p > 1, k ∈ ZZ muni de la topologie limite projective.

ii) Φ(X) est la limite projective des espaces {IDα(X),α ∈ lR}.

Si X = lR, Φ est la nouvelle classe des fonctions test dont le dual est not´e Φ0. Korezlioglu et Ustunel [8] ont montr´e que ID0 ,→ Φ0 est une injection continue et que pour toute fonction φ ∈ Φ, ∇kφ ∈ IDα(H_α⊗k) pour tout α ∈ lR et ∇k_φ(x

1, . . . ,xk) est une fonction

C∞par rapport à ses variables dans lRd. Cette propriété de la continuité de la dérivée nous permettra de définir l’intégrale surfacique de Skorohod et de démontrer une formule d’Ito. Avant de terminer ces préléminaires rappelons le théorème du degré dont on aura besoin pour établir la formule d’Ito ([16] chapter III). Soit ν une fonction propre et régulière de lRn dans lRn et f (x) une fonction régulière définie sur lRnà valeurs dans lR, alors on a:

Z lRnJν(x)f (ν(x))dx = d ◦ (ν) Z lRnf (x)dx, (2.2.6)

(20)

o`u

d◦(ν) = d◦ν(y) = X

x:ν(x)=y

signJν(x), (2.2.7)

et Jν(x) est le jacobien de ν en x.

2.3 Formule de Stokes de type Skorohod

Soit D un domaine de lRd, de bord trés régulier, H = L2(lRd) et A un opérateur satisfaisant les conditions de [8]. Grâce à la régularité de la nouvelle classe des fonctions test on a la définition suivante:

Définition 2.3.1 Soit u = {u(t,ω),t ∈ lRd, ω ∈ Ω} un processus p.s continu, la distribu-tion de Skorohod de u (ou intégrale surfacique de Skorohod) sur ∂D est l’unique élément de Φ0 noté δS(u,n) tel que

ϕ ∈ Φ −→< ϕ,δS(u,n) >Φ×Φ0= E[ Z ∂D ˙ ∇ϕ(x)(u(x),n(x)) lRd dx]. (2.3.8)

Th´eor`eme 2.3.1 ( Formule de Stokes-Skorohod)

Soit ξ : Ω −→ Λ1_{(D) un champ al´}_{eatoire p.s continu alors:}

Z D divξ(x)δW (x) = Z ∂D (ξ(x),n(x))_lRd δ_SW (x) − ∂_D∗ξ dans Φ0, (2.3.9) o`u ∂ = grad ◦ ∇ : Φ −→ Φ(H∞) ⊗ lRd; ∂∗ : Φ0(H−∞) ⊗ lRd−→ Φ0 et < ∂Dϕ, ξ >= E( Z D (grad ˙∇ϕ(x),ξ(x)) lRd dx), (2.3.10)

< , > repr´esente la dualit´e entre Φ0(H−∞) ⊗ lRd et Φ(H∞) ⊗ lRd et Λ1(D) est l’espace des

1- formes diff´erentielles sur D.

Preuve 2.3.1 Soit x ∈ D, on suppose que ξ(x,ω) et divξ(x,ω) ∈ Φ(H∞) pour tout x. On

note

δDξ =

Z

D

ξ(ω,x)δW (x) = δ(1Dξ)

Comme δ est continue de Φ(H∞) dans Φ on a pour tout ϕ ∈ Φ

< ϕ, Z D divξ(x)δW (x) >Φ×Φ0= E[ϕ Z D divξ(x)δW (x)] = E[ Z D ˙ ∇ϕ(x)divξ(x)dx] = E[ Z D div( ˙∇ϕ(x)ξ(x))dx − Z D (grad ˙∇ϕ(x), ξ(x))dx] = E Z ∂D ˙ ∇ϕ(x)(ξ(x),n(x)) lRd dx− < ∂_D∗ξ,ϕ >_Φ×Φ0

(21)

=< ϕ,δS(ξ,n) >Φ×Φ0 − < ∂_D∗ξ,ϕ >_Φ×Φ0 , donc Z D divξ(x)δW (x) = δS(ξ,n) − ∂D∗ξ dans Φ 0 . (2.3.11)

Corollaire 2.3.1 (Formule de Green) Si ξ est un champ al´eatoire sur D de la forme ξ = gradη alors

δD(4η) + ∂D∗(gradη) = δS(gradη,n) dans Φ0. (2.3.12)

Preuve 2.3.2 R´esulte du th 2.3.1.

2.4 Formule d’Ito pour un processus anticipatif `

a deux

param`

etres `

a trajectoire non monotone et

for-mule de changement de variable stochastique

Dans ce paragraphe Ω d´esigne l’espace de Wiener classique C([0 ,1]2, lR), H son espace de Cameron-Martin c’est `a dire l’espace des fonctions absolument continues sur [0 ,1]2 _`_a

valeurs dans lR dont les densités sont de carrés intégrables par rapport à la mesure de Lebesgue sur [0 ,1]2. Soit Xz un processus anticipatif sur Ω indexé par [0 ,1]2, et défini par:

δ(1Rz. ˙K) = Xz =

Z

Rz

˙ KαδWα,

où K est une v.a à valeurs dans H dont la densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur [0 , 1]2 _{est not´}_{ee ˙}_K

α et Rz = [0,z] est un rectangle. On suppose que K ∈ Φ(H). Soit

ν : [0 , 1]2 −→ [0 ,1]2 _{une fonction C}1 _{non n´}_{ecessairement monotone on note}

ν(s,t) = (ν1(s,t), ν2(s,t)).

Lemme 2.4.1 Soit F une fonction de classe C2

b F : lR −→ lR, alors pour tout ϕ ∈ Φ

l’application suivante s 7−→< F (Xν(s,t)),ϕ > est absolument continue par rapport `a la

mesure de Lebesgue sur [0 , 1], pour tout t fix´e dans [0 , 1].

Pour toute fonction f d´efinie sur lR2 on a: Z R_ν(si+1,1) f (x,y)dxdy − Z R_ν(si,1) f (x,y)dxdy (2.4.13) = 1{ν0 1(si,1)≥0}⊗1{ν20(si,1)≥0} hZ ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) o f (x,y)dxdy+ Z ν1(si,1) o Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) f (x,y)dxdyi +1{ν0 1(si,1)≥0}⊗1{ν20(si,1)<0} hZ ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 f (x,y)dxdy+ Z ν1(si,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) f (x,y)dxdyi

(22)

+1{ν0 1(si,1)<0}⊗1{ν20(si,1)≥0} hZ ν1(si+1,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) f (x,y)dxdy+ Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si,1) 0 f (x,y)dxdyi +1{ν0 1(si,1)<0}⊗1{ν20(si,1)<0} hZ ν1(si+1,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) f (x,y)dxdy+ Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si,1) 0 f (x,y)dxdyi, o`u 0 = s1 < s2 < ... < sm = 1 est une partition de [0,1] et supi(si+1− si) tend vers

zero.

Remarque 2.4.1 i) La dernière décomposition s’écrit aussi Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) o f (x,y)dxdy + Z ν1(si,1) o Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) f (x,y)dxdy.

ii) Comme la dérivée de Sobolev et l’opérateur de divergence commutent on a:

˙ ∇[F (Xz)](α) = F0(Xz) ˙Kα1Rz(α) + Z Rz ˙ ∇ ˙Kr(α)δWr . Preuve 2.4.1 Si ϕ ∈ Φ par la formule de Taylor on a

D F (Xν(1,1)) − F (Xν(0,1)),ϕ E =Pm−1 i=1 D F (Xν(si+1,1)) − F (Xν(si,1)),ϕ E =Pm−1 i=1 D F0(Xν(si,1))(Xν(si+1,1)− Xν(si,1)),ϕ E +1₂ Pm−1 i=1 D F00( ¯Xi)(Xν(si+1,1)− Xν(si,1)) 2_,ϕE_,

où ¯Xi appartient au segment d’extrémités Xν(si+1,1) et Xν(si,1) et < , > est le crochet de la

dualit´e entre Φ0 et Φ. ´ Etape I: Calcul de m−1 X i=1 D F0(Xν(si,1))(Xν(si+1,1)− Xν(si,1)),ϕ E

Grâce à la formule d’intégration par parties (2.2.3) et la remarque précédente on a: D F0(Xν(si,1))Xν(si+1,1),ϕ E = EϕF0(Xν(si,1))Xν(si+1,1) = E " Z R_ν(si+1,1) ˙ Kα∇ϕ(α)F˙ 0(Xν(si,1))dα + Z R_ν(si+1,1) ˙ Kα 2 ϕF00(Xν(si,1))1[o , ν(si,1)](α)dα + Z R_ν(si+1,1) ˙ KαϕF00(Xν(si,1)) Z R_ν(si,1) ˙ ∇ ˙Kr(α)δWr dα # Alors m−1 X i=1 D F0(Xν(si,1))(Xν(si+1,1)− Xν(si,1)),ϕ E = m−1 X i=1 EhϕF0(Xν(si,1))(Xν(si+1,1)− Xν(si,1)) i = m−1 X i=1 Eh Z R_ν(si+1,1) ˙ Kα∇ϕ(α)F˙ 0(Xν(si,1))dα − Z R_ν(si,1) ˙ Kα∇ϕ(α)F˙ 0(Xν(si,1))dα

(23)

+ Z R_ν(si+1,1) ˙ Kα 2 ϕF00(Xν(si,1))1[o , ν_(si,1)](α)dα − Z R_ν(si,1) ˙ Kα 2 ϕF00(Xν(si,1))1[o , ν_(si,1)](α)dα + Z R_ν(si+1,1) ˙ KαϕF00(Xν(si,1)) Z R_ν(si,1) ˙ ∇ ˙Kr(α)δWr dα− Z R_ν(si,1) ˙ KαϕF00(Xν(si,1)) Z R_ν(si,1) ˙ ∇ ˙Kr(α)δWr dαi.

En utilisant la remarque(2.4.1, i) on obtient

m−1 X i=1 E hZ R_ν(si+1,1) ˙ Kα∇ϕ(α)F˙ 0(Xν(si,1))dα − Z R_ν(si,1) ˙ Kα∇ϕ(α)F˙ 0(Xν(si,1))dα i = m−1 X i=1 [E Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) o ˙

K(x,y) ˙∇ϕ(x,y)F0(Xν(si,1))dxdy

+E Z ν1(si,1) o Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙

K(x,y) ˙∇ϕ(x,y)F0(Xν(si,1))dxdy]

= E Z si+1 si dx{ Z ν2(si+1,1) o ˙ K(ν1(x,1),y) ˙∇ϕ(ν1(x,1),y)F0(Xν(si,1)) ∂ ∂xν1(x,1)dy} +E Z si+1 si dy{ Z ν1(si,1) 0 ˙ K(x,ν2(y,1)) ˙∇ϕ(x,ν2(y,1))F0(Xν(si,1)) ∂ ∂yν2(y,1)dx}.

Grâce au théorème de la convergence dominée quand supi(si+1− si) tend vers zero cette

expression a pour limite

E Z 1 0 ( Z ν2(s,1) 0 ˙ K(ν1(s,1),y) ˙∇ϕ(ν1(s,1),y)F0(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dy + Z ν1(s,1) 0 ˙ K(x,ν2(s,1)) ˙∇ϕ(x,ν2(s,1),)F0(Xν(s,1)) ∂ ∂sν2(s,1)dx ) ds

que l’on notera par (I.1).

De mˆeme la limite de l’expression

m−1 X i=1 E Z R_ν(si+1,1) ˙ Kα 2 ϕF00(Xν(si,1))1[o,ν_(si,1)](α)dα− Z R_ν(si,1) ˙ Kα 2 ϕF00(Xν(si,1))1[0,ν_(si,1)](α)dα ,

(24)

quand supi(si+1− si) tend vers zero est Eh Z 1 0 1{ν0 1(s,1)≥0}⊗ 1{ν20(s,1)<0} nZ ν1(s,1) 0 ˙ K2(x,ν2(s,1))ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν2(s,1)dx + Z ν2(s,1) 0 ˙ K2(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dy o ds + Z 1 0 1{ν0 1(s,1)<0}⊗ 1{ν 0 2(s,1)<0} nZ ν2(s,1) 0 ˙ K2(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dy + Z ν1(s,1) 0 ˙ K2(x,ν2(s,1))ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν2(s,1)dx o ds + Z 1 0 1{ν0 1(s,1)<0}⊗ 1{ν20(s,1)≥0} nZ ν2(s,1) 0 ˙ K2(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dy + Z ν1(s,1) 0 ˙ K2(x,ν2(s,1))ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν2(s,1)dx o dsi, que l’on notera (I.2).

De mˆeme la limite de m−1 X i=1 Eh Z R_ν(si+1,1) ˙ KαϕF00(Xν(si,1)) Z R_ν(si,1) ˙ ∇ ˙Kr(α)δWr dα − Z R_ν(si,1) ˙ KαϕF00(Xν(si,1)) Z R_ν(si,1) ˙ ∇ ˙Kr(α)δWr dαi est Eh Z 1 0 nZ ν2(s,1) 0 ˙ K(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) Z Rν(s,1) ˙ ∇ ˙Kr(ν1(s,1),y)δWr ∂ ∂sν1(s,1)dy + Z ν1(s,1) 0 ˙ K(x,ν2(s,1))ϕF00(Xν(s,1)) Z Rν(s,1) ˙ ∇ ˙Kr(x,ν2(s,1))δWr ∂ ∂sν2(s,1)dx o dsi

(25)

que l’on notera (I.3). D’o`u Pm−1 i=1 D F0(Xν(si,1))(Xν(si+1,1)− Xν(si,1)),ϕ E

tend vers (I.1) + (I.2) + (I.3) quand supi(si+1− si) tend vers zero.

´

Etape II: Calcul de 1 2 m−1 X i=1 < F00( ¯Xi)(Xν(si+1,1)− Xν(si,1)) 2_{,ϕ >} On a Xν(si+1,1)− Xν(si,1)= 1{ν0 1(si,1)≥0}⊗ 1{ν02(si,1)≥0} hZ ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) o ˙ K(α)δWα+ Z ν1(si,1) o Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ K(α)δWα i +1{ν0 1(si,1)≥0}⊗1{ν20(si,1)<0} hZ ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 ˙ K(α)δWα+ Z ν1(si,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ K(α)δWα i +1{ν0 1(si,1)<0}⊗1{ν20(si,1)≥0} hZ ν1(si+1,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ K(α)δWα+ Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si,1) 0 ˙ K(α)δWα i +1{ν0 1(si,1)<0}⊗1{ν20(si,1)<0} hZ ν1(si+1,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ K(α)δWα+ Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si,1) 0 ˙ K(α)δWα i p.s.

Grâce à la formule d’intégration par parties on a pour tout ϕ ∈ Φ, 1 2 m−1 X i=1 D F00( ¯Xi)1{ν0 1(si,1)≥0}⊗ 1{ν02(si,1)≥0} Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) o ˙ K(α)δWα !2 ,ϕE = 1 2 m−1 X i=1 E Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 1{ν0 1(si,1)≥0}⊗ 1{ν20(si,1)≥0}K˙s ˙ ∇ " F00( ¯Xi)ϕ Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 ˙ K(α)δWα # (s)ds = 1 2 m−1 X i=1 D ϕ Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 1{ν0 1(si,1)≥0}⊗ 1{ν02(si,1)≥0}K(α)δW˙ α∇F 00 ( ¯Xi) +F00( ¯Xi)∇ ϕ Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 ˙ K(α)δWα ! , Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 ˙ K(s)ds E .

(26)

Or Xz est un processus p.s continu lorsque K ∈ Φ(H) et par application de la remarque

(2.4.1,ii)à la dérivée de Sobolev qui est p.s continue on voit que le seul terme n’ayant pas de limite nulle est [6]

1 2 m−1 X i=1 E " Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 1{ν0 1(si,1)≥0}⊗ 1{ν20(si,1)≥0}F 00 ( ¯Xi)ϕ ˙Ks 2 ds # ; et cette limite est

1 2E Z 1 0 1{ν0 1(s,1)≥0}⊗ 1{ν 0 2(s,1)≥0} Z ν2(s,1) 0 ˙ K2(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dsdy. Les mˆemes calculs nous donne

D F00( ¯Xi)1{ν0 1(si,1)≥0}⊗1{ν20(si,1)≥0} Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) o ˙ K(α)δWα ! Z ν1(si,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ K(α)δWα ! ,ϕE= 0 pour tout i = 1...m.

De plus tous les crochets des produits mixtes de (Xν(si+1,1)− Xν(si,1))

2 _{sont nuls.} Alors la limite de 1 2 m−1 X i=1 D F00( ¯Xi)(Xν(si+1,1)− Xν(si,1)) 2_,ϕE

est ´egale `a la limite de 1 2 m−1 X i=1 E1{ν0 1(si,1)≥0}⊗1{ν20(si,1)≥0} hZ ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) o ˙ Ks 2 ϕF00( ¯Xi)ds+ Z ν1(si,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ Ks 2 ϕF00( ¯Xi)ds i +E1{ν0 1(si,1)≥0}⊗1{ν20(si,1)<0} hZ ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si+1,1) 0 ˙ Ks 2 ϕF00( ¯Xi)ds+ Z ν1(si,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ Ks 2 ϕF00( ¯Xi)ds i +E1{ν0 1(si,1)<0}⊗1{ν20(si,1)≥0} hZ ν1(si+1,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ Ks 2 ϕF00( ¯Xi)ds+ Z ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si,1) 0 ˙ Ks 2 ϕF00( ¯Xi)ds i +E1{ν0 1(si,1)<0}⊗1{ν20(si,1)<0} hZ ν1(si+1,1) ν1(si,1) Z ν2(si,1) 0 ˙ K_s2ϕF00( ¯Xi)ds+ Z ν1(si+1,1) 0 Z ν2(si+1,1) ν2(si,1) ˙ Ks 2 ϕF00( ¯Xi)ds i , qui vaut 1 2E Z 1 0 ( Z ν2(s,1) 0 ˙ K2(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dy Z ν1(s,1) 0 ˙ K2(x,ν2(s,1))ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν2(s,1)dx ) ds.

(27)

Cette limite sera not´ee (II.1). D’o`u pour tout ϕ ∈ Φ on a

< F (Xν(1,1)) − F (Xν(0,1)),ϕ > = Eh Z 1 0 nZ ν2(s,1) 0 ˙ K(ν1(s,1),y) ˙∇ϕ(ν1(s,1),y)F0(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dy + Z ν1(s,1) 0 ˙ K(x,ν2(s,1)) ˙∇ϕ(x,ν2(s,1))F0(Xν(s,1)) ∂ ∂sν2(s,1)dx o ds + Z 1 0 1{ν0 1(s,1)≥0}⊗ 1{ν20(s,1)<0}+ 1{ν10(s,1)<0}⊗ 1{ν02(s,1)≥0}+ 1{ν10(s,1)<0}⊗ 1{ν20(s,1)<0} nZ ν1(s,1) 0 ˙ K2(x,ν2(s,1))ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν2(s,1)dx+ Z ν2(s,1) 0 ˙ K2(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dy o ds + Z 1 0 nZ ν2(s,1) 0 ˙ K(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) Z Rν(s,1) ˙ ∇ ˙Kr(ν1(s,1),y)δWr ∂ ∂sν1(s,1)dy + Z ν1(s,1) 0 ˙ K(x,ν2(s,1))ϕF00(Xν(s,1)) Z Rν(s,1) ˙ ∇ ˙Kr(x,ν2(s,1))δWr ! ∂ ∂sν2(s,1)dx o ds +1 2 Z 1 0 ( Z ν2(s,1) 0 ˙ K2(ν1(s,1),y)ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν1(s,1)dy+ Z ν1(s,1) 0 ˙ K2(x,ν2(s,1))ϕF00(Xν(s,1)) ∂ ∂sν2(s,1)dx ) ds.

Il r´esulte que la densit´e de Lebesgue de s 7−→< F (Xν(s,t)),ϕ > pour ϕ ∈ Φ, est

E

hnZ ν2(u,t)

0

˙

K(ν1(u,t),y) ˙∇ϕ(ν1(u,t),y)F0(Xν(u,t))

∂ ∂uν1(u,t)dy + Z ν1(u,t) 0 ˙

K(x,ν2(u,t)) ˙∇ϕ(x,ν2(u,t))F0(Xν(u,t))

∂

∂uν2(u,t)dx o

+1{ν0

1(u,t)≥0}⊗ 1{ν20(u,t)<0}+ 1{ν10(u,t)<0}⊗ 1{ν20(u,t)<0}+ 1{ν10(u,t)<0}⊗ 1{ν20(u,t)≥0}

(28)

nZ ν2(u,t) 0 ˙ K2(ν1(u,t),y)ϕF00(Xν(u,t)) ∂ ∂uν1(u,t)dy+ Z ν1(u,t) 0 ˙ K2(x,ν2(u,t))ϕF00(Xν(u,t)) ∂ ∂uν2(u,t)dx o +n Z ν2(u,t) 0 ˙ K(ν1(u,t),y)ϕF00(Xν(u,t)) Z Rν(u,t) ˙ ∇ ˙Kr(ν1(u,t),y)δWr ∂ ∂uν1(u,t)dy + Z ν1(u,t) 0 ˙ K(x,ν2(u,t))ϕF00(Xν(u,t)) Z Rν(u,t) ˙ ∇ ˙Kr(x,ν2(u,t))δWr ∂ ∂uν2(u,t)dx o +1 2 nZ ν2(u,t) 0 ˙ K2(ν1(u,t),y)ϕF00(Xν(u,t)) ∂ ∂uν1(u,t)dy+ Z ν1(u,t) 0 ˙ K2(x,ν2(u,t))ϕF00(Xν(u,t)) ∂ ∂uν2(u,t)dx oi .

Pour all´eger les notations dans la proposition suivante on pose S(F0,ν1,x) = X ν−1₁ (x)∩[0 , s]×{t} F0(Xν(a,b))sign ∂ ∂aν1(a,b), S(F0,ν2,y) = X ν₂−1(y)∩[0 , s]×{t} F0(Xν(a,b))sign ∂ ∂aν2(a,b), Σ(F00,ν1,x) = X ν₁−1(x)∩[0 , s]×{t} F00(Xν(a,b)) 1_{∂ ∂aν1(a,b)≥0}⊗ 1{ ∂ ∂aν2(a,b)<0} +1_{∂ ∂aν1(a,b)<0}⊗ 1{ ∂ ∂aν2(a,b)≥0}+ 1{ ∂ ∂aν1(a,b)<0}⊗ 1{ ∂ ∂aν2(a,b)<0} sign ∂ ∂aν1(a,b), Σ(F00,ν2,y) = X ν₂−1(y)∩[0 , s]×{t} F00(Xν(a,b)) 1_{ ∂ ∂aν1(a,b)≥0}⊗ 1{ ∂ ∂aν2(a,b)<0} +1_{ ∂ ∂aν1(a,b)<0}⊗ 1{ ∂ ∂aν2(a,b)≥0}+ 1{ ∂ ∂aν1(a,b)<0}⊗ 1{ ∂ ∂aν2(a,b)<0}) sign ∂ ∂aν2(a,b), S(F00, ˙∇ ˙Kr,ν1,x) = X ν₁−1(x)∩[0 , s]×{t} F00(Xν(a,b)) Z Rν(a,b) ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWrsign ∂ ∂aν1(a,b),

(29)

S(F00, ˙∇ ˙Kr,ν2,y) = X ν₂−1(y)∩[0 , s]×{t} F00(Xν(a,b)) Z Rν(a,b) ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWrsign ∂ ∂aν2(a,b), S(F00,ν1,x) = X ν₁−1(x)∩[0 , s]×{t} F00(Xν(a,b))sign ∂ ∂aν1(a,b) et S(F00,ν2,y) = X ν2−1(y)∩[0 , s]×{t} F00(Xν(a,b))sign ∂ ∂aν2(a,b). Par le théorème du degré et la formule du calcul différentiel

< F (Xν(s,t)),ϕ >=< F (Xν(0,t)),ϕ > +

Z s

0

d

du < F (Xν(u,t)),ϕ > du,

dans laquelle _dud < F (Xν(u,t)),ϕ > du, sera remplacée par les limites calculées précédement

on a:

Proposition 2.4.1 Soit F ∈ C2(lR), K ∈ Φ(H) et ν : [0,1]2 −→ [0,1]2 _{une fonction C}1

telle que pour tout t fix´e [23] Z 1 0 (card{u\ν1(u,t) = x})2dx < ∞ et Z 1 0

(card{u\ν2(u,t) = y})2dy < ∞.

Alors pour tout s ∈ [0 , 1], on a

J1 = F (Xν(s,t)) − F (Xν(0,t)) (2.4.14) = Z 1 0 Z 1 0 ˙ K(x,y)n1_(ν 2◦ν1−1{x})∩[0 , t](y)S(F 0 ,ν1,x) + 1(ν1◦ν2−1{y})∩[0 , s](x)S(F 0 ,ν2,y) o δW (x,y) + Z 1 0 Z 1 0 ˙ K2(x,y)n1_(ν 2◦ν1−1(x))∩[0 , t](y)Σ(F 00 ,ν1,x) + 1_(ν₁◦ν₂−1(y))∩[0 , s](x)Σ(F 00 ,ν2,y) o dxdy + Z 1 0 Z 1 0 ˙ K(x,y)n1_(ν 2◦ν1−1(x))∩[0 , t](y)S(F 00 , ˙∇ ˙Kr,ν1,x)+1(ν1◦ν2−1(y))∩[0 , s](x)S(F 00 , ˙∇ ˙Kr,ν2,y) o dxdy +1 2 Z 1 0 Z 1 0 ˙ K2(x,y)n1_(ν 2◦ν1−1(x))∩[0 , t](y)S(F 00 ,ν1,x) + 1_(ν₁◦ν₂−1(y))∩[0,s](x)S(F 00 ,ν2,y) o dxdy p.s et où δ et ∇ sont considérés localement.

(30)

Preuve 2.4.2 Grâce à la propriété de localisation de δ et ∇[12], il suffit de montrer la proposition pour F bornée ainsi que sa première et seconde dérivées. Lorsque F est C2_,

pour tout k ∈ IN on note: Ωk = {ω : supz|Xz(ω)| ≤ k}. Comme K ∈ Φ(H), Xz est

continu p.s [6],donc Ωk ↑ Ω p.s. On peut donc appliquer la proposition `a tout processus:

Kk(z,ω) = K(z,ω)1Ωk(ω) puisque F est born´ee sur [−k , k].

Comme ϕ ∈ Φ et F ∈ C_b2(lR), et par la formule du calcul diff´erentiel < F (Xν(s,t)),ϕ >=< F (Xν(0,t)),ϕ > +

Z s

0

d

du < F (Xν(u,t)),ϕ > , et le théorème du degré appliqué à

u ∈ [0 , s] 7−→ ν1(u,t) = x

pour tout t ∈ [0 , 1], on obtient

E " Z s 0 Z ν2(u,t) 0 ˙

K(ν1(u,t),y) ˙∇ϕ(ν1(u,t),y)F0(Xν(u,t))

∂ ∂uν1(u,t)dydu # = E   Z 1 0 Z 1 0 1_ν

2◦ν1−1(x)∩[0, t](y) ˙K(x,y) ˙∇ϕ(x,y)[

X ν−1₁ (x)∩[0, s]×{t} F0(Xν(a,b))sign ∂ ∂aν1(a,b)]dxdy   =< Z 1 0 Z 1 0 1_ν 2◦ν1−1(x)∩[0, t](y) ˙K(x,y)   X ν₁−1(x)∩[0, s]×{t} F0(Xν(a,b))sign ∂ ∂aν1(a,b)  δW (x,y),ϕ > .

Le calcul des autres termes de la proposition se fait de la mˆeme mani`ere. Supposons Xs,t= Z Rs,t ˙ KαδWα que devient Xν(s,t)= Z Rν(s,t) ˙ KαδWα?

En appliquant la proposition précédente à F = Id on a la formule de changement de variable suivante:

Proposition 2.4.2 ( formule de changement de variable stochastique de type Skorohod) Soit Xs,t= Z Rs,t ˙ KαδWα

et ν comme dans la proposition pr´ec´edente alors on a: Xν(s,t) =

Z

Rν(s,t)

˙

(31)

+ Z t 0 Z s 0 ˙ K(x,y) n 1_(ν 2◦ν1−1{x})(y) X ν₁−1(x)∩[0 , s] sign ∂

∂aν1(a,t)+1(ν1◦ν2−1{y}(x)

X ν₂−1(y)∩[0 , s] sign ∂ ∂aν2(a,t) o δW (x,y)

On suppose maintenant que:

Xz = X0+ Z Rz ˙ KαδWα+ Z Rz ˙ ξαdα,

par les mˆemes calculs on obtient:

Proposition 2.4.3 Soit K ∈ Φ(H), ξ ∈ Φ(H), X0 ∈ Φ, F ∈ C2(lR) et

ν : [0 , 1]2 _{−→ [0 , 1]}2 _{une fonction de classe C}1 _{tel que pour tout t fix´}_{e [23]}

Z 1 0 (card{u\ν1(u,t) = x})2dx < ∞ et Z 1 0

(card{u\ν2(u,t) = y})2dy < ∞.

Alors pour tout s ∈ [0 , 1], on a:

F (Xν(s,t)) − F (Xν(0,t)) (2.4.15) = J1+ Z 1 0 Z 1 0 ˙ ξ(x,y) n 1_(ν₂_◦ν−1 1 {x})∩[0 , t](y)S(F 0 ,ν1,x) + 1_(ν₁◦ν₂−1{y})∩[0 , s](x)S(F 0 ,ν2,y) o dxdy + Z 1 0 Z 1 0 ˙ K ˙∇X0(x,y) n 1_(ν 2◦ν1−1{x})∩[0 , t](y)S(F 00 ,ν1,x)+1(ν1◦ν−12 {y})∩[0 , s](x)S(F 00 ,ν2,y) o dxdy + Z 1 0 Z 1 0 ˙ K(x,y)n1_(ν 2◦ν1−1(x))∩[0 , t](y)S(F 00 , ˙∇ ˙ξr,ν1,x)+1(ν1◦ν−12 (y))∩[0 , s](x)S(F 00 , ˙∇ ˙ξr,ν2,y) o dxdy p.s.

Remarque 2.4.2 Si ν = Id dans (2.4.15) on a grâce aux inégalités dans les espaces Lp pour l’intégrale de Skorohod [6]

E Z s 0 Z t 0 ˙ K(x,y)F00(X(x,t))( Z R(x,y) ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr)dxdy 2 ≤ c E Z 1 0 Z 1 0 | ˙K(x,y)|4dxdy E Z 1 0 Z 1 0 ( Z R(x,y) ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr)4dxdy !

(32)

≤ c0 k K k4 I D4,0(H) h k K k_I_D4 4,1 + k K k 4 I D4,2(H) i , o`u c et c0 sont des constantes ind´ependantes de X.

D’où le théorème suivant:

Th´eor`eme 2.4.1 Soient K ∈ ID4,2(H), ξ ∈ ID4,1(H), X0 ∈ ID4,1, et F ∈ Cb2, alors la

formule(2.4.15) est encore vraie et tous ses termes sont des ´el´ements de L2_.

Preuve 2.4.3 On proc`ede par approximation. On peut approcher K, ξ, X0 par des

éléments très réguliers. La formule (2.4.15) est alors satisfaite et tous ses termes sont dans L2 _{donc le passage `}_{a la limite ne pose aucun probl`}_{eme. D’o`}_{u le r´}_esultat.

En utilisant les propriétés de localisation de la divergence et la dérivée de Sobolev [6] on obtient encore

Théorème 2.4.2 Sous les mêmes hypothèses qu’au théorème précédent et s’il existe p > 4 tel que E Z [0 ,1]2 | ˙Kα|pdα + E Z [0 ,1]2_{×[0 ,1]}2 | ˙∇ ˙Kα(s)|pdsdα < ∞,

alors la formule(2.4.15) est encore vraie si F ∈ C2.

Remarque 2.4.3 1)Soit Xs,t = Ws,t la formule ci dessus le long de t = constante nous

donne la formule obtenue par [3] F (Ws,t) − F (0) = Z s 0 Z t 0 F0(Wx,t)δW (x,y) + t 2 Z s 0 F00(Wx,t)dx = Z s 0 F0(Wx,t)δxW (x,t) + t 2 Z s 0 F00(Wx,t)dx a.s, o`u R₀tδW (x,y) = δxW (x,t).

2) Soit (Fs,t)s,t≥0 une famille filtrante croissante de σ-sous-alg`ebres de F sur Ω (Fs,t ⊂

Fu,v si s ≤ u et t ≤ v) tel que F0,0 contient tous les ensembles n´egligeables de F . Soit Xs,t

un processus tel que

X0,t = Xs,0= X0,0 et d´efini par Xs,t= Z s 0 Z t 0 ˙ KαδWα+ Z s 0 Z t 0 ˙ ξαdα,

où K et ξ satisfont les hypothèses du théorème 2.4.2, on a F (Xs,t) − F (X0,0) = Z s 0 Z t 0 ˙ K(x,y)F0(Xx,t)δW (x,y) + Z s 0 Z t 0 ˙ ξ(x,y)F0(Xx,t)dxdy

(33)

+ Z s 0 Z t 0 ˙ K(x,y)F00(Xx,t) Z Rx,t ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr+ ˙∇ ˙ξr(x,y)dr dxdy +1 2 Z s 0 Z t 0 ˙

K2(x,y)F00(Xx,t)dxdy a.s.

Si ˙K(x,y) et ˙ξ(x,y) sont des processus adapt´es par rapport `a Fs,t on obtient la formule

d’Ito de [2] c’est `a dire.;

F (Xs,t) − F (X0,0) = Z s 0 Z t 0 ˙ K(x,y)F0(Xx,t)δW (x,y) +1 2 Z s 0 Z t 0 ˙ K2(x,y)F00(Xx,t)dxdy + Z s 0 Z t 0 ˙

ξ(x,y)F0(Xx,t)dxdy a.s.

Par itération de la formule du théorème 2.4.2 lorsque F ∈ C4_{, on obtient la formule}

d’Ito suivante o`u les integrands ne d´ependent plus du rectangle.

Théorème 2.4.3 (Formule d’Ito) Sous les mêmes hypothèses qu’au théorème précédent et si F ∈ C4 tel que F0(X0,0) = F00(X0,0) = 0, alors on a

F (Xs,t) − F (X0,0) = A + B + C,a.s (2.4.16) o`u A = Z Rs,t ˙ K(x,y)h Z Rx,t ˙ K(u,v,)F00(Xx,v)δW (u,v) i δW (x,y) + Z Rs,t ˙ K(x,y)h Z Rx,t ˙ K(u,v)F(3)(Xx,v) Z Rx,v ˙ ∇ ˙Kα(u,v)δWα dudviδW (x,y) +1 2 Z Rs,t ˙ K(x,y)h Z Rx,t ˙ K2(u,v)F(3)(Xx,v) dudviδW (x,y), B = Z Rs,t ˙ K(x,y) Z Rx,t ˙ K(u,v,)F(3)(Xx,v)δW (u,v) Z Rx,t ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr dxdy + Z Rs,t ˙ K(x,y) Z Rx,t ˙ K(u,v)F(4)(Xx,v) Z Rx,v ˙ ∇ ˙Kα(u,v)δWα dudv Z Rx,t ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr dxdy

(34)

+1 2 Z Rs,t ˙ K(x,y) Z Rx,t ˙ K2(u,v)F(4)(Xx,v)dudv Z Rx,t ˙ ∇ ˙Kr(x,y)δWr dxdy, et C=1 2 Z Rs,t ˙ K2(x,y) hZ Rx,t ˙ K(u,v)F(3)(Xx,v)δW (u,v) i dxdy +1 2 Z Rs,t ˙ K2(x,y) hZ Rx,t ˙ K(u,v)F(4)(Xx,v) Z Rx,v ˙ ∇ ˙Kr(u,v)δWr dudv i dxdy +1 4 Z Rs,t ˙ K2(x,y) hZ Rx,t ˙ K2(u,v)F(4)(Xx,v)dudv i dxdy.

Preuve 2.4.4 En appliquant le théorème précédent à F0(Xx,t) et F00(Xx,t) dans la

for-mule 2.4.15 on obtient la forfor-mule demand´ee. Remarque 2.4.4 Si Xs,t =

Rt

0

Rs

0 K˙αδWα, où K satisfait les hypothèses du théorème

2.4.2, on a Exp(Xs,t) = Exp(δs,tK) = 1 + Z s 0 Z t 0 ˙ K(x,y)Exp(δx,tK)δW (x,y) + Z s 0 Z t 0 ˙ K(x,y)exp(δx,tK) Z Rx,t ˙ ∇ ˙Kr(s)δWr dxdy+1 2 Z s 0 Z t 0 ˙ K2(x,y)exp(δx,tK)dxdy p.s. En particulier Exp(Ws,t) = 1 + Z s 0 Exp(Wx,y)δxW (x,t) + t 2 Z s 0 Exp(Wx,t)dx p.s.

(35)

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[18] M.Thieullen, Calcul stochastique non adapté pour des processus à deux paramètres: formules de changement de variables de type Stratanovitch et de type Skorohod. Proba.Theory and Related Fields; vol 89, pp.457-485 (1991). [19] A.S.Ustunel, The Ito formula for anticipative process with non monotonous

time scale via the Malliavin calculus. Proba.Theory and Related Fields; vol 79, pp.249-269 (1988).

[20] S. Watanabe, Lectures on stochastic differential equations and Malliavin calculus. Tata Institute of Fundamental Research. Bombay (1984).

[21] E.Wong, M.Zakai, An Extension of stochastic integrals in the plane. The Annals of Probability; vol 5, N¡.5, pp.770-778(1977).

[22] Y.Yokoi, Positive generalised white noise functionals. Hiroshima Math.J.20, (1990).

[23] Zheng, Wei-An, Meyer, Int´egrales stochastiques non monotones. In: Azema, J., Yor, M.(eds.) Seminaire de probabilit´es XVIII, 1982/83. Procee-ding Lec.Notes Math.; vol 1059,pp.154-171,Springer (1984).

(37)

Chapitre 3

Loi des grands nombres et th´

eor`

eme

de la limite centrale pour les

(38)

R´

esum´

e

Dans ce travail on définit une notion d’indépendance pour les distributions de S.Watanabe et on montre la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale pour ces dis-tributions. On définit également une notion de pseudo- convergence et on donnera une version du théorème de la limite centrale pour cette classe.

3.1 Introduction

En probabilité, la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale jouent un rôle très important. Dans ce chapitre on va étendre ces théorèmes aux distributions sur l’espace de Wiener. Soit Tn une suite de distributions de Meyer-Watanabe, sous quelles

conditions et dans quel sens:

Pn i Ti n converge? (3.1.1) 1 √ n n X i Ti converge? (3.1.2)

Pour prouver une convergence de √1 n

Pn

i Ti, on va utiliser une nouvelle classe de

dis-tributions [2, 3, 5] plus grande que la classe de disdis-tributions de Meyer-Watanabe Dans cette classe, toute distribution de Meyer-Watanab´e admet une d´ecomposition en chaos de Wiener:

T = Pn

i In(Tn) où In représente l’intégrale multiple de Wiener et Tn est un élément de

l’espace de Cameroun-Martin. Toute distribution de Meyer-Watanabé peut être considérée comme une v.a dans cette nouvelle classe de distribution, ce qui nous permet de donner une définition de l’indépendance de deux distributions à l’aide des chaos de Wiener [2]. Dans le théorème 3.3.1, on obtient une convergence faible de (3.1.1) et à l’aide de la nouvelle classe de distributions [2, 3, 5] on montre que la convergence de (3.1.1) a lieu dans un certain L2. Ensuite en considérant les chaos de Wiener dans la décomposition des suites on établit une pseudo-convergence en loi de (3.1.2)

3.2 Notations et pr´

el´

eminaires

Soit (C,H,µ) l’espace de Wiener classique où C = C([0,1],lRd) d ≥ 1, H est l’espace de Cameroun-Martin et µ la mesure de Wiener classique sur C. Pour tout k ∈ ZZ, p > 1 et X un espace de Hilbert séparable, IDp,k(X) désigne le complété des polynômes sur C à

valeurs dans X pour la norme de Sobolev:

k φ kIDp,k(X)=k (I + L) k

2φ k_Lp_(µ,X) , (3.2.3)

où L est le générateur du processus d’O.U à valeurs dans C. ID(X) est la limite projective des espaces de Sobolev IDp,k(X). ID(X) est appelé l’espace des fonctions test de Watanabe

et son dual ID0 est appel´e espace des distributions de Meyer-Watanabe.

Si X = lR, on note tout simplement IDp,k, ID, ID0 etc...∇ repr´esente le gradient

(39)

ID(H). L’adjoint de ∇ sera not´e δ et sur chaque IDp,k(H) il induit une application lin´eaire

continue `a valeurs dans IDp,k−1 [8]. On rappelle que [8]:

Théorème 3.2.1 Si 1 < p < ∞ et k ∈ lR , l’opérateur d’O.U L a une extension unique en opérateur borné L : IDp,k(X) −→ IDp,k−2(X). De plus l’opérateur A = (I + L)−k/2 est

une isom´etrie de IDq,−k dans Lq([8]).

Soit T = [0,1], f ∈ ˆL2_(Tp_{) et g ∈ ˆ}_L2_(Tq_{) repr´}_{esentent des noyaux int´}_{egrales sym´}_etriques

de carr´es int´egrables sur Tp _{et T}q_{. Si m < min(p,q) on note f ⊗}

m g le noyau dans L2(Tp+q−2m) d´efini par : f ⊗mg(t1,...,tp−m,s1,....,sq−m) = Z Tm f (t1,...,tp−m,σ1...σm)g(s1,....,sq−m,σ1...σm)dσ1...dσm

3.3 Th´

eor`

eme de la limite centrale

Meyer et Yan [5], Korezlioglu et Ustunel [2] ont montr´e que toute distribution de Meyer Watanabe admet une d´ecomposition en chaos de Wiener:

T = ∞ X n=0 1 n!In(an)

o`u an ∈ ˆL2([0,1]n) et la somme converge faiblement dans un certain espace de

distri-bution Φ0. Ustunel et Zakai [7] ont montr´e que deux variables al´eatoires F et G dans ID2,0

admettant les d´ecompositions en chaos suivantes: F = ∞ X n=0 1 n!In(fn) et G = ∞ X n=0 1 n!In(gn)

sont ind´ependantes si fn⊗1gn= 0 p.s par rapport `a la mesure de lebesgue sur [0,1]m+n−2

Ceci nous conduit `a la d´efinition suivante :

D´efinition 3.3.1 Soient T et S deux distributions dans ID0 dont les d´ecompositions en chaos sont : T = P∞

n=0In(an) et S =

P∞

n=0In(bn). On dit que T et S sont fortement

ind´ependantes si pour tout m,n ≥ 1: an⊗1bn= 0 p.p sur [0,1]m+n−2

Remarque 3.3.1 T et S sont fortement indépendantes si et seulement si leurs projec-tions πn(T ) = In(an) et πn(S) = Im(bn) sont des variables aléatoires indépendantes pour

tout m,n ≥ 1.

Lemme 3.3.1 L’opérateur L préserve l’indépendance forte. Preuve 3.3.1 En effet si T =P∞

n=0In(an) et S =

P∞

n=0In(bn) tel que pour tout m,n

an⊗1 bm = 1 p.s alors LT = P∞ n=0nIn(an) et L(S) = P nIn(Ln). Or L est continu de IDq,r dans IDq,r−2 donc P∞ n=0In(nan) et P∞

n=0In(nbn) sont faiblement convergentes

dans IDq,r−2. De plus nan⊗1mbm = 0 p.s dans [0,1]m+n−2 ∀m,n, alors LT et LS sont

(40)

Lemme 3.3.2 Si T et S sont fortement ind´ependantes dans IDq,−k alors les variables

(I + L)−k/2T et (I + L)−k/2S sont ind´ependantes dans Lq_.

Preuve 3.3.2 Si T = P∞ n=0In(an) et S = P∞ n=0In(bn) o`u an ∈ ˆL 2_([0,1]n_{) et b} n ∈ ˆ L2_([0,1]n_{) alors,} X = (I + L)−k/2(T ) = ∞ X n=0 (1 + n)−k/2In(an) ∈ Lq Y = (I + L)−k/2(S) = ∞ X n=0 (1 + n)−k/2In(bn) ∈ Lq.

Comme(1 + n)−k/2an⊗1(1 + m)−k/2bm= 0 p.p sur [0,1]m+n−2 pour tout m,n ≤ N , alors

les v.a TN = PN n=0(1 + n) −k/2_I n(an) et SN = PN n=0(1 + n) −k/2_I

n(bn) sont ind´ependantes

dans ID2,0. TN et SN convergent en probabilit´e respectivement vers X et Y et la convergence

en probabilité préserve l’indépendance alors E(expi(αX + βY )) = lim

N →∞E(expi(αTN + βSN))

= lim

N →∞E(expi(αTN))E(expi(βSN))

= E(expi(αX))E(expi(βY )) d’o`u l’ind´ependance de X et Y .

D´efinition 3.3.2 On dit que deux distributions T et S dans IDq,−k ont la mˆeme loi ( ou

équidistribuées) si les v.a (I + L)−k/2T et (I + L)−k/2S ont la même loi.

Théorème 3.3.1 (Loi des grands nombres) Soit (Tn) une suite de distributions bornées

équidistribuées et fortement indépendantes dans IDq,−k, alors

Pn

i=1Ti

n

ID0

−→ E(T1)

Preuve 3.3.3 D’apr`es le lemme 3.3.2, les v.a (I + L)−k/2Tn sont ind´ependantes dans

Lq_{. Par la loi des grands nombres classiques on:}

Pn i=1Ti n p.p −→ E((I + L)−k/2T1) (3.3.4) De plus supi k Ti kIDq,−k= supi k (I + L) −k/2 Ti kLq< ∞ (3.3.5) donc 1 n n X i=1 (I + L)−k/2Ti−→E((I + L)−k/2T1) (3.3.6)

(41)

Remarque 3.3.2 Soient (Hα,α ∈ lR) une famille d’espaces de Hilbert et (Wα,Hα,µα)

les espaces de Wiener associ´es dont Hα est l’espace de Cameroun-Martin , H0 = H et

H∞ = ∩αHα muni de sa topologie limite projective. Le dual de H∞ peut être identifié à

H−∞ et on a les injections continues suivantes: H∞ ,→ Hα ,→ H−∞. On note par ID (α) 2,0 le

complété des polynôms réels définis sur Wα pour la norme

k φ k_I_D(α) 2,0 = ∞ X n=0 n! k φnk2_H⊗n α (3.3.7) o`uφ = E(φ) +P∞

n=0In(φn) et φn∈ H∞⊗n. H.Korezlioglu et A.S.Ustunel ont construit une

nouvelle classe de distributions sur des espaces de Wiener abstrait, plus grande que la classe des distributions de Meyer-Watanabe [2]. Cette nouvelle classe est not´ee Φ0. Dans [2] ils ont montr´e que

Φ0 ' ∪ID_2,0(−α) (3.3.8)

et que ID0 ,→ Φ0 est une injection continue. Il s’ensuit que toute distribution de Meyer-Watanabe peut être interprétée comme une variable aléatoire sur (Wα,Hα,µα) .

D’o`u le corollaire suivant:

Corollaire 3.3.1 Soit (Tn) une suite de distributions bornées et équidistribuées et

for-tement ind´ependantes dans IDq,−k, alors

Pn i=1Ti n L2_(−α) −→ E−α(T1) pour un certain α.

Théorème 3.3.2 (Théorème de la limite centrale) Soit (Tn) une suite de distributions

équidistribuées centrées et fortement indépendantes dans IDq,−k,(q ≥ 2) alors:

1 √ n n X i (I + L)−k/2Ti Loi −→ N (0,σ), (3.3.9) o`u σ = var((I + L)−k/2T1) < ∞

Preuve 3.3.4 Le théorème de la limite centrale classique appliqué aux v.a (I + L)−k/2Ti

nous donne le r´esultat

Proposition 3.3.1 ( Le théorème de la limite centrale pour les chaos de Wiener) Soit (Tn) une suite de distributions centrées, fortement indépendantes et telle que (Πk(Tn))n

soient ´equidistribu´ees pour tout n. Alors 1 √ n n X i=1 ΠkTi Loi −→ N (0,σk) (3.3.10)

pour tout k fix´e.

Preuve 3.3.5 Comme les v.a (Tn) sont fortement ind´ependantes et d’apr`es la remarque

3.3.1 les v.a (ΠkTn)nsont aussi indépendantes d’où le résultat par application du théorème

(42)

D´efinition 3.3.3 Soit (Tn)n une suite de distributions de Meyer-Watanabe on dit que

(Tn)n converge en pseudo-loi si (Πk(Tn))nconverge en loi pour tout k.

Théorème 3.3.3 Soit (Tn)nune suite de distributions fortement indépendantes,centrées,

et tel que (Πk(Tn))nsoient ´equidistribu´ees pour tout k et tout n, alors √1_n

Pn

i=1Ti converge

en pseudo-loi vers une pseudo-gaussienne.