D.M. n°9 FONCTIONS CONVEXES

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Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet

D.M. n°9 FONCTIONS CONVEXES

Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est dite convexe si : K^{(a ; b)}S^I²^,KlS [0 ; 1], f(l^{a + (1 –}l^)b);l f(a) + (1 – l^{) f(b).}

f est dite concave si (–f) est convexe.

1. Montrer que que f définie sur un intervalle I est convexe si et seulement si :

∀(x ; y) ∈ I², K (l1 ; l2) S ([0 ; 1])² tels que l1 +l2 = 1, f(l1 x + l2 y) ;l1 f(x) + l2 f(y)

2. Soient f SR^I et C sa courbe représentative dans un repère.

Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : (1) f est convexe sur I.

(2) La partie Epi f du plan située au dessus de C

(épigraphe de f ) est convexe (i.e. K(A ; B) S Epi f, le segment [AB] W Epi f )

(3) Tout arc de C

est sous sa corde.

3. Montrer que f est convexe sur I si et seulement si pour tout a ∈ I , la fonction f(x) f(a)

x x a

−

֏ − est croissante sur tout intervalle de I\{a}.

4. Soient f S D(I, R) et C sa courbe représentative dans un repère.

a) Montrer que f est convexe sur I si et seulement si f ’ est croissante sur I.

b) Montrer que f est convexe sur I si et seulement si C est au dessus de chaque tangente c’est- à-dire : ^∀

(

^{x; a}

)

^∈^{I , f x}²

( )

^≥^{f a}

( )

⁺^{f ' a x}

( )(

⁻^a

)

^.

5. Etudier la convexité des fonctions f, g, h telles que f(x) = e^x ; g(x) = ln x ; h(x) = x³

6. En utilisant la notion de convexité, montrer que 0;

x  π2

 

∀ ∈ 

, on a : 2

sin( )

x≤ x ≤x

π .

7. Soient f une fonction convexe sur un intervalle I, et n un entier supérieur à 2.

Montrer que pour

( )

xⁱ 1 i n_{≤ ≤} ∈I ,ⁿ

( )

λⁱ 1 i n_{≤ ≤} ∈

( )

ℝ^*₊ ⁿ tels que

n i i 1

1

=

∑

λ = ^{, on a :}

n n

i i i i

i=1 i 1

f( x ) f(x )

=

λ ≤ λ

∑ ∑

. (Cette inégalité s’appelle inégalité de Jensen).

8. Comparaison des moyennes (arithmétique, géométrique, harmonique) : Soient ai >0 pour i ∈{1,2, ...,n}. On note : A = ⁿ _i

i 1

1 a

n

∑

₌ ^{; G =}ⁿ a1⋯an et

n

i 1 i

1 1 1

H =n

∑

₌ a Montrer que : H ≤ G ≤ A.

eq