D.M. n°7 THEOREME DE CESARO

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet

D.M. n°7 THEOREME DE CESARO

Etant donnée une suite

( )

a_{n n∈ℕ}^*, on définit la suite

( )

c_{n n∈ℕ}^* par :

1

1, 1

n

n k

k

n c a

n ₌

∀ ≥ =

∑

^,

appelée somme de Cesaro.

I. Théorème de Cesaro :

Montrer que si

( )

^a_{n n∈}ℕ^*admet une limite L dans ℝ_{, alors}

( )

^c_{n n∈}ℕ^*admet la même limite L.

II. Applications

1. Soit

( )

^u_{n n∈}ℕ la suite réelle définie par : u0 > 0 et ₁

0 n

n k

k

u₊ u

=

=

∑

a) Déterminer la fonction f telle que :

( )

*

, _n 1 _n

n u ₊ f u

∀ ∈ℕ =

b) Etudier la convergence de la suite

( )

u_{n n∈ℕ}.

c) En appliquant le théorème de Cesaro à la suite de terme général a_n = u_{n + 1} – u_n , déterminer la limite de uⁿ

n ^.

2. Soit

( )

^v_{n n∈}ℕ la suite réelle définie par :

v0 =1 et ₁ 1 2 1 3

n

n n

n

v v v

+ v

= + +

a) Etudier la convergence de la suite

( )

^v_{n n∈}ℕ.

b) Après avoir justifié que la suite

( )

^v_{n n∈}ℕ ne s’annule pas, appliquer le théorème de Cesaro à la suite de terme général

1

1 1

n

n n

a =v₊ −v pour déterminer la limite de

(

n vn

)

.