? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - CC 1 - S2 - Algèbre - Géométrie
vendredi 15 février 2019 - Durée 2 h
Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
Exercice 1
On se place dans le plan affine euclidienP muni d’un repère orthonormé(0,~ı, ~).
SoitC la conique d’équation cartésienne y2−√
3xy−2√ 3x+
4−3√ 3
y+ 6−6√ 3 = 0
1. Soit la matriceA=
0 −
√3
2
−
√3
2 1
.
a. Calculer les valeurs propres de A. Trouver deux vecteurs propres~uet ~v tels que(~u, ~v)soit une base ortho- normée directe de R2.
b. Quelle isométrie de R2transforme le base (~ı, ~)en la base(~u, ~v)? 2. Déterminer la nature de la conique ainsi que ses éléments caractéristiques.
3. Tracer la coniqueC dans le repère(0,~ı, ~). On prendra√
3≈1, 732.
Exercice 2 SoitE un espace euclidien. On suppose dim(E)≥2.
On note(u|v)le produit scalaire des vecteursuet v, et||u||la norme du vecteur u.
On se donne un vecteurwdeE de norme1et, pour tout réelα6= 0, on pose , pour toutx∈E : fα(x) =x+α(x|w)w
1. Vérifier quefαest un endomorphisme deE.
2. Montrer que pour tous réels non nulsα, β, on a :
fα◦fβ =fβ◦fα
3. Montrer que pour tous vecteursxety, on a
(x|fα(y)) = (fα(x)|y) 4. Vérifier quew est un vecteur propre defα.
5. a. Montrer que1 est valeur propre defα.
b. Quel est le sous-espace propre associé à la valeur propre1? c. L’endomorphismefα est-il diagonalisable ?
6. Pour quelles valeurs deαl’endomorphismefαest-il inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.
7. Pour quelles valeurs deαl’endomorphismefαest-il une isométrie ? Caractériser dans ce cas cet endomorphisme.
8. En utilisant la question 3, montrer que siF est un sous-espace vectoriel stable parfα, alorsF⊥ est également stable parfα.
T.S.V.P.
1
Exercice 3
On considère la courbe paramétréeΓadmettant pour représentation paramétrique :
ϕ:t7→
x(t) =t+ 1 2t2 y(t) = t2
2 +1 t
, t∈R∗
1. Déterminerϕ 1
t
en fonction deϕ(t), et en déduire que l’on peut réduire le domaine d’étude de l’arc paramétré à[−1,0[∪]0,1].
On précisera quelle transformation permet d’obtenir la courbe en entier.
2. Etudierϕet tracerΓdans un repère orthonormé.
Exercice 4 On munit le plan d’un repère orthonormé(O,~i,~j).
On considère la courbe paramétréeC admettant pour représentation paramétrique :
x(t) =asint y(t) =asin2t
cost
, oùa∈R∗+
1. a. Justifier que l’on peut réduire le domaine d’étude de l’arc paramétré à h 0,π
2 h
. b. Etudier l’arc paramétré, puis tracerC poura= 2.
2. Pourt∈h 0,π
2 h
, on noteM(t)le point deC de coordonnées (x(t), y(t)).
a. Exprimer OM(t)à l’aide deaet det.
b. La perpendiculaire à(OM(t))enM(t)coupe(0y)enN. Montrer queM N =a.
c. Montrer que la perpendiculaire en O à (OM(t)), la parallèle à(Ox)enN et la normale àC enM(t)sont concourantes.
Fin de l’énoncé
2
