? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - CC 2 - S2 - Analyse
vendredi 29 mars 2019 - Durée 2 h
Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
Exercice 1 On considère la fonctionf définie surR2 par :
f(x, y) =y2−x2y+x2
1. Etudier les extrema locaux def surR2. 2. On considère l’ensemble suivant :
K={(x, y)∈R2, x2−1≤y≤1−x2}
a. Représenter rapidementK.
b. Montrer queK est fermé et borné. On admettra que Kest fermé.
c. Déterminer les extrema def surK.
Exercice 2 1. Soientϕ:]0,+∞[→Rune fonction dérivable, etf :
]0,+∞[×R → R
(x, y) 7→ (x2+y2) ln(x) +ϕ(x2+y2) a. Exprimer les dérivées partielles ∂f
∂x et ∂f
∂y à l’aide de la dérivée deϕ.
b. Exprimer simplementy∂f
∂x −x∂f
∂y.
2. On considère l’équation aux dérivées partielles :
y∂f
∂x −x∂f
∂y =xy+y3
x, (x, y)∈]0,+∞[×R (1)
Pour résoudre (1), on passe des coordonnées cartésiennes(x, y)aux coordonnées polaires(r, θ).
On notef(x, y) =F(r, θ).
a. Montrer que (1) est équivalente à l’équation aux dérivées partielles en les variablesret θ:
∂F
∂θ =−r2tan θ
b. En déduire une famille de fonctions solutions de l’équation aux dérivées partielles (1).
T.S.V.P.
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Exercice 3
Le but de l’exercice est de calculer
J = Z 1
0
ln(1 +t) 1 +t2 dt On note
F :x7→
Z 1
0
ln(1 +xt) 1 +t2 dt 1. Montrer queF est de classeC1 sur]−1,+∞[.
2. Montrer que
∀(x, t)∈]−1,+∞[×[0,1], t
(1 +xt)(1 +t2) = −x
(1 +x2)(1 +xt)+ x+t (1 +x2)(1 +t2)
3. En déduire l’expression deF0(x)pourx∈]−1,+∞[.
4. Montrer que pourx >−1 :
F(x) = ln(2)
2 Arctan(x) +π
8 ln(1 +x2)− Z x
0
ln(1 +t) 1 +t2 dt 5. En déduire une valeur deJ.
Exercice 4
Le but de l’exercice est de calculer
K= Z +∞
0
e−t
√tdt
On note :
G:x7→
Z +∞
0
e−xt
√t(1 +t)dt
1. Montrer queGest continue sur[0,+∞[.
2. Montrer queGest de classeC1 sur]0,+∞[.
3. Montrer queGest solution sur]0,+∞[ de l’équation différentielle : y−y0= K
√x
4. En déduire l’expression deG(x)pourx∈]0,+∞[.
5. Montrer queG(0) =π.
6. Montrer que lim
x→+∞G(x) = 0 (on pourra utiliser un encadrement).
7. En déduire la valeur deK.
Fin de l’énoncé d’analyse
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