? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?

? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?

Math. - CC 2 - S2 - Analyse - Probabilités

vendredi 30 mars 2018 - Durée 2h

Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 1. On considère la fonctionf définie sur]−1,1[×[0, π] par :

f(x, t) =







ln(1 +xcost)

cost sit6= π 2

x sit= π

2 a. Montrer quef est continue sur]−1,1[×[0, π].

b. Montrer quef est de classeC¹ sur]−1,1[×[0, π].

2. On considère l’intégrale

F(x) = Z π

0

f(x, t)dt a. Montrer queF(x)est définie pourx∈]−1,1[.

b. Montre que F est de classeC¹ sur]−1,1[.

c. Montrer que pour t∈[0, π[,cost=1−tan² ₂^t 1 + tan² ₂^t. d. En déduire que pour tout x∈]−1,1[, on a :

F⁰(x) = π

√ 1−x². e. En déduire l’expression deF(x)pourx∈]−1,1[.

Exercice 2

Résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes, en utilisant les changements de variables proposés : 1.

∂f

∂x +∂f

∂y =f

u=x v=y−x 2.

y∂f

∂x −x∂f

∂y =f

x=rcosθ y=rsinθ

T.S.V.P.

1

Exercice 3

On dispose d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir Face estp∈]0,1[. On noteq= 1−p.

1. soitn∈N^∗. O, effectuenlancers indépendants de cette pièce, et on note : F_k =" on obtient Face auk^ème lancer"

On note également

An=" au cours desnlancers, Face n’est jamais suivi de Pile"

a. Exprimer l’événementAn en fonction des événementsFk, k∈[[1, n]].

b. En déduireP(An). (On distinguera deux cas.)

2. Si l’on admet que l’on peut lancer indéfiniment la pièce, est-il possible que Face ne soit jamais suivi de Pile ?

Exercice 4

Des joueurs en nombre illimité, notésJ1, . . . , Jn, . . .s’affrontent dans un jeu de Pile ou Face.

Ils jouent successivement et dans l’ordre des indices, et le jeu se termine dès que l’un des joueurs obtient Pile.

Pour toutn∈N^∗,J_n obtient Pile avec la probabilitép_n∈]0,1[, et on noteq_n= 1−p_n. On notera par conventionq₀= 1.

Enfin, on définit pour tout entiernnon nul l’événementG_n=" le joueurJ_n gagne".

1. Montrer que

∀n∈N^∗,P(G_n) =q₀q₁· · ·q_n−1−q₀q₁· · ·q_n−1q_n 2. On définit la suite(Qn)par

∀n∈N, Qn=q0q1· · ·qn

Montrer que la suite(Qn)converge vers un réel qu’on noteraa, avec0≤a≤1.

3. Montrer que :

∀n∈N^∗,

n

X

k=1

P(G_k) = 1−Q_n et en déduire que :

– sia6= 0, le jeu a une probabilité non nulle de ne pas se terminer, – sia= 0, le jeu se termine avec la probabilité1.

4. Quelle est la probabilité que le jeu se termine dans les deux cas suivants : – ∀n∈N^∗, p_n =pavec0< p <1.

– ∀n∈N^∗, p_n = 1 (n+ 1)².

Fin de l’énoncé

2