? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?

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Math. - CC 1 - S1 - Algèbre

vendredi 05 octobre 2018 - Durée 1 h

Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1

DansR³ muni de sa base canonique(e₁, e₂, e₃), on considère l’endomorphismeudéfini par : u(x, y, z) = (−x,2x+y,−2x−2y−z)

Soientε1, ε2et ε3les vecteurs définis par :

ε1=e2−e3, ε2=−e1+e2−e3, ε3=e1−e2+ 2e3

1. Montrer queB= (ε1, ε2, ε3)est une base deR³. 2. Déterminer la matrice deudansB.

3. Que peut-on en déduire ?

Exercice 2

On considère deux entiersnetptels que2≤p≤n.E désigne un espace vectoriel de dimensionnsurK. f1, f2, ..., fp sontpendomorphismes non nuls deE tels que

f₁+f₂+· · ·+f_p=Id_E et f_i◦f_j = 0, pour tout i6=j

Soientα₁, α₂,· · · , α_p des éléments deKdeux à deux distincts. On notef =α₁f₁+α₂f₂+· · ·+α_pf_p. 1. Montrer que pour touti∈[|1, p|], f_i est un projecteur deE.

2. Calculerf^k=f◦ · · · ◦f

| {z }

kfois

, pour toutk∈N^∗. 3. Montrer que{f₁, f₂,· · ·, f_p} est une famille libre.

4. Montrer que

E=Imf₁⊕Imf₂⊕ · · · ⊕Imf_p 5. Montrer que la famille{IdE, f, f²,· · · , f^p−1} est libre.

6. PourP =

d

X

k=0

a_kX^k ∈K[X], on définit l’endomorphismeP(f)par :P(f) =

d

X

k=0

a_kf^k. Pour touti∈[|1, p|], on note Pi= Y

1≤k≤p k6=i

X−αk

αi−αk

.

Montrer que pour touti∈[|1, p|], Pi est le seul polynôme deKp−1[X]vérifiantPi(f) =fi.

Fin de l’énoncé d’algèbre

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