? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - CC 1 - S1 - Analyse
vendredi 04 octobre 2019 - Durée 1 h
Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
Les deux parties sont indépendantes.
PARTIE I
L’objectif de cette partie est de calculer la somme de la série X
n≥1
1 n2.
1. Soitf une fonction de classeC1 sur[0, π]. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
n→+∞lim Z π
0
f(t) sin
2n+ 1 2 t
dt= 0
2. Montrer que pourn∈N∗, ett∈]0, π], on a : Cn(t) = 1
2 +
n
X
k=1
cos(kt) = sin 2n+12 t 2 sin 2t Rappels :∀x∈R,cos(x) =eix+e−ix
2 ,sin(x) = eix−e−ix
2i ;∀(a, b)∈R2,2 sinacosb= sin(a+b) + sin(a−b).
3. Montrer que l’on a pour toutk∈N∗: Z π
0
(t2−2πt) cos(kt)dt=2π k2 4. En déduire que pour toutn∈N∗ :
1 2π
Z π
0
(t2−2πt)Cn(t)dt=
n
X
k=1
1 k2 −π2
6
5. Déduire de ce qui précède la somme de la série X
n≥1
1 n2.
PARTIE II
L’objectif de cette partie est de montrer que Z 1
0
ln(t) t2−1dt=
+∞
X
k=0
1 (2k+ 1)2 1. Prouver la convergence de l’intégrale.
2. Montrer que pour toutk∈Nl’intégraleIk= Z 1
0
tkln(t)dt converge, et la calculer.
3. Montrer que pour toutn∈N∗ :
n
X
k=0
1 (2k+ 1)2 =
Z 1
0
ln(t) t2−1dt−
Z 1
0
t2n+2ln(t) t2−1 dt
4. Montrer que la fonctiont7→ t2ln(t)
t2−1 est bornée sur]0,1[.
5. En déduire lim
n→+∞
Z 1
0
t2n+2ln(t)
t2−1 dt= 0, puis la relation attendue.
6. En utilisant le résultat démontré en partie I, calculer Z 1
0
ln(t) 1−t2dt.
Fin de l’énoncé d’analyse
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