? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - CC 2 - S1 - Analyse
vendredi 16 novembre 2018 - Durée 1 h
Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
Exercice 1 1. Montrer que la fonctionf définie sur ]0,+∞[ par
f(t) = lnt t2+ 1 est intégrable sur]0; +∞[, et que l’on a :
Z +∞
1
f(t)dt=− Z 1
0
f(t)dt
2. adésigne un réel strictement positif. Déduire de la question précédente que Z +∞
0
lnt
t2+a2dt= πlna 2a
Exercice 2 1. Montrer la convergence de l’intégrale
Z +∞
0
sin2(t) t2 dt
2. En utilisant une intégration par parties et le changement de variablet7→2t, montrer que Z +∞
0
sin2(t) t2 dt=
Z +∞
0
sin(t) t dt On énoncera soigneusement les théorèmes utilisés.
3. Montrer la convergence de l’intégrale Z π2
0
sin2(nt)
t2 dt, pour toutn∈N. On noteIn cette intégrale.
4. Montrer que
n→+∞lim In
n = Z +∞
0
sin(t) t dt 5. Montrer la convergence de l’intégrale
Z π2
0
sin2(nt)
sin2(t) dt, pour toutn∈N. On noteAn cette intégrale.
6. CalculerA0 etA1.
7. En admettant que pour toutn∈N, on a :sin2(nt)−2 sin2((n+ 1)t) + sin2((n+ 2)t) = 2 sin2(t) cos (2(n+ 1)t), montrer queAn−2An+1+An+2= 0.
8. Déduire des deux questions précédentes l’expression deAn en fonction den, pour toutn∈N. 9. Montrer la convergence de l’intégrale
Z π2
0
sin2(nt)
tan2(t)dt, pour toutn∈N. On noteBn cette intégrale.
10. Montrer que pour toutn∈N∗,An−Bn= π 4. 11. En utilisant le fait que pour toutx∈h
0,π 2 h
,0≤sin(x)≤x≤tan(x), montrer que pour toutn∈N∗ : Bn≤In≤An
12. Déduire de ce qui précède que
Z +∞
0
sin(t) t dt= π
2
Fin de l’énoncé d’analyse
1
