Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet
D.M. n°11 POLYNÔMES
Soient n∈ℕ* et Pn le polynôme défini par : Pn = 1
2i[(X + iX0)2n+1 – (X – iX0)2n+1]
1) a) Déterminer les racines du polynôme (X2n+1 - X0) ∈ℂ[X].
b) En déduire que les racines de Pn sont les nombres : ξk = cotan
2 1
k n π
+
où k∈ −
n n; \ {0}(où cotan x = cos( ) pour ;
(
1)
sin( ) p
x x p p
x ∈ ∈ π + π
ℤ
∪
)2) Montrer que Pn =
n
k 2(n k ) k 0
2n 1
( 1) X 2k 1
−
=
+
−
+
∑
.3) Donner la factorisation dans ℝ[X] du polynôme Qn∈ℝ[X] tel que Pn(X) = Qn(X2).
4) a) Calculer la somme Sn définie par Sn = 2
1
cotan
2 1
n
k
k
= n
π
+
∑
b) Soit θ∈ 0;
2 π
, exprimer 1
sin2θ en fonction de cotanθ.
c) Calculer la somme Tn définie par Tn =
1 2
1 sin 2 1
n
k k
n
= π
+
∑
.5) Prouver les inégalités suivantes : ∀x∈ 0;
2 π
, cotan2(x) ≤ 1 x2 ≤ 1
sin x2
6) Déduire de ce qui précède que la suite
*
2 1 n 1
k= k n∈
∑
ℕ
est convergente et calculer sa limite.
