D.M. n°5 ETUDE DE FONCTIONS

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet

D.M. n°5 ETUDE DE FONCTIONS

CORRECTION

1. Soit a un réel strictement positif tel que a < 2.

On considère la fonction f définie par : Arcsin 2

1

 

=  

+

 

f ( x ) ax

x

a) Montrer que f est définie sur ℝ, et justifier que l’on peut réduire le domaine d’étude de f à

[

^0;+∞

[

^.

ax a x x a x x a a

x

2 2 2

2 1 1 0 1 ; 4 0 car 0 2

1 ≤ ⇔ ≤ + ⇔ ≤ − + ∆ = − < < <

+

On en déduit que ∀ ∈x ℝ,1−a x +x²>0.

f est donc définie (et dérivable) sur _ℝ . f étant impaire, on peut l’étudier sur

[

^0;+∞

[

^.

b) Etudier les variations de f.

L’étude de la question précédente donne f dérivable sur son domaine.

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2 2 2

, ' 1

1 1

a x

x f x

x x a x

∀ ∈ = −

+ + −

ℝ

Ainsi, f est strictement croissante sur [0 ; 1] et strictement décroissante sur

[

^1;+∞

[

^.

c) Calculer la limite de f en +∞^.

( )

2 2

lim lim 0 donc lim 0

1

x x x

ax ax

x x f x

→+∞ = →+∞ = →+∞ =

+

d) Dresser le tableau de variations de f.

On rappelle que f est impaire.

X −∞ -1 0 1 −∞

f' ’ (x) – + + –

f

0 Arcsin(a/2)

Arcsin(-a/2) 0

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2. On considère la fonction f définie par :

2

Arcsin 2 1 f ( x ) x

x

 

=  

+

 

a) Donner le domaine D de dérivabilité de f.

( )

x x x x x x

x

2 2 2

2

2 1 2 1 0 1 2 0 1

1 < ⇔ < + ⇔ < − + ⇔ < −

+ donc D = ^ℝ\

{

^−1;1

}

^.

b) Dériver f sur D.

{ } ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 1 2 1

\ 1;1 , '

1 1 4 1 1

2 pour 1 1

2 1 1

1 1 2 pour 1 et 1

1

x x

x f x

x x x x x

x x x

x x x x

x

− −

∀ ∈ − = =

+ + − + −

 − < <

−  +

= = 

 −

+ −  + < − <

ℝ

c) En déduire une expression simplifiée de f(x) sur son domaine de définition.

( )

( ) ( ) ( )

1 2 3

2Arc tan C pour 1

2 Arc tan + C pour -1< 1

2Arc tan C pour 1

x x

f x x x

x x

− + <



= ≤

− + ≤ −



La fonction f est continue sur ℝ ; Arcsin(1) = 2

π et Arcsin(-1) = 2

−π donc :

( )

( ) ( ) ( )

2Arc tan pour 1

2 Arc tan pour -1< 1

2Arc tan pour 1

x x

f x x x

x x

− + π <



= ≤

− − π ≤ −



d) Retrouver ce résultat en effectuant un changement de variable dans l’expression de f(x) et en utilisant les propriétés des fonctions circulaires.

f étant impaire, on se place sur

[

^0;+∞

[

. On pose tan avec 0 x₌ a a_∈^ ;π2^

 

 

( ( ) ) ^{( )}

2

_{( ) ( )} ^{( )}

²

( ) ( ( ) )

2 tan 2 sin

tan Arcsin Arcsin cos Arcsin sin 2

1 tan cos

a a

f a a a

a a

   

=  + =  × =

On a donc :

(

^tan

( ) )

^{2 pour 0 4}

2 pour

4 2

a a ;

f a

a a ;

π π π π

  

 ∈ 

  

=

 

 − ∈ 

  



Et par suite :

( ) ( )

( )

2 Arc tan pour 0 1

2Arc tan pour 1

x x

f x x x

 ≤ ≤

= 

π − <



.

f étant impaire, on a de plus : ^{f x}

( )

^{= −2Arc tan}

( )

^{x − π pour x≤ −1}