D.M. n°7 THEOREME DE CESARO

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet

D.M. n°7 THEOREME DE CESARO

CORRECTION Etant donnée une suite

( )

^a_{n n∈}ℕ^*, on définit la suite

( )

^c_{n n∈}ℕ^* par :

1

1, 1

n

n k

k

n c a

n ₌

∀ ≥ =

∑

^,

appelée somme de Cesaro.

I. Théorème de Cesaro :

Montrer que si

( )

^a_{n n∈}ℕ^*admet une limite L dans ℝ, alors

( )

^c_{n n∈}ℕ^*admet la même limite L.

Si lim _n

n a L

→+∞ = ∈ℝ : ∀ε > ∃ ∈0, n0 ℕ^*,∀ ∈n ℕ^*,

(

n≥n0

)

⇒ a_n− ≤ εL n n0

∀ ≥ ,

( )

⁰

1 1 1 1 0 1

1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ

n n n n n

k k k k k n

a L a L a L a L a L

n = n = n = n = n = +

 

− = − ≤ − ≤ − + −

 



∑



∑ ∑ ∑ ∑

D’où :

0

0 0 0 0

1

1 ⁿ

n k

k

n n n n n n

c L a L

n = n n n n

− −

− ≤

∑

− + ε ≤ α + ε ≤ α + ε ^{où α =max}

{

^{ak −L k; ∈}

^1;n0

}

^.

lim 0 0

n

n

→+∞ n α = , donc 1 ^*, ^*,

(

1

)

n⁰

n n n n

∃ ∈ℕ ∀ ∈ℕ ≥ ⇒α n ≤ ε,

ainsi ^{∀ ∈n ℕ*,}

(

^n≥max

(

^{n n0, 1}

) )

^{⇒ cn− ≤ εL 2} . On en déduit que

( )

^c_{n n∈}ℕ^*converge vers L.

Si lim _n

n a

→+∞ = +∞ : ∀ ∈ ∃ ∈M ℝ, n0 ℕ^*,∀ ∈n ℕ^*,

(

n≥n0

)

⇒a_n ≥M n n0

∀ ≥ ,

0

0

0 0

1 1 1

1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ

n n n n

k k k n

n n n

c a a a M

n = n = n = + n n

=

∑

=

∑

+

∑

≥ β + − ^{, où β =min}

{

^{a kk, ∈}

^1;n0

}

0 0

nlim

n n n

M M

n n

→+∞

−

 

β + =

 

  , donc 0, 1 ^*, ^*,

(

1

)

n⁰ n n⁰

n n n n M M

n n

∀ε > ∃ ∈ℕ ∀ ∈ℕ ≥ ⇒ β + − ≥ − ε.

Ainsi, ^{∀ ∈n ℕ*,}

(

^n≥max

(

^{n n0, 1}

) )

^{⇒cn≥M− ε}. On en déduit que

( )

^c_{n n∈}ℕ^*diverge vers +∞. Si lim _n

n a

→+∞ = −∞, on considère la suite

(

^−a_{n n}

)

_∈ℕ^* et on applique le cas précédent.

II. Applications

1. Soit

( )

^u_{n n∈}ℕ la suite réelle définie par :

u0 > 0 et ₁

0 n

n k

k

u ₊ u

=

=

∑

Remarque : Une récurrence immédiate montre que ∀ ∈n ℕ,u_n>0 (ce qui garantit l’existence de la suite !).

a) Déterminer la fonction f telle que :

( )

*

, _n 1 _n

n u ₊ f u

∀ ∈ℕ = On a :

1

1

* 2 2

0 0

, n

n n

k n k n n

k k

n u₊ u u u u u

−

= =

∀ ∈^ℕ =

∑

= +

∑

= + ^{, d’où :} ∀ ∈n ℕ^*,u_n+1= u_n+u_n² La fonction f recherchée est donc définie sur ℝ⁺par ^{f x}

( )

^{= x2+x.}

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet b) Etudier la convergence de la suite

( )

^u_{n n∈}ℕ.

2 2

* 2

1 2 2

, _{n n n n n} ^{n n n n} 0

n n n n n n

u u u u

n u u u u u

u u u u u u

+ + −

∀ ∈ − = + − = = >

+ + + +

ℕ car ∀ ∈n ℕ,u_n>0.

On en déduit que la suite

( )

^u_{n n∈}ℕ est croissante.

Si elle convergeait, comme f est continue, sa limite L vérifierait f(L) = L, donc L = 0.

Or la suite est croissante et strictement positive (∀ ∈n ℕ^*,u_n> >u₁ 0), c’est donc impossible.

La suite

( )

^u_{n n∈}ℕest croissante et n’a pas de limite finie, elle diverge donc vers +∞.

c) En appliquant le théorème de Cesaro à la suite de terme général an = un + 1 – un , déterminer la limite de uⁿ

n .

On a : ^* ₁

, _{n n} ⁿ2

n n n

n u u u

u u u

∀ ∈ + − =

+ +

ℕ , donc

2

1 1

lim lim lim lim car lim

1 2

1 1 1

1 1

n n

n n

n n n n n

n n n

n

n n

u u

a u

u u u

u u u

→+∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ = +∞

 

+ +  + +  + +

 

.

1 1 1 1

1

1 1

1, 1

n

n n

n k

k

u u n u u

n c a

n n n n n n

+ +

=

∀ ≥ = = − = + × −

∑

+ ^{; lim 1} 1 et lim ¹ 0

n n

u n

n n

→+∞ →+∞

+ = − = ^.

donc d’après le théorème de Cesaro : 1

lim 2

n n

u n

→+∞ =

2. Soit

( )

^v_{n n∈}ℕ la suite réelle définie par : v0 =1 et ₁ 1 2

1 3

n

n n

n

v v v

+ v

= + + a) Etudier la convergence de la suite

( )

^v_{n n∈}ℕ.

Une récurrence immédiate montre que ∀ ∈n ℕ,v_n >0.

On a donc : ∀ ∈n ℕ, 0 1 2< + v_n< +1 3v_n d’où : ¹ 1 2

, 0 1

1 3

n n

n n

v v

n v v

+ +

∀ ∈ < = <

ℕ + ;

On en déduit que la suite

( )

^v_{n n∈}ℕest strictement décroissante, minorée par 0.

Elle converge donc vers un réel L tel que 1 2 1 3 L L L

L

= +

+ (car 1 2

1 3 x x x

x +

֏ + continue sur

[

^0;+∞

[

^).

On trouve lim _n 0

n v

→+∞ = .

b) Après avoir justifié que la suite

( )

^v_{n n∈}ℕ ne s’annule pas (déjà dit), appliquer le théorème de Cesaro à la suite de terme général

1

1 1

n

n n

a =v₊ −v pour déterminer la limite de

(

n v . n

)

1 3 1 3 1 2

1 1 1

, 1

1 2 1 2 1 2

n n n

n

n n n n n

v v v

n a

v v v v v

 +   + − − 

∀ ∈ =  − =  =

+ + +

   

ℕ , donc lim _n 1

n a

→+∞ = .

( )

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1, 1

n

n k

k n n

n c a n

n = nv+ nv n n v+ nv

∀ ≥ = = − = + × −

∑

+

1

1 1

lim 1 et lim 0

n n

n

n nv

→+∞ →+∞

+ = = donc d’après le théorème de Cesaro : 1

lim 1

n^→+∞nvn = et par suite :

lim _n 1

n nv

→+∞ = .