D.M. n°15 SERIES

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touze

D.M. n°15 SERIES

] ]

0, ;1

n x

∀ > ∀ ∈ −∞ , on définit :

( ) ( )

1

, ( )

n n

n n k

k

u x x S x u x

n ₌

= =

∑

1. Etude de Sn(1)

Pour n > 0 , on pose γ =_n S_n

( )

( )

a) Etudier la série de terme général Dn = γ_n+1− γ_n n > 0.

b) En déduire que (γ_n) converge. On note γ sa limite (appelée constante d’Euler).

2. Etude de la série

≥1

 

 

 

 

∑

n

nπ n

Pour n > 0, on pose

1

1 2

cos 3

n n

k

C k

= k

 π

=

∑

1 1

3

1 0 0

1 1 1

0 : 3 3 1 3 2

n n n

n

p p p

n C a b c

p p p

− −

= = =

∀ > = + +

+ +

∑ ∑ ∑

b) En déduire que : 3

( )

( )

1 1

0 : 1 1

2 2

∀ >n C_n= S_n − S _n .

c) Déterminer la convergence de la suite (Cn), ainsi que sa limite.

3. Etude de Sn(-1)

a) Montrer que :

] [ ( ) ( ) ( )

( )

0

0, ;1 : ln 1

1 ⁺

∀ > ∀ ∈ −∞ − = − − −

∫

x n

n n

x t

n x x S x dt

t

b) En déduire que la série de terme général un(-1) converge, et en donner la somme.

4. Etude de la série

( )( )

0

1

1 2 1

n_≥ n + n +

∑

a) Déterminer les réels a et b tels que :

( )( )

: 1

1 2 1 1 2 1

a b

n n n n n

∀ ∈ = +

+ + + +

ℕ

b) Montrer que

( )

( )

0

1 1

0, 1 1

2 1 2

n

n n

k

n S S

k ⁺

=

∀ > = − −

∑

c) Déterminer la somme de la série

( )( )

0

1

1 2 1

n_≥ n+ n+

∑