20 Fonctions convexes.

M ath ematiques ´ - ECS1

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F onctions convexes

Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles

2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c

20 Fonctions convexes.

20.1 Objectifs

Définition des fonctions convexes, fonctions concaves.

Point d’inflexion.

Une fonction est convexe sur un intervalle I si

∀(x1,x2)∈I²,∀(t1,t2)∈[0,1]²tels quet1+t2=1, f(t1x1+t2x2)6t1f(x1)+t2f(x2).

Interprétation géométrique.

Généralisation de l’inégalité de convexité.

Caractérisation des fonctions convexes de classeC¹. Les étudiants devront savoir que si f est de classe C¹, alorsfest convexe si et seulement si l’une des deux propositions est vérifiée :

• f⁰est croissante ;

•Cf est au-dessus des tangentes.

Caractérisation des fonctions convexes et concaves de classeC².

20.2 Fonctions convexes d’une variable réelle

Dans tout ce qui suit,Iest un intervalle deRcontenant au moins deux points.

20.2.1 Définitions et exemples.

Définition 1. Soit f :I−→R. On dit que f est convexe lorsque

∀x1 ∈I, ∀x2∈I,∀(t1,t2)∈[0,1]²tels quet1+t2 =1,f(t1x1+t2x2)6t1f(x1)+t2f(x2).

Lorsquet₁+t₂ = 1, on at₂ = 1−t₁ donc la définition précédente se reformule de manière équivalente en la

Définition 2. Soit f :I−→R. On dit que f est convexe lorsque

∀x∈I, ∀y∈I,∀λ∈[0,1], f(λx+(1−λ)y)6λf(x)+(1−λ)f(y)

SoitC_f la courbe représentative de f, A=(x,f(x)) etB=(y,f(y)) avecx<y, deux points deC_f.

• Le réelxλ=λx+(1−λ)ydécrit tout le segment [x,y] lorsqueλparcourt l’intervalle [0,1].

• Le réel f(xλ) est l’ordonnée du pointMλdeC_f d’abscissexλ:Mλ=(xλ,f(xλ)).

2

20.2 Fonctions convexes d’une variable réelle ³

• Le réelλf(x)+(1−λ)f(y) est l’ordonnée du pointP_λdu segment [A,B] d’abscisse x_λ:P_λ=(x_λ, λf(x)+(1−λ)f(y)).

La caractérisation précédente revient donc à dire que f est convexe si et seulement si quel que soitλ∈[0,1] le pointMλest au dessous dePλ, c’est à dire encore que f est convexe si et seulement si pour tousx<ydansIla courbe de f|[x,y]est située au dessous de la corde [(x,f(x)), (y,f(y))].

→

i

→

j

0 x

y

C_f

x f(x)

y f(y)

(1−λ)x+λy f(λx+(1−λ)y)

λf(x)+(1−λ)f(y)

M_λ Pλ

Définition 3. Soit f :I−→R. On dit que f est concave lorsque

∀x∈I, ∀y∈I,∀λ∈[0,1], f(λx+(1−λ)y)>λf(x)+(1−λ)f(y)

Remarque1.La fonction f est concave si et seulement si−f est convexe.

Exemple 1. (a) Une fonction affine est à la fois convexe et concave : si pourx∈R, f(x)= ax+balors

f(λx+(1−λ)y)=a(λx+(1−λ)y)+b

=λ(ax+b)+(1−λ)(ay+b)

=λf(x)+(1−λ)f(y) (b) La fonction f :x∈R7→x²est convexe.

f(λx+(1−λ)y)=(λx+(1−λ)y)²

=λ²x²+(1−λ)²y²+2λ(1−λ)xy 6λ²x²+(1−λ)²y²+2λ(1−λ)x²+y²

2

6(λ²+λ(1−λ))x²+((1−λ)²+λ(1−λ))y² 6λf(x)+(1−λ)f(y)

(c) La fonction f :x∈R7→ |x|est convexe surR: f(λx+(1−λ)y)=|λx+(1−λ)y|

6|λx|+|(1−λ)y|, ( inegalite triangulaire ) 6λ|x|+(1−λ)|y|, ( carλ>0, 1−λ>0) 6λf(x)+(1−λ)f(y)

4 Fonctions convexes.

Exercice 1. Soient I,Jdeux intervalles, f : I −→ Jet g : J −→ Rdeux fonctions convexes. Est ce queg◦ f est convexe ? Quelle hypothèse supplémentaire peut on faire pour obtenir la convexité deg◦ f?

20.2.2 Caractérisations d’une fonction convexe.

Proposition 1. Soit f :I−→R.

Pour que f soit convexe, il faut et il suffit que tout arc de la courbe de f soit au dessous de la corde qui le sous-tend.

Proposition 2. Soit f :I−→R.

Pour que f soit concave, il faut et il suffit que tout arc de la courbe de f soit au dessus de la corde qui le sous-tend.

Proposition 3(Inégalité de convexité). Soit f :I−→R. Pour que f soit convexe, il faut et il suffit que

∀n∈N^∗, ∀(x1, . . . ,xn)∈Iⁿ,∀(λ1, . . . , λn)∈[0,1]ⁿ, tels que

n

X

i=1

λi=1,

f









n

X

i=1

λixi







6

n

X

i=1

λif(xi)

Remarque2.Si f est convexe, en choisissantλ_i=1

n, 16i6n, on a en particulier f









n

X

i=1

x_i n







6 1 n

n

X

i=1

f(x_i)

Exercice 2. Soit f : R −→ R une fonction convexe et majorée. Montrer que f est constante sur R. Donner un exemple de fonction convexe majorée non constante sur ]0,+∞[.

20.3 Convexité et dérivabilité

Proposition 4. Soit f :I−→Rune fonction dérivable.

Pour que f soit convexe il faut et il suffit que f⁰soit croissante.

20.3 Convexité et dérivabilité ⁵

Corollaire 5. Soit f :I−→Rune fonction deux fois dérivable.

(1) Pour que f soit convexe il faut et il suffit que f⁰⁰soit positive sur I.

(2) Pour que f soit concave il faut et il suffit que f⁰⁰soit négative sur I.

Exemple 2. (1) La fonction exponentielle est convexe surRpuisqu’elle est de classeC^∞ surRet pour toutx∈R, d²

dx²( e^x)= e^x>0.

→

i

→

j

0 x

y

(2) La fonction ln est concave sur ]0,+∞[ puisqu’elle est de classeC^∞sur ]0,+∞[ et pour toutx∈R, d²

dx²(lnx)= −1 x² <0.

→

i

→

j

0 x

y

(3) la fonction sin est concave sur [0, π] puisqu’elle est de classeC^∞sur [0, π] et pour tout x∈[0, π], d²

dx²(sinx)=−sin(x)60.Par contre, sin est convexe sur [−π,0] puisque pour−π6x60, sin⁰⁰(x)=−sin(x)>0.

→

i

→

j

0 x

y

6 Fonctions convexes.

Exercice3.Montrer que pour toutx∈[0,π 2], 2

πx6sinx6x. En déduire que pour tout a,b∈Rtels que0<a<b<π

2, a b 6 sina

sinb 6π 2 a b.

Exercice4.Montrer que pour toutx>0, x,1 lnx x−1 6 1

√x.

Exercice5.Application de la convexité à l’obtention d’inégalités : (a) Soientx1, . . . ,xndes réels strictement positifs. Montrer que









n

Y

i=1

xi









1 n

61 n

n

X

i=1

xi

(b) En déduire que x1

x2 +x2

x3 +. . .+xn

x1

>n.

Proposition 6. Soit f :I−→Rune fonction dérivable.

Les énoncés suivants sont équivalents : (1) f est convexe.

(2) Pour tout x∈I et tout a∈I, f(x)> f(a)+(x−a)f⁰(a)

L’équationy = f(a)+(x−a)f⁰(a) est l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point (a,f(a)). La propriété précédente signifie donc que la courbe représentative d’une fonction convexe reste au dessus de toutes ses tangentes.

→

i

→

j

0 x

y

y=f(x)

a

20.4 Exercices. ⁷

On obtient une caractérisation de la concavité pour les fonctions dérivables en renver- sant le sens de l’inégalité dans la proposition précédente. Graphiquement, une fonction est concave si et seulement si elle est située au dessous de toutes ses tangentes.

Exemple 3. Quelques inégalités de convexité

(a) La fonction ln est concave sur ]0,+∞[ donc pour toutx>0, lnx6ln 1+(ln⁰1)(x−1) soit lnx6x−1

(b) La fonction exp est convexe surRdonc pour toutx∈R, e^x>exp(0)+exp⁰(0)x=1+x.

(c) La fonctionx ∈]0,+∞[7→ √

xest concave sur ]0,+∞[ donc pour toutx > 0, √ x 6 1+1

2(x−1)=1 2(x+1)

Définition 4. Soit f : I −→ Rune fonction deux fois dérivable eta ∈ I. On dit que (a,f(a)) est un point d’inflexion de la courbe représentative def sif⁰⁰s’annule au point aen changeant de signe.

→

i

→

j

0 x

y

Graphiquement, un point d’inflexion correspond à un point où la courbe représentative de f change de concavité. Supposonsf deux fois dérivable sur ]a−ε,a+ε[ avec f⁰⁰(x)60 pour toutx∈[a−ε,a] et f⁰⁰(x)>0 pour toutx∈[a,a+ε]. Sur [a−ε,a], la fonctionf est donc concave et l’arc de courbe correspondant est donc en dessous de la tangente au point (a,f(a)). Sur [a,a+ε], la fonction f est donc convexe et l’arc de courbe correspondant est donc au dessus de la tangente au point (a,f(a)). La courbe de f traverse sa tangente au point (a,f(a)).

Exercice 6.Soit f : x ∈ R 7→ ax³+bx² +cx+d oùa,b,c,d sont quatre réels avec a ,0. Montrer que la courbe représentative de f possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse.

20.4 Exercices.

Exercice7.Etudier la convexité des fonctions définies par les formules suivantes :

8 Fonctions convexes.

(1) f(x)= e^x+ e^−x 2 (2) f(x)= e^x− e^−x

2 (3) f(x)=xlnx−x (4) f(x)= (x−1)²

x e^1x

Exercice8.En utilisant la concavité de la fonctionln, montrer que

∀x>0,∀y>0,∀z>0, √³

xyz6 x+y+z

3 .

Exercice 9.Soit f : R −→ R une fonction convexe et majorée. Montrer que f est constante sur R. Donner un exemple de fonction convexe majorée non constante sur ]0,+∞[.

Exercice10.Soit f une fonction convexe surRet des nombres réelsa1,a2, . . . ,an,an+1

tels que

a1>a2>a3>. . .>an etan+1=a1. Montrer que

n

X

k=1

a_kf(a_k+1)6

n

X

k=1

f(a_k)a_k+1

Exercice11.Etudier la convexité de dex7→xlnxet en déduire, pour tous réels stricte- ment positifsx>0,y>0,a>0,b>0, l’inégalité

xlnx a +ylny

b >(x+y) ln x+y a+b.

Exercice12.Etablir, pour tous réelsxetytels quex>1, y>1,l’inégalité lnx+y

2 > p lnxlny

Exercice13.Etudier la concavité et les points d’inflexions de la courbe représentative de f pour f(x)= e^−x2, x∈R. Faire de même pour f(x)=sinx−cosx, x∈R.

20.5 Indications pour les exercices ⁹

Exercice 14.Soit f : [1,+∞[−→ Rde classeC¹ et convexe. Montrer que pour tout n>2,

061

2(f(1)+f(n))+

n−1

X

k=2

f(k)− Z n

1

f(x) dx61

8(f⁰(n)−f⁰(1))

Exercice15.Soit f :R⁺−→Rconvexe et bornée. Montrer que f est décroissante.

20.5 Indications pour les exercices

20.6 Correction des exercices