Convexité (complément hors programme)
Les fonctions étudiées dans ce paragraphe sont définies sur un intervalle I (non réduit à un point) de R et à valeurs dansR.
1) Définitions
•f est convexe sur I si et seulement si
∀(x, y)∈I2 ∀t∈[0,1] f (1−t).x+t.y ≤(1−t).f(x) +t.f(y).
•f est concave sur I si et seulement si −f est convexe.
•Legraphe def estΓ = (x, y)∈R2 / y=f(x) . On appellearc de Γtoute partie deΓde la forme (x, y)∈R2 / x∈[a, b] ety =f(x) où (a, b) ∈I2 ; la corde associée à un tel arc est le segment joignant les points a, f(a) et b, f(b) .
•L’épigraphe def est E= (x, y)∈R2 / y≥f(x) .
Propriété : si f est convexe sur I, si a1, . . . , an sont des points de I et λ1, . . . , λn dans R+ tels que
n k=1
λk= 1, alors :
f
n k=1
λk.ak ≤
n k=1
λk.f(ak).
2) Premières caractérisations
Soit f :I →R. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1) f est convexe sur I.
2) Tout arc du graphe Γ def est situé sous sa corde et le reste du graphe est au-dessus.
3) L’épigraphe de f est une partie convexe deR2. 4) Pour tout adeI, la fonction φa:x→f(x)−f(a)
x−a est croissante sur I\ {a}.
3) Caractérisation des fonctions convexes de classe
C1 Soit f :I →R, de classe C1 sur I. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1) f est convexe sur I.2) f′ est croissante sur I.
3) Le grapheΓ def est au-dessus de chacune de ses tangentes, c’est-à-dire
∀a∈I ∀x∈I f(x)≥f(a) + (x−a)f′(a).
NB : si f est deux fois dérivable, elle est convexe si et seulement sif′′ est positive.
4) Exemples classiques
La fonction exponentielle est convexe sur R. Notamment (cf. la tangente en(0,1))
∀t∈R et≥1 +t.
La fonction logarithme népérien est concave sur R+∗. Notamment (cf. la tangente en(1,0))
∀x∈R+∗ lnx≤x−1.
La fonction sinus est concave sur [0, π]. Notamment (cf. la tangente en (0,0) et la corde associée à [0, π/2])
∀x∈[0, π/2] 2
πx≤sinx≤x.
