Fonctions numériques continues, dérivables

Fonctions numériques continues, dérivables

1 f (I ) ⊂ I

SoitI= [a, b]un segment etf une fonction continue surIà valeurs dansR.

1- On suppose quef(I)⊂I. Montrer quef possède un point xe.

2- On suppose queI⊂f(I). Montrer quef possède un point xe.

3- Trouver un contre-exemple siI est seulement un intervalle.

Indications

1- Soitg:t→f(t)−t. g(a)≥0 etg(b)≤0. 2- Soita₁ un antécédent dea,b₁ un antécédent deb. On examineg(a₁)etg(b₁).

3-t→t+ 1et I=R. t→t² etI= ]0,1[.

2 f (nx) = f (x)

Chercher les fonctionsf continues de]0,+∞[dansRtelles que :

∀n∈N^∗,∀x >0, f(nx) =f(x)

3 f ◦ g = g ◦ f

SoitI= [0,1],f etg deux fonctions continues deI dansI telles quef◦g=g◦f. On veut montrer que :

∃c∈I, f(c) =g(c)

3.1 1e méthode

1- On suppose que :

∀x∈I, f(x)> g(x) Montrer que :

∃α >0,∀n∈N^∗,∀x∈I, fⁿ(x)≥gⁿ(x) +na (fⁿ signie icif◦...◦f ).

2- En déduire une contradiction.

3- Conclure.

3.2 2e méthode

On noteF(f)l'ensemble des points xes de f. 1- Montrer queF(f)est un compact non vide.

2- Montrer queF(f)est stable parg. 3- Conclure à l'aide demaxet min de F(f).

1

4 f

∈ {f (a) , f (b)}

SoitI un intervalle ; chercher les fonctions continuesf deI dansRtelles que

∀a, b∈R, f a+b

2

∈ {f(a), f(b)}

Indications

Si par l'absurdeu=f(a)6=f(b) =v, construire deux suites adjacentes(a_n)et(b_n)telles

∀n≥0, f(an) =u, f(bn) =v

5 f ◦ f = cos

1- Montrer quecosadmet un unique point xe dansR.

2- Montrer qu'il n'existe pas de fonctionf dérivable deRdansRtelle quef◦f = cos. Indications

2- Supposons l'existence def ; soitαle point xe decos; soit β=f(α); montrer queβ est aussi un point xe decos.

6 n = P

k=1

f

(x

)

Soitf dérivable sur[0,1]à valeurs réelles tellef(0) = 0 etf(1) = 1. 1- Montrer l'existence denréels distinctsx1, ..., xn tels que

n=

n

X

k=1

f⁰(xk)

2- Montrer l'existence denréels distinctsx1, ..., xn tels que

n=

n

X

k=1

1 f⁰(xk)

Indications

1- Théorème des accroissements nis entre ^k−1_n et _n^k.

2- Théorème des accroissements nis entreα_k−1 etα_k, antécédents par f de ^k−1_n et ^k_n.

7 (f (x) , f

(x)) 6= (0, 0)

Soitf une fonction dérivable de [0,1]dansR. On suppose que

∀x∈[0,1],(f(x), f⁰(x))6= (0,0) Montrer que l'ensemble des zéros def est ni.

8 kf

k

≤

kf k

+

kf

k

Soienta < bdeux réels. Soitf ∈C²([a, b],R). Montrer que

kf⁰k_∞≤ 2

b−akfk_∞+b−a 2 kf⁰⁰k_∞

2

Indications Soitx∈[a, b].

f(a) =f(x) + (a−x)f⁰(x) +R1

f(b) =f(x) + (b−x)f⁰(x) +R2

On soustrait, et on majoreR₁ etR₂ à l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange...

9 f

≥ αf

Soitf une fonction de classeC² deR⁺ dansR⁺, etα >0. On suppose quef est majorée et que surR⁺ : f⁰⁰≥αf

1- Montrer quef⁰ tend vers 0 en +∞. 2- Montrer quef tend vers 0 en+∞. 3- Montrer que

∀x≥0, f(x)≤f(0).e⁻

√αx

Indications

1-f⁰ est croissante, donc possède une limite dansR.

2-f⁰ est croissante et tend vers 0, doncf⁰≤0. 3- On remarque que

f⁰.f⁰⁰≤αf.f⁰ qu'on intègre sur[x,+∞[.

10 Deux parties dénombrables denses dans R

SoientAetB deux parties dénombrables denses dans R.

Montrer qu'il existe un homéomorphismef deRdansRtel que f(A) =B.

3