Maths PCSI Exercices
Fonctions convexes
On sugg`ere de traiter dans un premier temps les exercices 2,6,8,9,11,12.
Exercice 1
Soit f une application convexe et concave sur un intervalle. montrer que f est affine.Application : on supposef etg convexes telles qu’existentα, β >0 tels que αf+βgsoit concave.
Que dire def et g?
Exercice 2
Soitf :R→Rconvexe et born´ee. Que dire de f?Exercice 3
Que dire du produit de la somme de deux fonctions convexes ? et du produit ? et du produit de deux fonctions convexes positives ? (on pourra se donner une id´ee du r´esultat en regardant les cas o`u les fonctions sont deux fois d´erivables).Exercice 4
Soitf convexe et bijective sur I. Que dire de f−1?Exercice 5
(*)– Soitf convexe surR. Montrer que f(x)
x admet une limitel dansR∪ {+∞}lorsquextend vers – Si+∞.l est finie, montrer que x7→f(x)−lxadmet une limite dansR∪ {−∞}en +∞.
Exercice 6
(*)Soitf continue sur [0,1] etgconvexe surR. Montrer :
gZ 1 0 f
≤ Z 1
0 g◦f.
Il s’agit de l’in´egalit´e de Jensen, utile en probabilit´es en particulier.
Indication : On pourra raisonner avec les sommes de Riemann, ou bien en montrant que pour touty0∈R, il existeM ∈Rtel que pour touth∈R,g(y0+h)≥g(y0) +Mh(faire un dessin), puis choisiry0 convenablement.
Exercice 7
Montrer que si 0< x <1, alors 1 +x <ex<1 +x(e−1).Exercice 8
(*)Soientθ1, θ2, θ3∈[0,2π] de somme 2π. Montrer :
sinθ1sinθ2sinθ3≤3√ 3 8 ·
En d´eduire Sup(AB.AC.BC) lorsqueA, B, C se prom`enent sur le cercle trigonom´etrique.
Cas d’´egalit´e ?
Exercice 9
On suppose f convexe d´erivable sur R. Montrer que x 7→ f(x)−xf0(x) est croissante surR− et d´ecroissante surR+. Interpr´etation graphique ?Indication :On a int´er`et `a faired’abord l’interpr´etation graphique !
Exercice 10
Soient a, b, x, y >0. Montrer : xlnxa+ylny
b≥(x+y) lnx+y a+b·
1
Exercice 11
Soient α >1 etx1, . . . , xn>0. Montrer : Xni=1
xiα
≤nα−1Xn
i=1
xαi.
Exercice 12
Les propositions suivantes sont-elles exactes ? (preuve ou contre-exemple. . . ) 1. La fonctionχQ (qui associe 1 aux rationnels et 0 aux irrationnels) est convexe.2. Sif est convexe, alorsx7→f(x)−256xest convexe.
3. Sif est convexe etg concave, alorsfg est concave.
4. Si pour tout (x, y)∈I2, on a :f x+y 2
≤1
2 f(x) +f(y)
, alorsf est convexe surI.
5. Sif etg sont convexe, alors Min(f, g) est convexe.
6. Sif etg sont convexe, alors Max(f, g) est convexe.
7. Une fonction deux fois d´erivable est ou bien convexe ou bien concave.
8. Pour toutx∈]0, π/2], on a 2
πx≤sinx < x.
9. Sif est strictement convexe etgest concave (au sens large), alors f+gest convexe.
10. Sif est convexe,gstrictement concave, et f+g <0, alorsf+g est strictement concave.
11. Sif est convexe surR, d´erivable en 0 et 1 avecf0(0) =f0(1), alorsf est affine sur [0,1].
12. Sif est strictement convexe surI, alorspx0 est strictement croissante pour toutx0∈I.
13. Sipx0 est strictement croissante pour toutx0∈I, alorsf est strictement convexe sur I.
14. Sif est convexe eta < balorsfd0(a)≤f(b)−f(a) b−a ≤fg0(b).
15. Sif est convexe surR, alorsf ne peut pas tendre vers −∞en +∞.
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