Groupe Math´ematiques-Economie 2

UNIVERSIT´ E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007

Licence de math´ematiques Alg`ebre S1

Groupe Math´ematiques-Economie 2

Feuille d’exercices 5

A rendre lundi 30 octobre 2006.

Exercice 1

Faire le tableau d’addition et de multiplication de Z /12 Z . D´eterminer les

´el´ements inversibles et donner leur inverse dans Z /12 Z . R´esoudre l’´equation 7(x + 4) = 0

dans Z /12 Z . R´esoudre l’´equation

3(x + 4) = 0 dans Z /12 Z .

Exercice 2

Trouver toutes les solutions dans Z du syst`eme d’´equations suivant:

x ≡ 5[6]

x ≡ 1[8].

Exercice 3

Trouver tous les entiers x ∈ Z tels que

7x ≡ 5[19]

3x ≡ 1[11].

Exercice 4

Soient p un nombre premier et a un entier positif qui n’est pas un multiple de p.

a) Montrer qu’il existe un plus petit nombre naturel k tel que a

≡ 1[p].

b) Soit n ∈ N . Notons r le reste de la division euclidienne de n par k. Montrer que l’on a

a

≡ a

[p].

c) Soit n ∈ N . Montrer que l’on a

(a

≡ 1[p]) ⇔ (k | n) .

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