UFR de Math´ ematiques Math´ ematiques ´ el´ ementaires, L1 Physique

Universit´ e Paris 7 Denis Diderot

UFR de Math´ ematiques Math´ ematiques ´ el´ ementaires, L1 Physique

Partiel MS1 du 22 Novembre 2008

Le sujet contient 2 pages.

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Exercice 1

Soit le nombre complexe z

=

√ 3 + i 2 .

1) Calculer de mani` ere alg´ ebrique les racines carr´ ees de z

(´ ecrire le r´ esultat avec des racines carr´ ees).

2) Calculer de mani` ere polaire les racines carr´ ees de z

puis d´ eduire de la question 1 une expression exacte de cos(

).

3) Soit a un r´ eel quelconque, calculer cos(3a) en fonction uniquement de cos(a).

Exercice 2

Soit le polynˆ ome P = X

− 3 X

+ (1 − i) X

+ 4i X + 4 − 4i

1) V´ erifier que 2 est une racine de P et donner son ordre de multiplicit´ e.

2) Donner toutes les racines complexes du polynˆ ome P . 3) Factoriser P dans C [X].

Exercice 3

Pour tout a ∈ R , on d´ efinit la matrice M

par

M

=





−1 −3 + a −1

−1 a −1 + 2a

2 1 1 + a





1) D´ eterminer pour quelles valeurs de a la matrice M

est inversible.

2) Dans cette question a = 3. On consid` ere le syst` eme S d’inconnues x, y et z suivant

M



 x y z



 =



 2 11

−1





D’apr` es la question 1 et sans faire de calcul, que peut-on dire de l’ensemble des solu- tions de S ?

Puis r´ esoudre le syst` eme S et exprimer g´ eom´ etriquement l’ensemble des solutions.

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Exercice 4

Soit f l’application lin´ eaire de R

vers R

d´ efinie par : f : R

→ R

(x, y, z) 7→ (2x − 3y − z , 2x − y − 3z , 2x − 4y)

1) On note B

la base canonique de R

. D´ eterminer la matrice A = Mat(f, B

, B

).

2) Donner une base du noyau de f . f est-elle injective ? 3) En d´ eduire la dimension de Im(f ). f est-elle surjective ? 4) Donner une ´ equation de Im(f).

5) Montrer que les vecteurs suivants forment une base de R

:

v

= (1, −1, 2) v

= (1, 1, 1) v

= (2, 1, 1) 6) V´ erifier si les vecteurs v

, v

et v

appartiennent ` a Ker(f ) ou ` a Im(f ).

7) Calculer f(v

), f (v

) et f(v

) et exprimer ces vecteurs en fonction de v

, v

et v

. 8) On note B la base (v

, v

, v

) de R

. D´ eterminer la matrice A

= Mat(f, B, B).

Quelle propri´ et´ e particuli` ere poss` ede la matrice A

?

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