Groupe Math´ematiques-Economie 2

(1)

UNIVERSIT´ E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007

Licence de math´ematiques Alg`ebre S1

Groupe Math´ematiques-Economie 2

Feuille d’exercices 8

A rendre lundi 27 novembre 2006.

Exercice 1 On note i = √

−1 ∈ C. Soit z ∈ C tel que z = a + bi, o` u a ∈ R et b ∈ R. On d´efinit z, le conjugu´e de z comme suit:

z := a − bi.

a) Soient z, z

1

, z

2

∈ C, montrer les formules suivantes:

z = z z

1

+ z

2

= z

1

+ z

2

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

µ 1 z

¶

= 1

z . Montrer que z = z si et seulement z ∈ R.

Soit z ∈ C tel que z = a + bi, o` u a ∈ R et b ∈ R. Montrer que z + z est un r´eell et l’exprimer en fonction de a et b. Montrer que z · z est un r´eell et l’exprimer en fonction de a et b.

b) Soit z ∈ C, montrer que

(X − z) · (X − z) = X

²

− (z + z)X + zz est un polynˆome dans R[X ].

c) Soit P un polynˆome dans C[X ]. Montrer qu’il existent des uniques polynˆomes P

1

et P

2

dans R[X] tel que P = P

1

+iP

2

. Montrer que P ∈ R[X ] si et seulement si P

2

= 0.

d) Soient P ∈ R[X ] et R ∈ R[X] des polynômes réells, qu’on va considérer comme des polynômes complexes. Soit Q ∈ C[X] un polynôme complexe tel que

P = Q · R.

Montrer que Q ∈ R[X ].

1

(2)

Exercice 2

Donner toutes les solutions dans R

²

du système d’équations linéaires x + 2y = 2

x + 2y = 4

Donner toutes les solutions dans R

²

du système d’équations linéaires mx + 2y = 2

x + 2my = 4

d’abord pour m = 0 et m = −1, puis pour m ∈ R arbitraire.

Exercice 3

Donner toutes les solutions dans R

³

du système d’équations linéaires x + 2y + z = 3

x + 4y + z = 4 x + y + 2z = 3.

Donner toutes les solutions dans R

⁴

du système d’équations linéaires x

1

+ x

2

+ x

4

= 0

x

1

+ x

2

+ 3x

3

+ x

4

= 0 2x

2

+ x

3

= 0.

Exercice 4

Soit K un corps et f : K

ⁿ

→ K une forme lin´eaire, donn´ee par f (x

1

, . . . , x

n

) =

X

n i=1

a

i

x

i

.

a) Montrer que pour u ∈ K

ⁿ

et v ∈ K

ⁿ

, on a f (u + v) = f (u) + f (v).

Montrer que pour u ∈ K

ⁿ

et λ ∈ K, on a f (λ · u) = λ · f (u).

b) Soit b ∈ K

^∗

Groupe Math´ematiques-Economie 2

UNIVERSIT´ E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007

Licence de math´ematiques Alg`ebre S1

Groupe Math´ematiques-Economie 2

Feuille d’exercices 8

A rendre lundi 27 novembre 2006.

Exercice 1 On note i = √

−1 ∈ C. Soit z ∈ C tel que z = a + bi, o` u a ∈ R et b ∈ R. On d´efinit z, le conjugu´e de z comme suit:

z := a − bi.

a) Soient z, z

, z

∈ C, montrer les formules suivantes:

z = z z

+ z

= z

+ z

z

· z

= z

· z

µ 1 z

¶

= 1

z . Montrer que z = z si et seulement z ∈ R.

Soit z ∈ C tel que z = a + bi, o` u a ∈ R et b ∈ R. Montrer que z + z est un r´eell et l’exprimer en fonction de a et b. Montrer que z · z est un r´eell et l’exprimer en fonction de a et b.

b) Soit z ∈ C, montrer que

(X − z) · (X − z) = X

− (z + z)X + zz est un polynˆome dans R[X ].

c) Soit P un polynˆome dans C[X ]. Montrer qu’il existent des uniques polynˆomes P

et P

dans R[X] tel que P = P

+iP

. Montrer que P ∈ R[X ] si et seulement si P

= 0.

d) Soient P ∈ R[X ] et R ∈ R[X] des polynômes réells, qu’on va considérer comme des polynômes complexes. Soit Q ∈ C[X] un polynôme complexe tel que

P = Q · R.

Montrer que Q ∈ R[X ].

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Exercice 2

Donner toutes les solutions dans R

du système d’équations linéaires x + 2y = 2

x + 2y = 4

Donner toutes les solutions dans R

du système d’équations linéaires mx + 2y = 2

x + 2my = 4

d’abord pour m = 0 et m = −1, puis pour m ∈ R arbitraire.

Exercice 3

Donner toutes les solutions dans R

du système d’équations linéaires x + 2y + z = 3

x + 4y + z = 4 x + y + 2z = 3.

Donner toutes les solutions dans R

du système d’équations linéaires x

+ x

+ x

= 0

x

+ x

+ 3x

+ x

= 0 2x

+ x

= 0.

Exercice 4

Soit K un corps et f : K

→ K une forme lin´eaire, donn´ee par f (x

, . . . , x

) =

X

a

x

.

a) Montrer que pour u ∈ K

et v ∈ K

, on a f (u + v) = f (u) + f (v).

Montrer que pour u ∈ K

et λ ∈ K, on a f (λ · u) = λ · f (u).

b) Soit b ∈ K

. Montrer que l’´equation inhomog`ene f(x) = b

a une solution si et seulement si f n’est pas l’application nulle.

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