Plan
Analyse , S´ eance 1
Analyse des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
P. Laurent Math´ ematiques 2
3 octobre 2006
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Plan
1 Organisation Mat´ erielle Objectifs
2 Introduction aux EDP Probl` emes mod` eles Equations de l’´ ´ elasticit´ e
Equations des ´ ´ ecoulements de fluides
3 Analyse de quelques probl` emes
Probl` emes stationnaires
Probl` emes dynamiques
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Mat´erielle Objectifs
Analyse des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
1 Organisation Mat´ erielle Objectifs
2 Introduction aux EDP Probl` emes mod` eles Equations de l’´ ´ elasticit´ e
Equations des ´ ´ ecoulements de fluides
3 Analyse de quelques probl` emes Probl` emes stationnaires Probl` emes dynamiques
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Organisation du cours
Contrˆ oles, TP, s´ eances
Un contrˆ ole facultatif (“B.E.”), d´ ebut d´ ecembre.
Deux TP en PC sur Femlab.
S´ eances de “soutien” : Jeudi 5/10, 11h 30.
Documents
“Analyse des EDP” : distribu´ e mi-octobre ;
“Documents de cours et d’exercices” : distribu´ e ;
“Programme Scilab” : voir site.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Mat´erielle Objectifs
Organisation du cours
Contrˆ oles, TP, s´ eances
Un contrˆ ole facultatif (“B.E.”), d´ ebut d´ ecembre.
Deux TP en PC sur Femlab.
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Organisation du cours
Contrˆ oles, TP, s´ eances
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Organisation du cours
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Mat´erielle Objectifs
Organisation du cours
Contrˆ oles, TP, s´ eances
Un contrˆ ole facultatif (“B.E.”), d´ ebut d´ ecembre.
Deux TP en PC sur Femlab.
S´ eances de “soutien” : Jeudi 5/10, 11h 30.
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Objectifs du cours
Le cours pr´ esente les bases math´ ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.
C’est une introduction ` a la simulation ` a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl` eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´ elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod` eles de ph´ enom` enes r´ egis par des EDP.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Mat´erielle Objectifs
Objectifs du cours
Le cours pr´ esente les bases math´ ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.
C’est une introduction ` a la simulation ` a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl` eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´ elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod` eles de ph´ enom` enes r´ egis par des EDP.
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Objectifs du cours
Le cours pr´ esente les bases math´ ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.
C’est une introduction ` a la simulation ` a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl` eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´ elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod` eles de ph´ enom` enes r´ egis par des EDP.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Mat´erielle Objectifs
Objectifs du cours
Le cours pr´ esente les bases math´ ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.
C’est une introduction ` a la simulation ` a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl` eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´ elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod` eles de ph´ enom` enes r´ egis par des EDP.
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Analyse des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
1 Organisation Mat´ erielle Objectifs
2 Introduction aux EDP Probl` emes mod` eles Equations de l’´ ´ elasticit´ e
Equations des ´ ´ ecoulements de fluides
3 Analyse de quelques probl` emes
Probl` emes stationnaires
Probl` emes dynamiques
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Principales ´ equations de la physique math´ ematiques
La relativit´ e g´ en´ erale , → la m´ ecanique newtonienne EDO de la m´ ecanique des corps rigides.
L’´ equation de Schr¨ odinger et ses extensions.
Les ´ equations de Maxwell , → l’´ electrotechnique, EDO de l’´ electronique.
La thermodynamique.
Importance des EDP
Toutes les th´ eories de la physique math´ ematique se formalisent sous la forme d’un syst` eme d’EDP.
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Principales ´ equations de la physique math´ ematiques
La relativit´ e g´ en´ erale , → la m´ ecanique newtonienne EDO de la m´ ecanique des corps rigides.
L’´ equation de Schr¨ odinger et ses extensions.
Les ´ equations de Maxwell , → l’´ electrotechnique, EDO de l’´ electronique.
La thermodynamique.
Importance des EDP
Toutes les th´ eories de la physique math´ ematique se formalisent
sous la forme d’un syst` eme d’EDP.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Principales ´ equations de la physique math´ ematiques
La relativit´ e g´ en´ erale , → la m´ ecanique newtonienne EDO de la m´ ecanique des corps rigides.
L’´ equation de Schr¨ odinger et ses extensions.
Les ´ equations de Maxwell , → l’´ electrotechnique, EDO de l’´ electronique.
La thermodynamique.
Importance des EDP
Toutes les th´ eories de la physique math´ ematique se formalisent sous la forme d’un syst` eme d’EDP.
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Principales ´ equations de la physique math´ ematiques
La relativit´ e g´ en´ erale , → la m´ ecanique newtonienne EDO de la m´ ecanique des corps rigides.
L’´ equation de Schr¨ odinger et ses extensions.
Les ´ equations de Maxwell , → l’´ electrotechnique, EDO de l’´ electronique.
La thermodynamique.
Importance des EDP
Toutes les th´ eories de la physique math´ ematique se formalisent
sous la forme d’un syst` eme d’EDP.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Principales ´ equations de la physique math´ ematiques
La relativit´ e g´ en´ erale , → la m´ ecanique newtonienne EDO de la m´ ecanique des corps rigides.
L’´ equation de Schr¨ odinger et ses extensions.
Les ´ equations de Maxwell , → l’´ electrotechnique, EDO de l’´ electronique.
La thermodynamique.
Importance des EDP
Toutes les th´ eories de la physique math´ ematique se formalisent sous la forme d’un syst` eme d’EDP.
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Principales ´ equations des sciences de l’ing´ enieur
La m´ ecanique des milieux continus , → m´ ecanique des fluides.
La m´ ecanique du solide, calcul des structures.
La thermodynamique des moteurs et des r´ eactions chimiques.
L’´ electromagn´ etisme des turbines et transformateurs.
Certains mod` eles math´ ematiques de la finance.
Importance des EDP
La plupart des autres mod` eles sont des mod` eles simplifi´ es ou
limites.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Principales ´ equations des sciences de l’ing´ enieur
La m´ ecanique des milieux continus , → m´ ecanique des fluides.
La m´ ecanique du solide, calcul des structures.
La thermodynamique des moteurs et des r´ eactions chimiques.
L’´ electromagn´ etisme des turbines et transformateurs.
Certains mod` eles math´ ematiques de la finance.
Importance des EDP
La plupart des autres mod` eles sont des mod` eles simplifi´ es ou limites.
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Principales ´ equations des sciences de l’ing´ enieur
La m´ ecanique des milieux continus , → m´ ecanique des fluides.
La m´ ecanique du solide, calcul des structures.
La thermodynamique des moteurs et des r´ eactions chimiques.
L’´ electromagn´ etisme des turbines et transformateurs.
Certains mod` eles math´ ematiques de la finance.
Importance des EDP
La plupart des autres mod` eles sont des mod` eles simplifi´ es ou
limites.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Principales ´ equations des sciences de l’ing´ enieur
La m´ ecanique des milieux continus , → m´ ecanique des fluides.
La m´ ecanique du solide, calcul des structures.
La thermodynamique des moteurs et des r´ eactions chimiques.
L’´ electromagn´ etisme des turbines et transformateurs.
Certains mod` eles math´ ematiques de la finance.
Importance des EDP
La plupart des autres mod` eles sont des mod` eles simplifi´ es ou limites.
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Principales ´ equations des sciences de l’ing´ enieur
La m´ ecanique des milieux continus , → m´ ecanique des fluides.
La m´ ecanique du solide, calcul des structures.
La thermodynamique des moteurs et des r´ eactions chimiques.
L’´ electromagn´ etisme des turbines et transformateurs.
Certains mod` eles math´ ematiques de la finance.
Importance des EDP
La plupart des autres mod` eles sont des mod` eles simplifi´ es ou
limites.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Principales ´ equations des sciences de l’ing´ enieur
La m´ ecanique des milieux continus , → m´ ecanique des fluides.
La m´ ecanique du solide, calcul des structures.
La thermodynamique des moteurs et des r´ eactions chimiques.
L’´ electromagn´ etisme des turbines et transformateurs.
Certains mod` eles math´ ematiques de la finance.
Importance des EDP
La plupart des autres mod` eles sont des mod` eles simplifi´ es ou limites.
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Principes de la physique , → EDP
Lois de conservation ou d’´ equilibre : Ω ⊂ R n , Φ(x) ~ ∈ R n un champ de vecteurs.
Conservation ⇔ flux nul : Z
Γ
~ Φ.~ n ds = 0 ⇒ ∇ . Φ(x) = 0 ~ Lois empiriques (Ex. loi de Fourier ou de Fick) :
Φ = −k∇ c Loi de conservation + Loi empirique ⇒ EDP :
∇ . Φ = ∇ . (−k∇ c) = 0
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Probl` emes de statique
On cherche une fonction u ∈ C 2 (Ω) solution du probl` eme aux limites suivant :
Equation de Poisson
−k∆u(x) = f (x) si x ∈ Ω
u(x) = g si x ∈ Γ (1)
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Probl` emes de statique
On cherche une fonction u ∈ C 2 (Ω) solution du probl` eme aux limites suivant :
Cas particulier : ´ equation de Laplace
−k∆u(x ) = 0 si x ∈ Ω
u(x) = g si x ∈ Γ (2)
Une solution est une fonction harmonique
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Probl` emes de statique
On cherche une fonction u ∈ C 2 (Ω) solution du probl` eme aux limites suivant :
Cas particulier : limites homog` enes
u(x) = 0 si x ∈ Γ
−k∆u(x) = f si x ∈ Ω (3)
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Probl` emes de statique
On cherche une fonction u ∈ C 2 (Ω) solution du probl` eme aux limites suivant :
Variante : syst` eme du premier ordre
∂u
∂x = ∂v
∂y
∂v
∂y = − ∂u
∂x
(4)
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Equation de la diffusion
On cherche une fonction u(x , t) du point d’abscisse x, au temps t, u ∈ C 2 ([0, 1] × [0, T ]) solution du probl` eme
∂u
∂t = c ∂ 2 u
∂x 2 x ∈ [0, 1]
u(x, 0) = u 0 (x) u(0, t) = u(1, t) = 0
(5)
Ce probl` eme mod´ elise les ph´ enom` enes de diffusion unidimensionnel
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Equation de transport ou d’advection
On cherche une fonction u(x , t) du point d’abscisse x, au temps t, u ∈ C 1 ([0, 1] × [0, T ]) solution du probl` eme
∂u
∂t + a ∂u
∂x = 0 u (x, 0) = u 0 (x ) u (0, t) = g (t)
(6)
a est un r´ eel positif, u 0 et g sont des fonction C 1 quelconques,
mais compatible ` a l’origine : u 0 (0) = g (0).
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Equation des ondes
On cherche une fonction u(x , t) du point d’abscisse x, au temps t, u ∈ C 2 ([0, 1] × [0, T ]) solution du probl` eme
Edp du second ordre
∂ 2 u
∂t 2 = c 2 ∂ 2 u
∂x 2 u(x, 0) = u 0 (x)
∂u
∂t (x, 0) = 0 u(0, t) = u(1, t) = 0
(7)
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Equation des ondes
On cherche une fonction u(x , t) du point d’abscisse x, au temps t, u ∈ C 2 ([0, 1] × [0, T ]) solution du probl` eme
Syst` eme du premier ordre
∂u
∂t = c ∂v
∂x
∂v
∂t = c ∂u
∂x
u(x, 0) = u 0 (x ), v(x, 0) = v 0 (x) u(0, t) = v(1, t) = 0
(8)
1
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Equations de l’´ ´ elasticit´ e lin´ eaires petites d´ eformations
D´ eplacement u, d´ eformation (u ), contrainte σ. Champ de force f
−∇ . σ = f sur Ω
σ = D((u))
u = 0 sur Γ 0
σ n = σ~ n = 0 sur Γ 1
(9)
o` u i,j (u) = 1 2 ( ∂u ∂x
ij
+ ∂u ∂x
ji
)
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Extensions, r´ eduction, mod` eles limites
Extension : ´ Elasticit´ e en grande d´ eformation.
Extension : Mat´ eriaux h´ et´ erog` enes, anisotropes.
R´ eduction : mod` ele 2D, cylindrique.
Mod` eles limites : plaques, coques, poutres, barres, mat´ eriaux incompressibles.
Limites g´ eom´ etriques.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Extensions, r´ eduction, mod` eles limites
Extension : ´ Elasticit´ e en grande d´ eformation.
Extension : Mat´ eriaux h´ et´ erog` enes, anisotropes.
R´ eduction : mod` ele 2D, cylindrique.
Mod` eles limites : plaques, coques, poutres, barres, mat´ eriaux incompressibles.
Limites g´ eom´ etriques.
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Extensions, r´ eduction, mod` eles limites
Extension : ´ Elasticit´ e en grande d´ eformation.
Extension : Mat´ eriaux h´ et´ erog` enes, anisotropes.
R´ eduction : mod` ele 2D, cylindrique.
Mod` eles limites : plaques, coques, poutres, barres, mat´ eriaux incompressibles.
Limites g´ eom´ etriques.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Extensions, r´ eduction, mod` eles limites
Extension : ´ Elasticit´ e en grande d´ eformation.
Extension : Mat´ eriaux h´ et´ erog` enes, anisotropes.
R´ eduction : mod` ele 2D, cylindrique.
Mod` eles limites : plaques, coques, poutres, barres, mat´ eriaux incompressibles.
Limites g´ eom´ etriques.
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Extensions, r´ eduction, mod` eles limites
Extension : ´ Elasticit´ e en grande d´ eformation.
Extension : Mat´ eriaux h´ et´ erog` enes, anisotropes.
R´ eduction : mod` ele 2D, cylindrique.
Mod` eles limites : plaques, coques, poutres, barres, mat´ eriaux incompressibles.
Limites g´ eom´ etriques.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Equations de la dynamique des gaz ´
Vitesse u, masse volumique ρ, ´ energie interne , pression p.
∂ρ
∂t + ∇ . ρu = 0
ρ ∂u
∂t + ρ∇ hu, ui
2 + ∇ p = f
∂(ρe)
∂t + ∇ (ρe + p)u) = 0
u = u 0 sur Γ 0 u = u 1 sur Γ 1 u = 0 sur Γ 2
avec p = p(ρ, ) et e = + u 2 2
(10)
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Ecoulement des fluides incompressibles visqueux ´
´ Equations de Navier Stokes
ρ ∂u
∂t + ρ∇ hu, ui
2 − µ∆u + ∇ p = f
∇ . u = 0 u = u 0 sur Γ 0 u = u 1 sur Γ 1 u = 0 sur Γ 2
(11)
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes mod`eles
´Equations de l’´elasticit´e
´Equations des ´ecoulements de fluides
Equations de Stokes ´
Lin´ earisation de Navier Stokes aux petites vitesses.
ρ ∂u
∂t − µ∆u + ∇ p = f
∇ . u = 0 u = u 0 sur Γ 0 u = u 1 sur Γ 1
u = 0 sur Γ 2
(12)
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Equations des ondes sonores ´
Lin´ earisation des ´ equations de la dynamique des gaz.
∂ρ
∂t + ρ 0 ∂u
∂x = 0
∂u
∂t + c 2 ρ 0
∂ρ
∂x = 0
+Condinitiales + Condlimites.
(13)
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes stationnaires Probl`emes dynamiques
Analyse des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
1 Organisation Mat´ erielle Objectifs
2 Introduction aux EDP Probl` emes mod` eles Equations de l’´ ´ elasticit´ e
Equations des ´ ´ ecoulements de fluides
3 Analyse de quelques probl` emes Probl` emes stationnaires Probl` emes dynamiques
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Syst` emes d’´ equations lin´ eaires
Soit A est une matrice (n, n), b ∈ R n .
Ax = b (14)
Th´ eor` eme
Le syst` eme lin´ eaire admet une solution et une seule si le syst` eme homog` ene associ´ e admet pour seule solution x = 0, ce qui est
´ equivalent ` a det A 6= 0.
⇒ Si la matrice A a sa partie sym´ etrique qui est d´ efinie positive
alors le syst` eme lin´ eaire admet une solution et une seule
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes stationnaires Probl`emes dynamiques
Extension aux EDP
Soit V 0 = {v ∈ C 2 (Ω) / v| ∂Ω = 0.
Th´ eor` eme
L’op´ erateur lin´ eaire v → ∆v est sym´ etrique d´ efini positif sur V 0 pour le produit scalaire
hu, v i = Z
Ω
uv d Ω
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Syst` emes d’´ equations non lin´ eaires
Soit A(x) une application de R n → R n .
A(x) = b (15)
Si il existe une fonction “potentielle” F (x) / A(x) = ∇ F (x) A(x) = 0 ⇔ ∇ F (x) = 0
Th´ eor` eme
Si F(x) tend vers +∞ quand kxk tend vers l’infini alors F (x) admet au moins un minimum et le syst` eme A(x) = 0 admet donc au moins une solution.
Si F(x) est strictement convexe alors F (x) admet au plus un
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes stationnaires Probl`emes dynamiques
Syst` emes d’´ equations diff´ erentielles lin´ eaires
Soit A est une matrice (n, n).
x(t) ∈ R n
x 0 (t) = Ax (t)
x(0) = x 0 (16)
D´ efinition
Syst` eme conservatif ⇔ hx(t), x(t)i = Cte.
Syst` eme dissipatif ⇔ hx(t), x(t )i → 0.
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Syst` emes d’´ equations diff´ erentielles lin´ eaires
Th´ eor` eme
Soit un produit scalaire h., .i sur R n . Le syst` eme (16) est dissipatif si et seulement si la matrice A est d´ efinie n´ egative. Le syst` eme (16) est conservatif si et seulement si la matrice A est antisym´ etrique.
Extension aux EDP
L’´ equation de la diffusion est dissipative.
L’´ equation des ondes est conservative.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes stationnaires Probl`emes dynamiques
Vitesse de propagation
Equation de la diffusion
∂u
∂t = ∂ 2 u
∂x 2 (17)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (−ω 2 t) exp (iωx) Equation inverse de la diffusion
∂u
∂t = − ∂ 2 u
∂x 2 (18)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (ω 2 t) exp (i ωx)
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Vitesse de propagation
Equation de la diffusion
∂u
∂t = ∂ 2 u
∂x 2 (17)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (−ω 2 t) exp (iωx) Equation inverse de la diffusion
∂u
∂t = − ∂ 2 u
∂x 2 (18)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (ω 2 t) exp (i ωx)
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes stationnaires Probl`emes dynamiques
Vitesse de propagation
Equation d’advection
∂u
∂t = −a ∂u
∂x (19)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (−ai ωt + iωx) = exp i ω(x − at) Equation des ondes
∂ 2 u
∂t 2 = c 2 ∂ 2 u
∂x 2 (20)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp i ω(x ± ct)
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Vitesse de propagation
Equation d’advection
∂u
∂t = −a ∂u
∂x (19)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (−ai ωt + iωx) = exp i ω(x − at) Equation des ondes
∂ 2 u
∂t 2 = c 2 ∂ 2 u
∂x 2 (20)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp i ω(x ± ct)
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes stationnaires Probl`emes dynamiques
Vitesse de propagation
Equation elliptique
∂ 2 u
∂t 2 = −c 2 ∂ 2 u
∂x 2 (21)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (±c ωt) exp (i ωx) Equation d’ordre 3
∂u
∂t = c ∂ 3 u
∂x 3 (22)
Ondes planes :
u(x, t, ω) = exp (−icω 3 t + i ωx) = exp iω(x − c ω 2 t)
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Vitesse de propagation
Equation elliptique
∂ 2 u
∂t 2 = −c 2 ∂ 2 u
∂x 2 (21)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (±c ωt) exp (i ωx) Equation d’ordre 3
∂u
∂t = c ∂ 3 u
∂x 3 (22)
Ondes planes :
u(x, t, ω) = exp (−icω 3 t + i ωx) = exp iω(x − c ω 2 t)
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Probl`emes stationnaires Probl`emes dynamiques
Vitesse de propagation
Equation des ondes de flexion
∂ 2 u
∂t 2 = −c 2 ∂ 4 u
∂x 4 (23)
Ondes planes : u(x, t, ω) = exp (±ic ω 2 t + iωx) = exp i ω(x ± c ωt )
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Conclusion
Plusieurs approches :
1
Physique.
2
Math´ ematique.
3
Num´ erique.
Conclusion
1
Chaque approche a ses avantages.
2
Il faut savoir passer de l’une ` a l’autre.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Conclusion
Plusieurs approches :
1
Physique.
2
Math´ ematique.
3
Num´ erique.
Conclusion
1
Chaque approche a ses avantages.
2
Il faut savoir passer de l’une ` a l’autre.
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Conclusion
Plusieurs approches :
1
Physique.
2
Math´ ematique.
3
Num´ erique.
Conclusion
1
Chaque approche a ses avantages.
2
Il faut savoir passer de l’une ` a l’autre.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Conclusion
Plusieurs approches :
1
Physique.
2
Math´ ematique.
3
Num´ erique.
Conclusion
1
Chaque approche a ses avantages.
2
Il faut savoir passer de l’une ` a l’autre.
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
Conclusion
Plusieurs approches :
1
Physique.
2
Math´ ematique.
3
Num´ erique.
Conclusion
1
Chaque approche a ses avantages.
2
Il faut savoir passer de l’une ` a l’autre.
Organisation Introduction aux EDP Analyse de quelques probl`emes Conclusion
Conclusion
Plusieurs approches :
1
Physique.
2
Math´ ematique.
3
Num´ erique.
Conclusion
1
Chaque approche a ses avantages.
2
Il faut savoir passer de l’une ` a l’autre.
P. Laurent Math´ematiques 2 Analyse , S´eance 1 Analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles
