Terminale S - Enseignement obligatoire Probl` emes d’analyse
Fr´ ed´ eric Demoulin
1Derni`ere r´evision : 8 aoˆut 2005
1frederic.demoulin@voila.fr
Tableau r´ ecapitulatif des exercices
⋆indique que cette notion a ´et´e abord´ee dans l’exercice
F.R. : fonctions rationnelles ; E.D. : ´equations diff´erentielles ; S.F. : suites de fonctions ; S.N. : suites num´eriques
N˚ Lieu Ann´ee exp ln F.R. E.D. Int´egrales S.F. S.N. Trigo. Baryc.
1 Am´erique du Nord Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
2 Asie Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆
3 Centres ´etrangers Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
4 Inde Avril 2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
5 Nouvelle-Cal´edonie Mars 2004 ⋆ ⋆ ⋆
6 Am´erique du Sud Nov 2003 ⋆ ⋆ ⋆
7 Nouvelle-Cal´edonie Nov 2003 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
8 Antilles-Guyane Sept 2003 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
9 France Sept 2003 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
10 Polyn´esie Sept 2003 ⋆ ⋆ ⋆
11 Am´erique du Nord Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
12 Antilles-Guyane Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆
13 Asie Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆
14 Centres ´etrangers Juin 2003 ⋆
15 France Juin 2003 ⋆ ⋆
16 La R´eunion Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆
17 Liban Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆
18 Polyn´esie Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
19 Inde Avril 2003 ⋆ ⋆ ⋆
20 Nouvelle-Cal´edonie Mars 2003 ⋆ ⋆ ⋆
21 Am´erique du Sud Nov 2002 ⋆ ⋆ ⋆
22 Nouvelle-Cal´edonie Nov 2002 ⋆ ⋆ ⋆
23 Antilles-Guyane Sept 2002 ⋆ ⋆ ⋆
24 France Sept 2002 ⋆ ⋆ ⋆
25 Polyn´esie Sept 2002 ⋆ ⋆ ⋆
26 Am´erique du Nord Juin 2002 ⋆ ⋆ ⋆
27 Antilles-Guyane Juin 2002 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
28 Asie Juin 2002 ⋆ ⋆
29 Centres ´etrangers Juin 2002 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
30 France Juin 2002 ⋆ ⋆ ⋆
31 La R´eunion Juin 2002 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
32 Liban Juin 2002
33 Polyn´esie Juin 2002 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Exercice 1 Am´ erique du Nord, Juin 2004
Partie A
On donne un entier naturelnstrictement positif, et on consid`ere l’´equation diff´erentielle : (En) y′+y= xn
n! e−x.
1. On fait l’hypoth`ese que deux fonctionsgeth, d´efinies et d´erivables surR, v´erifient, pour toutxr´eel : g(x) =h(x)e−x.
(a) Montrer queg est solution de (En) si et seulement si, pour tout xr´eel : h′(x) =xn
n!.
(b) En d´eduire la fonctionhassoci´ee `a une solutiongde (En), sachant queh(0) = 0.
Quelle est alors la fonctiong? 2. Soitϕune fonction d´erivable surR.
(a) Montrer queϕest solution de (En) si et seulement siϕ−g est solution de l’´equation : (F) y′+y= 0.
(b) R´esoudre (F).
(c) D´eterminer la solution g´en´eraleϕde l’´equation (En).
(d) D´eterminer la solutionf de l’´equation (En) v´erifiantf(0) = 0.
Partie B Le but de cette partie est de montrer que :
n→lim+∞ n
X
k=0
1
k!= e (on rappelle que par convention 0! = 1).
1. On pose, pour tout xr´eel,
f0(x) = e−x, f1(x) =xe−x.
(a) V´erifier quef1 est solution de l’´equation diff´erentielle :y′+y=f0.
(b) Pour tout entier strictement positif n, on d´efinit la fonction fn comme la solution de l’´equation diff´erentielley′+y=fn−1 v´erifiantfn(0) = 0.
En utilisant la partieA, montrer par r´ecurrence que, pour toutxr´eel et tout entiern>1 : fn(x) = xn
n! e−x. 2. Pour tout entier natureln, on pose :
In =
Z 1 0
fn(x) dx. (on ne cherchera pas `a calculerIn)
(a) Montrer, pour tout entier naturelnet pour toutx´el´ement de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement : 06fn(x)6xn
n!. En d´eduire que 06In6 1
(n+ 1)!, puis d´eterminer la limite de la suite (In).
(b) Montrer, pour tout entier naturelknon nul, l’´egalit´e : Ik−Ik−1=−1
k!e−1. (c) CalculerI0et d´eduire de ce qui pr´ec`ede que :
In= 1−
n
X
k=0
e−1 k! . (d) En d´eduire finalement :
n→lim+∞ n
X
k=0
1 k!= e.
Exercice 2 Asie, Juin 2004
Partie A – ´Etude d’une fonction f On appellef la fonction d´efinie sur l’intervalleI=
−1 2; +∞
par : f(x) = ln(1 + 2x).
1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalleI.
2. D´eterminer la limite def(x) quandxtend vers−1 2.
3. On consid`ere la fonctiong d´efinie sur l’intervalleI parg(x) =f(x)−x.
(a) ´Etudier les variations deg sur l’intervalleI.
(b) Justifier que l’´equationg(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, not´eeβ, appartenant `a l’intervalle [1 ; 2].
(c) En d´eduire le signe deg(x), pourxappartenant `a l’intervalleI.
4. Justifier que pour tout r´eel xappartenant `a l’intervalle ]0 ;β[,f(x) appartient aussi `a ]0 ;β[.
Partie B – ´Etude d’une suite r´ecurrente On appelle (un)n>0 la suite d´efinie parun+1=f(un) etu0= 1.
1. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier natureln, un appartient `a ]0 ;β[.
2. D´emontrer par r´ecurrence que la suite (un)n>0 est croissante.
3. Justifier que la suite (un)n>0 est convergente.
Partie C – Recherche de la limite de la suite (un)n>0
1. Montrer que pour tout r´eelx>1,f′(x)62 3. 2. Recherche de la limite de la suite (un)>0
(a) D´emontrer que pour tout entier natureln,
Z β un
f′(t) dt62
3(β−un).
(b) En d´eduire que pour tout entier natureln, β−un+162
3(β−un), puis `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence que 06β−un 6
2 3
n
. (c) Quelle est la limite de la suite (un)n>0?
Exercice 3 Centres ´ etrangers, Juin 2004
On s’int´eresse `a des courbes servant de mod`ele `a la distribution de la masse salariale d’une entreprise. Les fonctionsf associ´ees d´efinies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent v´erifier les conditions suivantes :
(1)f(0) = 0 etf(1) = 1 ;
(2)f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1]
(3) Pour tout r´eelxappartenant `a l’intervalle [0 ; 1],f(x)6x.
Le plan est rapport´e au rep`ere orthonormalR= (O;−→ı ,−→), unit´e graphique 10 cm.
Partie A – ´Etude d’un mod`ele
On appellegla fonction d´efinie sur l’intervalle [0 ; 1] par : g(x) =xex−1. 1. Prouver quegv´erifie les conditions (1) et (2).
2. Montrer queg(x)−x= x
e(ex−e) et en d´eduire quegv´erifie la condition (3).
3. Tracer les droites d’´equationsy=xetx= 1 et la courbe repr´esentative deg dans le rep`ereR.
Partie B – Un calcul d’indice
Pour une fonctionf v´erifiant les conditions (1), (2), (3), on d´efinit un indice If ´egal `a l’aire exprim´ee en unit´e d’aire, du domaine plan d´elimit´e par les droites d’´equationsy =x,x= 1 et la courbe repr´esentative def.
1. Justifier que If =
Z 1 0
[x−f(x)] dx.
2. `A l’aide d’une int´egration par parties, calculer l’indiceIg associ´e `ag.
3. On s’int´eresse aux fonctionsfn d´efinies sur l’intervalle [0 ; 1] par : fn(x) = 2xn
1 +x
o`u nest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On admet que ces fonctions v´erifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’´etudier l’´evolution de leur indice In lorsquentend vers l’infini.
(a) On poseIn =
Z 1 0
[x−fn(x)] dxetun=
Z 1 0
fn(x) dx. Prouver queIn= 1 2−un. (b) Comparer tn+1
1 +tet tn
1 +tsur l’intervalle [0 ; 1] ; en d´eduire que la suite (un) est d´ecroissante.
(c) Prouver que pour tout r´eeltappartenant `a l’intervalle [0 ; 1] : 06 tn
1 +t6tn.
(d) En d´eduire que pour tout entier natureln>2, 06un6 2 n+ 1. (e) D´eterminer alors la limite deIn quandntend vers l’infini.
Exercice 4 Inde, Avril 2004
Partie A – ´Etude d’une fonction auxiliaire Soitϕla fonction d´efinie surRparϕ(x) = (x2+x+ 1)e−x−1.
1. (a) D´eterminer les limites de ϕen−∞et en +∞.
(b) ´Etudier le sens de variation deϕpuis dresser son tableau de variation surR.
2. D´emontrer que l’´equationϕ(x) = 0 admet deux solutions dansR, dont l’une dans l’intervalle [1 ; +∞[, qui sera not´eeα.
D´eterminer un encadrement d’amplitude 10−2 deα.
3. En d´eduire le signe deϕ(x) surRet le pr´esenter dans un tableau.
Partie B – ´Etude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire Sur le graphique ci-dessous sont trac´ees les courbes repr´esentatives de deux fonctionsf etg.
Les fonctionsf et gsont d´efinies surRpar :
f(x) = (2x+ 1)e−x et g(x) = 2x+ 1 x2+x+ 1.
Leurs courbes repr´esentatives dans un rep`ere orthogonal (O; −→ı ,−→) sont not´eesCf etCg.
1. D´emontrer que les deux courbes passent par le pointAde coordonn´ees (0 ; 1) et admettent en ce point la mˆeme tangente.
2. (a) D´emontrer que, pour tout nombre r´eelx:
f(x)−g(x) = (2x+ 1)ϕ(x) x2+x+ 1 o`uϕest la fonction ´etudi´ee dans la partieA.
(b) `A l’aide d’un tableau, ´etudier le signe def(x)−g(x) surR. (c) En d´eduire la position relative des courbesCf et Cg. 3. (a) Montrer que la fonctionhd´efinie surRpar :
h(x) = (−2x−3)e−x−ln
x2+x+ 1
est une primitive sur Rde la fonction x7→f(x)−g(x).
(b) En d´eduire l’aireA, exprim´ee en unit´es d’aire, de la partie du plan d´elimit´ee par les deux courbes Cf etCg et les droites d’´equations x=−1
2 etx= 0.
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie `a 10−4 de cette aire.
−1 0 1 2 3
−1
−0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Exercice 5 Nouvelle-Cal´ edonie, Mars 2004 (non relu)
Partie A
On consid`ere la fonctionf d´efinie surRpar :
f(x) = 1 + e−x−2e−2x
etC sa courbe repr´esentative dans un plan rapport´e `a un rep`ere orthogonal (O;−→ı ,−→), (unit´es graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonn´ees).
1. (a) Soit le polynˆome P d´efini surRparP(X) = 1 +X−2X2. Etudier le signe de´ P(X).
(b) En d´eduire le signe def(x) surR.
(c) Que peut-on en d´eduire pour la courbeC?
2. D´eterminer la limite de la fonctionf en +∞. Qu’en d´eduire pour la courbeC? 3. V´erifier que f(x) = e−2x
e2x+ ex−2
, puis d´eterminer la limite def en−∞. 4. (a) Soitf′ la fonction d´eriv´ee de la fonctionf, calculerf′(x).
(b) Montrer quef′(x) a le mˆeme signe que (4−ex), puis ´etudier le signe def′(x).
(c) Dresser le tableau de variation def. On montrera que le maximum est un nombre rationnel.
5. (a) D´emontrer que la courbeC et la droite D d’´equation y = 1 n’ont qu’un point d’intersection A dont on d´eterminera les coordonn´ees.
(b) ´Etudier la position de la courbeC par rapport `a la droiteD. 6. D´eterminer une ´equation de la tangente T `a la courbeC au pointA.
7. Tracer les droitesD etT, puis la courbeC.
Partie B – ´Etude d’une suite
1. Calculer l’aire, en unit´es d’aire, de la partie de plan limit´ee par la courbeC, l’axe des ordonn´ees et la droite D.
2. On consid`ere la suite (un) d´efinie surN∗ par : un =
Z n+ln 2 (n−1)+ln 2
[f(x)−1] dx (a) D´emontrer que la suite (un) est `a termes positifs.
(b) Donner une interpr´etation g´eom´etrique de (un).
3. (a) En utilisant le sens de variation def, montrer que, pour toutn>2 :
six∈[(n−1) + ln 2 ;n+ ln 2] alors f(n+ ln 2)−16f(x)−16f[(n−1) + ln 2]−1.
(b) En d´eduire que, pour toutn, n>2, on a :
f(n+ ln 2)−16un6f[(n−1) + ln 2]−1.
(c) D´emontrer que la suite (un) est d´ecroissante `a partir du rang 2.
(d) Montrer que la suite (un) est convergente.
4. Soit la suite (Sn) d´efinie pour n >0, par :
Sn =u1+u2+u3+. . .+un. (a) ´EcrireSn `a l’aide d’une int´egrale.
(b) Interpr´eter g´eom´etriquementSn.
(c) CalculerSn et d´eterminer la limite de la suite (Sn).
Exercice 6 Am´ erique du Sud, Novembre 2003
On consid`ere la fonctionf d´efinie surRpar :
f(x) = 1 ex+ e−x
et on d´esigne par Γ sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthogonal (O; −→ı ,−→).
Partie A
1. ´Etudier la parit´e def. Que peut-on en d´eduire pour la courbe Γ ? 2. D´emontrer que, pour tout r´eelxpositif ou nul, e−x6ex.
3. (a) D´eterminer la limite de f en +∞. (b) ´Etudier les variations def sur [0 ; +∞[.
4. On consid`ere les fonctionsg ethd´efinies sur [0 ; +∞[ parg(x) = 1
exet h(x) = 1 2ex.
Sur le graphique ci-dessous sont trac´ees, dans le rep`ere (O;−→ı ,−→), les courbes repr´esentatives de g et h, not´ees respectivement Γ1et Γ2.
(a) D´emontrer que, pour tout r´eelxpositif ou nul,h(x)6f(x)6g(x).
(b) Que peut-on en d´eduire pour les courbes Γ, Γ1 et Γ2?
Tracer Γ sur le graphique en pr´ecisant sa tangente au point d’abscisse 0.
0 1 2 3 4 5 6
−0,2
−0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
Partie B Soit (In) la suite d´efinie sur NparIn =
Z n+1 n
f(x) dx.
1. Justifier l’existence de In et donner une interpr´etation g´eom´etrique deIn. 2. (a) D´emontrer, que pour tout entier natureln, f(n+ 1)6In 6f(n).
(b) En d´eduire que la suite (In) est d´ecroissante.
(c) D´emontrer que la suite (In) est convergente et determiner sa limite.
Partie C Soit (Jn) la suite d´efinie surNparJn=
Z n 0
f(x) dx.
1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la questionA.4.(a), d´emontrer que, pour tout entier natureln: 1
2
1−e−n
6Jn 61−e−n61.
2. D´emontrer que la suite (Jn) est croissante.
En d´eduire qu’elle converge.
3. On noteℓ la limite de la suite (Jn) et on admet le th´eor`eme suivant :
« Si un, vn et wn sont trois suites convergentes de limites respectives a, b et c et si, `a partir d’un certain rang on a pour toutn,un6vn6wn, alorsa6b6c».
Donner un encadrement deℓ.
4. Soitula fonction d´efinie surRpar :
u(x) = 1 1 +x2. On notev la primitive de usurRtelle quev(1) = π
4.
On admet que la courbe repr´esentative de vadmet en +∞une asymptote d’´equation y=π 2. (a) D´emontrer que, pour tout r´eelx, f(x) = ex
(ex)2+ 1.
(b) D´emontrer que, pour tout r´eelx, f est la d´eriv´ee de la fonctionx7→v(ex).
(c) En d´eduire la valeur exacte deℓ.
Exercice 7 Nouvelle-Cal´ edonie, Novembre 2003
Les trois parties sont dans une large mesure ind´ependantes.
Pour tout entier natureln, on d´efinit surRla fonction num´eriquefn par : f0(x) = 1
1 +x2 et pournentier naturel non nul, fn(x) = xn 1 +x2.
On note Γn la courbe repr´esentative defndans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;−→ı ,−→), unit´e graphique : 4 cm.
On d´esigne parIn l’int´egrale In =
Z 1 0
fn(t) dt.
Partie A
1. (a) ´Etudier les limites def1en +∞et en−∞. Quelle est la cons´equence graphique de ces r´esultats ? (b) ´Etudier les variations def1.
(c) Tracer la courbe Γ1. (d) CalculerI1.
2. (a) ´Etudier les limites def3 en +∞et en−∞. (b) ´Etudier les variations def3.
(c) Tracer la courbe Γ3sur le mˆeme dessin qu’au1.(c).
3. CalculerI1+I3. En d´eduire la valeur deI3.
4. Calculer, en unit´es d’aire, l’aire du domaine limit´e par les courbes Γ1, Γ3 et les droites d’´equation x= 0 etx= 1.
Partie B
Pour cette partie, on dessinera la figure demand´ee dans un nouveau rep`ere orthonormal (O;−→ı ,−→), unit´e graphique : 4 cm.
1. (a) ´Etudier les limites def0 en +∞et en−∞. (b) ´Etudier les variations def0.
2. Soit (an) la suite d´efinie, pournentier naturel non nul, par : an=
Z n 0
1 1 +t2dt.
(a) Interpr´eter graphiquementan.
(b) Montrer que la suite (an) est croissante.
(c) Montrer que pour tout r´eelt: 1
1 +t261 et en d´eduire quea161.
(d) Montrer que pour tout r´eeltnon nul : 1 1 +t26 1
t2 et en d´eduire que pour tout entier natureln non nul,
Z n 1
1
1 +t2dt61−1 n.
(e) Montrer, en utilisant les questions pr´ec´edentes, que pour tout entier naturelnnon nul,an 62.
Que peut-on en d´eduire pour la convergence de la suite (an) ?
Partie C
SoitF la fonction telle que :
F(0) = 0, F d´erivable surRet F′(x) = 1 1 +x2. 1. On pose, pour tout xde
−π 2; π
2
, H(x) =F[tan(x)].
(a) CalculerH(0).
(b) Montrer queH est d´erivable sur
−π 2; π
2
et calculerH′(x).
(c) En d´eduire que, pour toutxde
−π 2; π
2
, H(x) =x.
(d) Montrer queF(1) = π 4.
2. On pose, pour tout xr´eel positif ou nul,k(x) =F
1 x+ 1
+F
x x+ 2
. (a) Montrer que la fonctionk est d´erivable surR+ et d´eterminerk′(x).
(b) En d´eduire la valeur deF
1 2
+F
1 3
.
Exercice 8 Antilles-Guyane, Septembre 2003
Partie A – ´Etude pr´eliminaire d’une fonctionϕd´efinie surR parϕ(x) = (2−x)ex−1 1. D´eterminer les limites de la fonctionϕen−∞et +∞.
2. Montrer que la fonction ϕest continue et d´erivable surRet ´etudier le signe de sa d´eriv´ee.
En d´eduire les variations de la fonctionϕet pr´eciser les valeurs deϕ(−2), ϕ(0), ϕ(1) etϕ(2).
3. Prouver que la fonctionϕs’annule uniquement en deux valeurs que l’on nommeraαetβ. On prendra α < β. ´Etudier alors le signe de la fonctionϕsur l’ensemble des r´eels et r´ecapituler cette ´etude dans un tableau.
4. `A l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10−2des valeursαetβ. 5. Montrer que eα= 1
2−α.
Partie B – ´Etude d’une fonctionf d´efinie parf(x) = ex−1
ex−xet calcul int´egral 1. Montrer que ex−xne s’annule pas surR. En d´eduire quef est d´efinie surR.
2. D´eterminer les limites de la fonctionf en−∞et +∞.
3. Calculer la d´eriv´eef′ de la fonctionf puis, `a l’aide des r´esultats de la partieA, construire le tableau des variations de f.
4. Montrer quef(α) = 1
α−1, le nombreα´etant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la fonction ϕde lapartie As’annule.
5. D´eterminer une primitive de la fonction f surR. Donner une valeur exacte puis une valeur d´ecimale approch´ee `a 0,01 pr`es de l’int´egrale :
Z 1 0
ex−1 ex−xdx.
Partie C – ´Etude de deux suites
1. Pr´eciser l’ensemble de d´efinitionDg de la fonctiong d´efinie sur cet ensemble parg(x) = ln
1 2−x
o`u ln d´esigne la fonction logarithme n´ep´erien.
Prouver que la fonctiongest croissante sur son ensemble de d´efinition et que l’image pargde l’intervalle I= [−2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.
2. (a) Soit la suite (un) d´efinie pour tout entier naturelnpar :
§
u0 = −2 un+1 = g(un) .
Montrer que u1 appartient `a l’intervalleI = [−2 ; 0]. Prouver par r´ecurrence, `a l’aide des varia- tions de la fonctiong, que la suite (un) a tous ses termes dans l’intervalleI et est croissante.
(b) On consid`ere la suite (vn) d´efinie pour tout entier naturelnpar :
§
v0 = 0 vn+1 = g(vn) . Calculer le termev1 et montrer que−26u16v16v060.
Etablir par r´ecurrence, `´ a l’aide de la croissance de la fonctiong sur l’intervalle [−2 ; 0], que pour tout entier naturelnstrictement positif, on a :
−26un6vn6vn−160.
Pr´eciser le sens de variation de la suite (vn).
3. (a) Soitmla fonction d´efinie sur [0 ; +∞[ parm(x) =x−ln(1 +x).
Montrer quemest croissante et calculerm(0). En d´eduire que, pour tout xpositif, on a : ln(1 +x)6x.
(b) V´erifier que, pour tout entiern, vn+1−un+1= ln
1 + vn−un
2−vn
. En d´eduire que vn+1−un+16 vn−un
2−vn .
Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite (vn) appartiennent `a l’intervalle [−2 ; 0], donner un encadrement de 1
2−vn
et ´etablir que : vn+1−un+16 1
2(vn−un). Prouver alors que, pour tout entier natureln:
vn−un6 1
2n(v0−u0).
Que peut-on en d´eduire pour la suite de terme g´en´eralvn−un et pour les suites (un) et (vn) ? 4. Donner, `a l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10−4 deu10et v10.
Exercice 9 France, Septembre 2003
Partie A – Une ´equation diff´erentielle
On consid`ere l’´equation diff´erentielle :
(E) y′−3y = −3e (1 + e−3x)2.
On donne une fonctionϕd´erivable surRet la fonctionf d´efinie surRparf(x) = e−3xϕ(x).
1. Montrer quef est d´erivable surRet pour tout r´eelx, exprimerϕ′(x)−3ϕ(x) en fonction de f′(x).
2. D´eterminerf de sorte queϕsoit solution de (E) surRet v´erifieϕ(0) = e 2.
Partie B – ´Etude d’une fonction
Soit la fonctionf d´efinie surRpar :
f(x) = e1−3x 1 + e−3x.
On d´esigne parC sa courbe repr´esentative dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal d’unit´e graphique 2 cm.
1. D´eterminer les limites de f en−∞et en +∞, puis ´etudier les variations def. 2. TracerC.
3. Pour αr´eel non nul, on poseIα=
Z α 0
f(x) dx.
(a) Donner le signe et une interpr´etation graphique deIαen fonction deα.
(b) ExprimerIα en fonction deα.
(c) D´eterminer la limite deIα lorsqueαtend vers +∞.
Partie C – ´Etude d’une suite
On d´efinit surN∗ la suite (un) par : un=
Z 1 0
f(x)exndx, o`ufest la fonction d´efinie dans la partieB.
On ne cherchera pas `a calculerun.
1. (a) Donner, pour toutndeN∗, le signe de un. (b) Donner le sens de variation de la suite (un).
(c) La suite (un) est-elle convergente ? 2. (a) Montrer que pour toutndeN∗ :
I16un 6e1nI1
o`uI1est l’int´egrale de la partieB obtenue pourα´egal `a 1.
(b) En d´eduire la limite de la suite (un).
Donner sa valeur exacte.
Exercice 10 Polyn´ esie, Septembre 2003
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
8
<
:
f(0) = 1 f(x) = 1
2x2(3−2 lnx) + 1 si x >0 . On noteC la courbe repr´esentative def dans un rep`ere orthonormal (O; −→ı ,−→).
Partie A 1. (a) Calculer lim
x→0f(x). Que peut-on en d´eduire pour la fonctionf? (b) D´eterminer la limite def en +∞.
2. (a) ´Etudier la d´erivabilit´e def en 0.
(b) Montrer quef est d´erivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et calculerf′(x) pourx >0,f′ d´esignant la fonction d´eriv´ee def.
3. ´Etudier le sens de variation def sur [0 ; +∞[, puis dresser son tableau de variation.
4. Montrer que l’´equation f(x) = 0 poss`ede une solution uniqueαsur l’intervalle [0 ; +∞[. D´eterminer une valeur approch´ee d´ecimale de α`a 10−2 pr`es.
Partie B
1. Calculer une ´equation de la tangenteD `a la courbeC au point d’abscissex= 1.
2. On consid`ere la fonctiong :x7→f(x)−2x−1
2 d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
(a) Calculerg′(x), puisg′′(x) o`ug′ etg′′d´esignent respectivement les fonctions d´eriv´ees premi`ere et seconde deg. ´Etudier le sens de variation deg′. En d´eduire le signe deg′(x) sur ]0 ; +∞[.
(b) ´Etudier le sens de variation deg.
En d´eduire la position de la courbeC par rapport `a la tangenteD. 3. Construire la courbeC et la tangenteD (unit´e graphique : 2 cm).
Partie C 1. nest un entier naturel non nul.
Exprimer en fonction denle r´eelIn=
Z 1
1 n
x2lnxdx(on pourra utiliser une int´egration par parties).
2. En d´eduire en fonction de l’entiern, l’aireAnexprim´ee en cm2du domaine plan d´elimit´e par la courbe C, la tangenteDet les deux droites d’´equationx= 1
net x= 1.
3. Calculer lim
n→+∞An et interpr´eter le r´esultat obtenu.
Exercice 11 Am´ erique du Nord, Juin 2003
Partie A – ´Etude d’une fonctionf et construction de sa courbe On consid`ere la fonctionf d´efinie surRparf(x) = e−xln (1 + ex).
On note C sa courbe repr´esentative dans le plan rapport´e au rep`ere orthogonal (O;−→ı ,−→). L’unit´e gra- phique est 1 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonn´ees.
1. (a) On rappelle que lim
h→0
ln(1 +h)
h = 1. D´eterminer la limite def en−∞. (b) V´erifier que pour tout r´eelx,f(x) = x
ex+ e−xln
1 + e−x
. D´eterminer la limite de f en +∞.
(c) En d´eduire que la courbeC admet deux asymptotes que l’on pr´ecisera.
2. On consid`ere la fonctiong d´efinie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par : g(t) = t
1 +t−ln(1 +t).
(a) D´emontrer que la fonctiong est strictement d´ecroissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
(b) En d´eduire le signe deg(t) lorsquet >0.
3. (a) Calculerf′(x) et l’exprimer en fonction deg(ex),f′ d´esignant la fonction d´eriv´ee def. (b) En d´eduire le sens de variation de la fonctionf puis dresser son tableau de variation.
4. Tracer les asymptotes `a la courbeC et la courbeC.
Partie B – Comportements asymptotiques d’une primitiveF def surR SoitF la fonction d´efinie surRparF(x) =
Z x 0
f(t) dt.
1. ´Etudier le sens de variation de la fonction F.
2. (a) V´erifier que, pour tout nombre r´eelt, 1
1 + et= 1− et
1 + etet calculer
Z x 0
dt 1 + et. (b) En d´eduire, `a l’aide d’une int´egration par parties, le calcul deF(x).
(c) V´erifier queF(x) peut s’´ecrire sous les formes suivantes :
(1) F(x) =x−ln(1 + ex)−f(x) + 2 ln 2.
(2) F(x) = ln
ex 1 + ex
−f(x) + 2 ln 2.
3. D´eterminer lim
x→+∞F(x).
4. D´eterminer lim
x→−∞[F(x)−x]. Donner une interpr´etation graphique de ce r´esultat.
Partie C – ´Etude d’une suite
Soit (un) la suite d´efinie sur N∗ par :
un=f(1) +f(2) +. . .+f(n) =
n
X
k=1
e−kln(1 + ek).
1. Hachurer sur la repr´esentation graphique un domaine dont l’aire, en unit´es d’aire, estu4. 2. D´eterminer le sens de variation de la suite (un).
3. (a) Justifier que, pour tout entierktel que 16k6n, on a : f(k)6
Z k k−1
f(t) dt.
(b) Comparerun etF(n).
4. La suite (un) est-elle convergente ?
Exercice 12 Antilles-Guyane, Juin 2003
Partie A On se propose de r´esoudre surRl’´equation diff´erentielle :
(E) : y′−2y= 2
e2x−1
.
1. Montrer que la fonctionhd´efinie surRparh(x) = 2xe2x+ 1 est solution de l’´equation diff´erentielle (E).
2. On pose y =z+h. Montrer quey est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’´equation diff´erentiellez′−2z= 0. R´esoudre cette derni`ere ´equation diff´erentielle et en d´eduire les solutions de (E).
3. D´emontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appel´eeg et ´etudi´ee dans la partieB.
Partie B On consid`ere la fonctiong d´efinie surRpar :
g(x) = (2x−1)e2x+ 1.
1. D´eterminer le sens de variation deg. Pr´esenter son tableau de variation. En d´eduire le signe de gsur R.
2. (a) R´esoudre dansRl’in´equation : 1−g(x)>0.
(b) Calculer l’int´egraleI =
Z 1 2
0
[1−g(x)] dx.
(c) Interpr´eter graphiquement les r´esultats des questions(a)et(b).
Partie C
On consid`ere la fonction num´eriquef d´efinie pourxr´eel non nul par : f(x) =e2x−1
x .
1. Calculer les limites def en−∞, en 0 et en +∞.
2. En d´eduire que la courbe repr´esentative de f admet une asymptote que l’on pr´ecisera.
3. D´eterminer le sens de variation defet donner son tableau de variation (on pourra utiliser la partieB).
4. SoitC la courbe repr´esentative def dans le rep`ere orthogonal (O; −→ı ,−→), avec pour unit´es 4 cm sur (O; −→ı) et 2 cm sur (O; −→).
Apr`es avoir recopi´e et compl´et´e le tableau ci-dessous avec des valeurs approch´ees arrondies `a 10−2 pr`es, construire la courbeC pour des valeurs dexcomprises entre−2 et 1.
x −2 −1,5 −1 −0,5 −0,2 −0,1 −0,05 0,05 0,1 0,2 0,5 1 f(x)
5. Soitf1 la fonction d´efinie par :
§
f1(x) =f(x), x6= 0
f1(0) = 2 .
Cette fonction est d´efinie et continue surR. En supposant quef1est d´erivable en 0, expliquer comment on peut d´eterminer graphiquement une valeur approch´ee du nombre d´eriv´ef1′(0) ; faire cette lecture graphique. Quel r´esultat de limite cela permet-il de conjecturer ?
Partie D
On se propose de trouver un encadrement de l’int´egrale : J =
Z −1
−2
e2x−1 x dx.
Montrer que pour toutxde [−2 ;−1] on a :
−0,86
x 6 e2x−1
x 6−0,99 x . En d´eduire un encadrement deJ d’amplitude 0,1.
Exercice 13 Asie, Juin 2003
Le planP est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;−→ı ,−→).
Partie A
Soitf la fonction d´efinie sur ]0 ; +∞[ par :
f(x) = 1 + 2 lnx x2 .
SoitC la courbe repr´esentative def et soitC′ celle de la fonction hd´efinie sur ]0 ; +∞[ parh(x) = 1 x. 1. D´eterminer les limites def en 0 et en +∞. En d´eduire queC a deux asymptotes que l’on d´eterminera.
2. Calculer la d´eriv´eef′ def et ´etudier les variations def.
3. SoitI le point d’intersection deC avec l’axe des abscisses. D´eterminer les coordonn´ees de I.
4. Pour toutxde ]0 ; +∞[, on poseg(x) = 1−x+ 2 lnx.
(a) ´Etudier les variations de la fonctiong.
(b) Montrer que l’´equationg(x) = 0 admet une solution unique dans chacun des intervalles ]0 ; 2[ et ]2 ; 4[. Soitαla solution appartenant `a ]2 ; 4[. Donner un encadrement deαd’amplitude 10−2.
5. (a) Montrer quef(x)−1
x= g(x)
x2 et en d´eduire que C etC′ se coupent en deux points.
(b) Montrer que, pour tout r´eelxsup´erieur ou ´egal `a 4, la double in´egalit´e suivante est vraie : 0< f(x)6 1
x. 6. TracerC etC′.
Partie B 1. SoitDla partie du plan d´efinie par les in´egalit´es suivantes :
§
16x6α (αest le r´eel d´efini dans la partieA)
06y6f(x) .
(a) D´eterminer l’aire deD, not´eeA(α), en unit´es d’aire (on utilisera une int´egration par parties).
(b) Montrer queA(α) = 2− 2
αet donner une valeur approch´ee de A(α) `a 10−2pr`es.
2. Soit la suite (In) d´efinie pournsup´erieur ou ´egal `a 1 par : In=
Z n+1 n
f(x) dx.
(a) Montrer que, pour toutnsup´erieur ou ´egal `a 4, la double in´egalit´e suivante est vraie : 06In6ln
n+ 1 n
. (b) En d´eduire que la suite (In) converge et d´eterminer sa limite.
(c) SoitSn=I1+I2+I3+. . .+In. CalculerSn, puis la limite de la suite (Sn).
Partie C
On consid`ere, pour toutnsup´erieur ou ´egal `a 1, la fonctionfn d´efinie sur ]0 ; +∞[ par : fn(x) = 1 + 2 lnx
x2n . 1. Calculer la d´eriv´eefn′ de la fonctionfn.
2. R´esoudre l’´equation fn′(x) = 0. Soitxn la solution de cette ´equation.
3. D´eterminer la limite de la suite (xn).
Exercice 14 Centres ´ etrangers, Juin 2003
On appellef la fonction d´efinie sur l’intervalleI=]−2 ; +∞[ par : f(x) = 1 +xln(x+ 2).
On noteCf la courbe repr´esentative def dans le rep`ere orthonormal (O;−→ı ,−→) (unit´e graphique 4 cm).
Partie A – ´Etude de la fonctionf
1. ´Etude des variations de la d´eriv´eef′.
(a) f′ d´esigne la fonction d´eriv´ee premi`ere def etf′′la fonction d´eriv´ee seconde. Calculerf′(x) puis f′′(x) pourxappartenant `a l’intervalle ]−2 ; +∞[.
(b) ´Etudier les variations def′ sur l’intervalle ]−2 ; +∞[.
(c) D´eterminer les limites def′ en−2 et en +∞. 2. ´Etude du signe def′(x)
(a) Montrer que sur l’intervalle ]−2 ; +∞[ l’´equationf′(x) = 0 admet une solution uniqueαappar- tenant `a l’intervalle [−0,6 ; −0,5].
(b) En d´eduire le signe def′(x) selon les valeurs dex.
3. ´Etude des variations de f
(a) ´Etudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle ]−2 ; +∞[.
(b) D´eterminer les limites def en−2 et en +∞. (c) Dresser le tableau de variation def.
Partie B – Position de la courbe Cf par rapport `a ses tangentes
Soitx0 un r´eel appartenant `a l’intervalle ]−2 ; +∞[ , on appelleTx0 la tangente `a Cf au point d’abscisse x0.
On note, pourxappartenant `a l’intervalle ]−2 ; +∞[ :
d(x) =f(x)−[f′(x0)(x−x0) +f(x0)]. 1. ´Etude des variations de d
(a) V´erifier que, pour toutxappartenant `a l’intervalle ]−2 ; +∞[ : d′(x) =f′(x)−f′(x0).
(b) En utilisant la croissance de la fonctionf′, donner le signe ded′(x) selon les valeurs dex. En d´eduire les variations dedsur l’intervalle ]−2 ; +∞[.
2. D´eterminer la position relative deCf et deTx0.
Partie C – Trac´es dans le rep`ere O; −→ ı , −→
1. D´eterminer une ´equation de la droiteT0, tangente `a Cf au point d’abscisse 0 ; tracer T0.
2. Trouver les r´eels x0 pour lesquels les tangentes Tx0 passent par l’origine du rep`ere puis tracer ces droites.
3. Tracer la courbeCf pour les valeurs dexcomprises entre−1 et 2. On prendra pourαla valeur−0,54 et pourf(α) la valeur 0,8.
Exercice 15 France, Juin 2003
Soit N0 le nombre de bact´eries introduites dans un milieu de culture `a l’instant t = 0 (N0 ´etant un r´eel strictement positif, exprim´e en millions d’individus).
Ce probl`eme a pour objet l’´etude de deux mod`eles d’´evolution de cette population de bact´eries : – un premier mod`ele pour les instants qui suivent l’ensemencement (partie A) ;
– un second mod`ele pouvant s’appliquer sur une longue p´eriode (partie B).
Partie A
Dans les instants qui suivent l’ensemencement du milieu de culture, on consid`ere que la vitesse d’accroisse- ment des bact´eries est proportionnelle au nombre de bact´eries en pr´esence.
Dans ce premier mod`ele, on notef(t) le nombre de bact´eries `a l’instantt(exprim´e en millions d’individus).
La fonction f est donc solution de l’´equation diff´erentielle : y′ = ay (o`u a est un r´eel strictement positif d´ependant des conditions exp´erimentales).
1. R´esoudre cette ´equation diff´erentielle, sachant quef(0) =N0. 2. On noteT le temps de doublement de la population bact´erienne.
D´emontrer que, pour tout r´eeltpositif :f(t) =N02Tt.
Partie B
Le milieu ´etant limit´e (en volume, en ´el´ements nutritifs...), le nombre de bact´eries ne peut pas croˆıtre ind´efiniment de fa¸con exponentielle. Le mod`ele pr´ec´edent ne peut donc s’appliquer sur une longue p´eriode.
Pour tenir compte de ces observations, on repr´esente l’´evolution de la population de bact´eries de la fa¸con suivante :
Soitg(t) le nombre de bact´eries `a l’instantt(exprim´e en millions d’individus) ; la fonctiongest une fonction strictement positive et d´erivable sur [0 ; +∞[ qui v´erifie pour touttde [0 ; +∞[ la relation :
(E) g(t) =ag(t)
1−g(t) M
.
o`uM est une constante strictement positive d´ependant des conditions exp´erimentales etale r´eel d´efini dans la partieA.
1. (a) D´emontrer que sigest une fonction strictement positive v´erifiant la relation (E), alors la fonction 1
g est solution de l’´equation diff´erentielle :
(E′) y′+ay= a M . (b) R´esoudre (E′).
(c) D´emontrer que sihest une solution strictement positive de (E′), alors 1
hv´erifie (E).
2. On suppose d´esormais que, pour tout r´eel positift,g(t) = M
1 +Ce−at o`uCest une constante stricte- ment sup´erieure `a 1 d´ependant des conditions exp´erimentales.
(a) D´eterminer la limite degen +∞et d´emontrer, pour tout r´eeltpositif ou nul, la double in´egalit´e : 0< g(t)< M.
(b) ´Etudier le sens de variation deg (on pourra utiliser la relation (E)).
D´emontrer qu’il existe un r´eel uniquet0 positif tel queg(t0) =M 2 . (c) D´emontrer queg′′ =a
1−2g M
g′. ´Etudier le signe de g′′. En d´eduire que la vitesse d’accrois- sement du nombre de bact´eries est d´ecroissante `a partir de l’instantt0 d´efini ci-dessus.
Exprimert0 en fonction deaetC.
(d) Sachant que le nombre de bact´eries `a l’instantt est g(t), calculer le nombre moyen de bact´eries entre les instants 0 et t0, en fonction deM et C.
Partie C
1. Le tableau pr´esent´e ci-dessous a permis d’´etablir que la courbe repr´esentative de f passait par les points de coordonn´ees respectives (0 ; 1) et (0,5 ; 2). En d´eduire les valeurs deN0,T eta.
t(en h) 0 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 Nombre de bact´eries
1,0 2,0 3,9 7,9 14,5 37,9 70,4 90,1 98 (en millions)
2. Sachant queg(0) =N0et queM = 100N0, d´emontrer, pour tout r´eeltpositif ou nul, l’´egalit´e suivante : g(t) = 100
1 + 99×4−t.
3. Tracer, sur la figure ci-dessous, la courbe Γ repr´esentative deg, l’asymptote `a Γ ainsi que le point de Γ d’abscisset0.
4. Dans quelles conditions le premier mod`ele vous semble-t-il adapt´e aux observations faites ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 20 40 60 80 100
+ + + +
+
+
+
+
+
t y
y=f(t)
Exercice 16 La R´ eunion, Juin 2003
On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) : y −y′ = ex
x2 et on cherche l’ensemble des solutions de cette
´equation d´efinies sur ]0 ; +∞[.
1. (a) D´emontrer que la fonctionud´efinie sur ]0 ; +∞[ paru(x) = ex
x est solution de (E).
(b) D´emontrer qu’une fonctionvd´efinie sur ]0 ; +∞[ est solution de (E) si et seulement si la fonction v−u, d´efinie sur ]0 ; +∞[, est solution de l’´equation diff´erentielley−y′= 0.
(c) En d´eduire toutes les solutions d´efinies sur ]0 ; +∞[ de l’´equation (E).
2. Pour tout r´eelkn´egatif ou nul, on consid`ere la fonction fk d´efinie sur ]0 ; +∞[ par : fk(x) = kx+ 1
x ex. (a) D´eterminer les limites defk en 0 et en +∞.
(b) Calculerfk′(x) pour tout r´eel xde l’intervalle ]0 ; +∞[ et d´eterminer le nombre de solutions sur ]0 ; +∞[ de l’´equationfk′(x) = 0.
3. On noteCk la courbe repr´esentative de la fonctionfk dans un rep`ere orthonormaI (O;−→ı ,−→).
On a trac´e sur le graphique ci-joint les courbes C−1, C−0,25, C−0,15 etC0.
En utilisant la deuxi`eme question, reconnaˆıtre chaque courbe (les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees).
4. Pour tout r´eelastrictement positif, on poseA(a) =
Z a+1 a
ex xdx.
(a) Interpr´eter g´eom´etriquementA(a).
(b) On d´esigne parF une primitive de la fonctionx7→ex
x sur ]0 ; +∞[.
En remarquant queA(a) =F(a+ 1)−F(a) ´etudier le sens de variation de la fonction qui `a tout r´eela´el´ement de ]0 ; +∞[ associe le r´eelA(a).
(c) On veut d´ecouper dans le plan une bande verticale de largeur une unit´e de telle sorte que l’aire situ´ee dans cette bande entre les courbesC0 et (Ox) soit minimale. Comment doit-on proc´eder ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−15
−10
−5 0 5 10 15 20 25 30
(3) (4)
(2) (1)
Exercice 17 Liban, Juin 2003
Partie A – ´Etude d’une fonction auxiliaireg La fonctiong est d´efinie surRparg(x) = 2ex−2x−7.
1. ´Etudier les limites deg en−∞et en +∞.
2. ´Etudier le sens de variation de la fonction gsurRet dresser son tableau de variation.
3. Justifier que l’´equationg(x) = 0 admet dansRune solution unique αtelle que : 0,94< α <0,941.
4. ´Etudier le signe de gsurR.
Partie B – ´Etude d’une fonctionf La fonctionf est d´efinie surRparf(x) = (2x−5)
1−e−x
.
On noteC la courbe repr´esentative de la fonctionf dans un rep`ere orthonormal (O;−→ı ,−→).
1. ´Etudier le signe de f surR.
2. ´Etudier les limites def en−∞et +∞.
3. Calculerf′(x), o`uf′ d´esigne la fonction d´eriv´ee def et v´erifier quef′(x) etg(x) ont le mˆeme signe.
Dresser le tableau de variation de f. 4. (a) D´emontrer l’´egalit´e :f(α) = (2α−5)2
2α−7 .
(b) ´Etudier le sens de variation de la fonctionh:x7→ (2x−5)2
2x−7 sur l’intervalle
−∞; 5 2
.
En d´eduire, `a partir de l’encadrement deαobtenu dans la partieA, un encadrement d’amplitude 10−2def(α).
5. D´emontrer que la droiteD, d’´equationy= 2x−5, est asymptote `aC en +∞. Pr´eciser la position deC par rapport `aD.
6. Tracer la droiteD et la courbeC dans le rep`ere (O;−→ı ,−→) (unit´e graphique 2 cm).
Partie C – Calcul d’aire
A l’aide d’une int´egration par parties, calculer en cm` 2l’aireAde la portion de plan d´elimit´ee par la courbe C, l’axe des abscisses, l’axe des ordonn´ees et la droite d’´equation x=5
2.
Partie D – ´Etude d’une suite de rapports de distances
Pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 3, on consid`ere les pointsAn,Bn et Cn d’abscissen, appar- tenant respectivement `a l’axe des abscisses, `a la droiteD et `a la courbeC; soit un le r´eel d´efini par :
un= CnBn
AnBn
.
1. D´emontrer que pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 3, on a : un= 2n−5−f(n)
2n−5 . 2. (a) Quelle est la nature de la suite (un) ?
(b) Calculer la limite de la suite (un). Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat ?
Exercice 18 Polyn´ esie, Juin 2003
Partie A
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur Rparf(x) = excosx. On appelle Cf la repr´esentation graphique de f dans un rep`ere orthogonal.
1. Montrer que pour tout r´eelx,−ex6f(x)6ex.
En d´eduire que Cf admet une asymptote au voisinage de−∞. Quelle est cette asymptote ? 2. D´eterminer les abscisses des points d’intersection deCf avec l’axe des abscisses.
3. On ´etudief sur l’intervalle
−π 2; π
2
. D´emontrer que pour tout r´eelx∈
−π 2; π
2
on a : cosx−sinx=√
2 cos
x+π 4
.
4. Calculer f′(x), o`u f′ d´esigne la fonction d´eriv´ee def. Montrer que f est croissante sur
−π 2; π
4
et d´ecroissante sur
π 4; π
2
. Dresser le tableau de variation def sur
−π 2; π
2
. Indiquer les valeurs prises parf en−π
2, π 4 et π
2. 5. TracerCf sur l’intervalle
−π 2; π
2
sur le graphique ci-dessous.
0 π
4
π 2
3π 4
−π π
−π 4
−3π 2 4
−π
−3
−2
−1 0 1 2 3
6. D´emontrer que, sur l’intervalle
0 ; π 2
, l’´equationf(x) = 1
2admet une solution unique α. Trouver, `a l’aide de la calculatrice, la valeur approch´ee d´ecimale deαarrondie au centi`eme.
7. On notef′′ la fonction d´eriv´ee seconde def. Montrer quef′′(x) =−2exsinx.
En d´eduire que, sur l’intervalle
−π 2; π
2
, le coefficient directeur de la tangente `aCfau point d’abscisse xatteint, pourx= 0, une valeur maximale que l’on pr´ecisera.
Trouver l’´equation de la tangenteT `aCf en 0 et tracerT sur le graphique de la question5.
Partie B Pour tout entier natureln, on poseIn=
Z π 0
excos(nx) dx.
1. Montrer que, pour tout entier natureln, cos(nπ) = (−1)n et que sin(nπ) = 0.
2. `A l’aide de deux int´egrations par parties, montrer que : In =(−1)neπ−1
1 +n2 . 3. Montrer que, pour tout entier natureln,|In|6 eπ+ 1
1 +n2 . En d´eduire lim
n→+∞In. Partie C
On consid`ere les ´equations diff´erentielles :
(E) y′−2y−1 = 0 (E′) y′−2y= 1−exsinx o`u y est une fonction d´efinie et d´erivable surR.
Dire, en le justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses : 1. (E) admet une fonction polynˆome du premier degr´e comme solution.
2. Soitg une fonction positive d´efinie surR; sig est solution de (E) alors elle est croissante surR. 3. La fonctionx7→3e2x+1
2 est une solution de (E).
4. La primitiveF def qui s’annule en 0 est une solution de (E′).
Exercice 19 Inde, Avril 2003
On consid`ere la fonction num´eriquef d´efinie surRpar : f(x) =x2ex−1−x2
2 .
Le graphique ci-dessous est la courbe repr´esentative de cette fonction telle que l’affiche une calculatrice dans un rep`ere orthonormal.
Conjectures
A l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant :` (a) le sens de variations def sur [−3 ; 2] ?
(b) la position de la courbe par rapport `a l’axe (x′x) ?
Dans la suite de ce probl`eme, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compl´eter.
Partie A – Contrˆole de la premi`ere conjecture
1. Calculerf′(x) pour tout r´eelx, et l’exprimer `a l’aide de l’expressiong(x) o`ug est la fonction d´efinie surRpar :
g(x) = (x+ 2)ex−1−1.
2. ´Etude du signe deg(x) pourxr´eel
(a) Calculer les limites deg(x) quandxtend vers +∞, puis quandxtend vers−∞. (b) Calculerg′(x) et ´etudier son signe suivant les valeurs de x.
(c) En d´eduire le sens de variation de la fonctiong, puis dresser son tableau de variation.
(d) Montrer que l’´equationg(x) = 0 poss`ede une unique solution dansR. On noteαcette solution.
Montrer que 0,20< α <0,21.
(e) D´eterminer le signe deg(x) suivant les valeurs dex.
3. Sens de variation de la fonctionf surR
(a) ´Etudier, suivant les valeurs dex, le signe de f′(x).
(b) En d´eduire le sens de variation de la fonctionf. (c) Que pensez-vous de votre premi`ere conjoncture ?
Partie B – Contrˆole de la deuxi`eme conjecture
On noteC la courbe repr´esentative de la fonctionf dans un rep`ere orthonormal (O;−→ı ,−→). On se propose de contrˆoler la position de la courbe par rapport `a l’axe (x′x).
1. Montrer quef(α) = −α3 2(α+ 2).
2. On consid`ere la fonctionhd´efinie sur l’intervalle [0 ; 1] par : h(x) = −x3
2(x+ 2).
(a) Calculerh′(x) pourx´el´ement de [0 ; 1], puis d´eterminer le sens de variation dehsur [0 ; 1].
(b) En d´eduire un encadrement def(α).
3. (a) D´eterminer les abscisses des points d’intersection de la courbeC avec l’axe (x′x).
(b) Pr´eciser alors la position de la courbeC par rapport `a l’axe des abscisses.
(c) Que pensez-vous de votre deuxi`eme conjecture ?
Partie C – Trac´e de la courbe
Compte tenu des r´esultats pr´ec´edents, on se propose de tracer la partie Γ deC correspondant `a l’intervalle [−0,2 ; 0,4], dans le rep`ere orthogonal (O;−→ı ,−→), avec les unit´es suivantes :
– sur l’axe des abscisses 1 cm repr´esentera 0,05 ; – sur l’axe des ordonn´ees 1 cm repr´esentera 0,001.
1. Recopier le tableau suivant et compl´eter celui-ci `a l’aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approch´ees sous la formen×10−4 (nentier relatif).
x −0,2 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 f(x)
2. Tracer alors Γ dans le rep`ere choisi.
Partie D – Calcul d’aire
On d´esire maintenant calculer l’aire du domaine Dd´elimit´e par la courbe Γ, l’axe des abscisses, l’axe des ordonn´ees et la droite d’´equationx= 1−ln 2.
1. `A l’aide d’une double int´egration par parties, d´eterminer une primitive surRde la fonction : x7→x2ex.
2. En d´eduire une primitiveF surRde la fonction f.
3. Calculer alors, en unit´es d’aire, l’aire du domaineDpuis en donner une valeur approch´ee en cm2.
Exercice 20 Nouvelle-Cal´ edonie, Mars 2003
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−0,2
−0,1
−0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
A
B
C
D
C T
Partie A
Sur la figure ci-dessus est trac´ee dans un rep`ere orthogonal la courbe C repr´esentative de la fonction f o`u f est une fonction d´efinie et d´erivable sur R∗+. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe C d’abscisses respectives 1, √
e, e et e√
e ; de plus, A appartient `a l’axe des abscisses. La droiteT est la tangente `aC au pointD.
1. Dans cette question, on ne demande qu’une observation graphique.
Avec la pr´ecision permise par ce graphique :
(a) Donner une estimation `a 5×10−2 pr`es des coefficients directeurs des tangentes `a la courbe C aux pointsA,B,C etD.
(b) Pr´eciser combien la courbeC admet de tangentes horizontales, de tangentes passant par l’origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l’abscisse du point de contact avec la courbeC.
(c) Choisir le seul tableau pouvant d´ecrire les variations de la fonction d´eriv´ee def. Justifier ce choix.
x 0 e +∞ x 0 e√ +∞ x 0 +∞
e
2. On rappelle queC est la courbe repr´esentative de la fonctionf. On admet que la fonction d´eriv´ee def est d´efinie surR∗+ par :
g(x) = 1−lnx x2 .
(a) ´Etudier les variations deg. Cela corrobore-t-il votre choix dans la question1.(c)? (b) D´eterminer les limites degen 0, puis en +∞.
(c) Calculerg(1),g
e√ e
; puis d´emontrer que l’´equationg(x) = 1 n’a qu’une seule solution. Quelle observation de la question1.(b) a-t-on d´emontr´ee ?
(d) Expliquer pourquoif est d´efinie surR∗+ par : f(x) =
Z x 1
1−lnt t2
dt.
Calculerf(x) `a l’aide d’une int´egration par parties.
Partie B
On ´etudie la fonctionf d´efinie surR∗+ par :
f(x) = lnx x .
1. ´Etudier les variations de f, pr´eciser ses limites en 0 puis en +∞.
2. On cherche `a justifier les observations de la questionA.1.concernant les tangentes `a la courbeC qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur ´egal `a 1 ou qui passent par le point O origine du rep`ere.
D´emontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente v´erifie la condition donn´ee, pr´eciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les r´esultats d´emontr´es dans la partie A.2.(c)) et pr´eciser ces points.
3. ´Etude de la tangenteT `a la courbeC au pointD (le pointD a pour abscisse e√ e).
(a) D´emontrer qu’une ´equation de la tangenteT `aC au pointD est : y= −x+ 4e√
e 2e3 . (b) Montrer que le signe de
2e3lnx+x2−4ex√ e
d´etermine la position de la courbeC par rapport
`
a cette tangente.
(c) On noteϕla fonction d´efinie surR∗+ par :
ϕ(x) = 2e3lnx+x2−4ex√ e.
A partir des variations de` ϕ, d´eterminer la position de la courbeC par rapport `a la tangenteT.
Partie C
1. D´emontrer que les abscisses des pointsA,BetCsont les trois premiers termes d’une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera la raison. V´erifier que l’abscisse deD est le quatri`eme terme de cette suite.
2. Soitx0un nombre r´eel strictement sup´erieur `a 1 etEle point de la courbeC d’abscissex0. On consid`ere les droites ∆A, ∆B, ∆C, ∆D et ∆E parall`eles `a l’axe des ordonn´ees et passant respectivement parA, B, C,D et E.
On noteU1 l’aire de la partie du plan limit´ee par l’axe des abscisses, la courbeC et les droites ∆A et
∆C;U2l’aire de la partie du plan limit´ee par l’axe des abscisses, la courbeC et les droites ∆B et ∆D
et U3 l’aire de la partie du plan limit´ee par l’axe des abscisses, la courbeC et les droites ∆C et ∆E. (a) CalculerU1, puisU2.
(b) D´eterminerx0 pour queU1,U2 et U3 soient les trois premiers termes d’une suite arithm´etique.
Quelle remarque peut-on faire sur l’abscisse du pointE?
Exercice 21 Am´ erique du Sud, Novembre 2002
Partie A – ´Etude d’une fonction auxiliaire Soitgla fonction d´efinie surRpar :
g(x) = ex(1−x) + 1.
1. ´Etudier le sens de variation deg.
2. D´emontrer que l’´equation g(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [1,27 ; 1,28] ; on note αcette solution.
3. D´eterminer le signe deg(x) sur ]− ∞; 0[.
Justifier que g(x)>0 sur [0 ;α[ etg(x)<0 sur ]α; +∞[.
Partie B – ´Etude de la fonction f d´efinie surRparf(x) = x ex+ 1+ 2
On d´esigne parCf la courbe repr´esentative def dans un rep`ere orthogonal (O;−→ı ,−→) ; unit´es graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonn´ees.
1. D´eterminer la limite def en +∞et interpr´eter graphiquement ce r´esultat.
2. (a) D´eterminer la limite de f en− ∞.
(b) D´emontrer que la droiteD d’´equationy=x+ 2 est une asymptote pourCf.
