Chapitre 1
La fonction exponentielle
Activité lire p9 (pression atmosphérique & radioactivité portent des équation de la formey0=ay)
A Dénition
1 Préliminaire
Proposition Soit k un réel et f une fonction dérivable sur R. Si pour tout réel x, f0(x) = kf(x) et f(0) = 1, alors pour toutx∈R,f(x)f(−x) = 1.
Preuve : Soitϕ la fonction dénie surRparϕ(x) = f(x)f(−x). ϕest dérivable et ϕ0(x) = 0(calcul).
Doncϕest constante. Orϕ(0) =f(0)f(0) = 1. Donc pour toutx∈R,ϕ(x) =f(x)f(−x) = 1. 2
2 Équation f
0= f
Proposition Il existe une unique fonctionf dérivable surRtelle que pour toutx∈R,f0(x) =f(x)et f(0) = 1.
Preuve : L'existence de la fonction est admise. Prouvons l'unicité :
Supposons qu'il existe deux fonctionsf etgqui vérient les conditions. D'après la propriété de la section précédente (aveck= 1)g ne s'annule pas. On peut donc dénirϕ(x) =f(x)
g(x) sur R, dérivable surR, de dérivée :
ϕ0(x) =f0(x)g(x)−f(x)g0(x)
g2(x) =f(x)g(x)−f(x)g(x) g2(x) = 0 Ainsi,ϕest constante, égale àϕ(0) = f(0)
g(0) = 1
1 = 1. Autrement dit, pour toutx∈R, f(x)
g(x) = 1, c'est à
diref(x) =g(x). Ainsi,f =g. 2
Dénition L'unique fonction f dénie et dérivable sur R telle que pour tout x∈R, f0(x) = f(x) et f(0) = 1est appelée fonction exponentielle. On peut la noterexp. On a doncexp(0) = 1.
3 Équation f
0= kf
Proposition Soitk un nombre réel. Il existe une unique fonctionf dérivable surRtelle que pour tout x∈R,f0(x) =kf(x)et f(0) = 1.
1
2 CHAPITRE 1. LA FONCTION EXPONENTIELLE Preuve : Pour l'existence, il sut de vérier que la fonction suivante vérie les conditions :
x7−→exp(kx)
Pour l'unicité, soitf et g deux fonctions qui vérient les conditions. D'après la propriété vue plus haut g ne s'annule pas. On peut donc dénirϕ(x) =f(x)
g(x) surR, dérivable surR, de dérivée : ϕ0(x) =f0(x)g(x)−f(x)g0(x)
g2(x) =kf(x)g(x)−kf(x)g(x) g2(x) = 0 Ainsi,ϕest constante, égale àϕ(0) = f(0)
g(0) = 1
1 = 1. Autrement dit, pour toutx∈R, f(x)
g(x) = 1, c'est à
diref(x) =g(x). Ainsi,f =g. 2
→Exercices 2p29 (base), 3&4p29 (f(0) =a), 6p30 (exemple concret et calculatrice)
B Propriétés de l'exponentielle
Proposition
1. pour toutx∈R,exp0(x) = exp(x)etexp(0) = 1.
2. Pour tous nombres xet ydeR, on aexp(x+y) = exp(x)×exp(y). Preuve :
1. C'est par dénition.
2. Pour le second point, soity∈R, on aexp(y)6= 0. On pose alors ϕ:x7−→ exp(x+y)
exp(y) , dénie et dérivable surR.
On prouve queϕ0(x) =ϕ(x)etϕ(0) = 1. Ainsi,ϕ(x) = exp(x)par unicité.
Autrement dit, pour toutx∈R, exp(x+y)
exp(y) = exp(x),
c'est à direexp(x+y) = exp(x)×exp(y). 2
Remarque On dit parfois que la fonctionexptransforme les sommes en produit.
Remarque En fait, la relation vériée par exp, exp(x+y) = exp(x) exp(y) caractérise la fonction exponentielle. Cela signie que l'on a la propriété :
Proposition Soitf une fonction dérivable sur Ret non nulle telle quef(x+y) =f(x)f(y). Alors il existe un nombrek∈Rtel que f(x) = exp(kx).
Preuve :
1. On démontre déjà que f(0) = 1. Comme f est non nulle, il existe x0 tel que f(x0) 6= 0. Or, f(x0) =f(x0+ 0) =f(x0)f(0). En simpliant parf(x0)(non nul), on obtient bienf(0) = 1. 2. On démontre quef0(x) =kf(x)avec k=f0(0). Soit y∈R. Soit ϕ(x) =f(x+y) =f(x)f(y). La
fonction ϕest dénie et dérivable surRet ϕ0(x) =f0(x+y) = f0(x)f(y). Ainsi,ϕ0(0) =f0(y) = f0(0)f(y). Le nombre y étant quelconque, on a donc bien pour tout x ∈ R f0(x) = kf(x) avec k=f0(0).
3. Grâce aux deux points précédents et la propriété d'unicité de l'exponentielle, on en déduit que
f(x) = exp(kx). 2
Activité 9p30
C. LIMITES AUX BORNES 3 Proposition
1. Pour toutx,exp(x)>0.
2. La fonctionexpest strictement croissante surR Preuve :
1. On a grâce à la propriété précédente : exp(x) = expx
2 +x 2
= expx 2
expx
2
=
expx 2
2
>0(la fonction ne s'annule pas).
2. Puisqueexp0= exp, le signe de la dérivée est celui de la fonction, qui est strictement positive. Donc expest strictement croissante.
Remarque Ainsi,exp(x)≤exp(y)est équivalent àx≤y;exp(x) = exp(y)est équivalent àx=y
→Exercices 17,19p31 (attention : avec notationex) Proposition Pour tous réelsxet y,exp(−x) = 1
exp(x) etexp(x−y) =exp(x) exp(y)
Preuve : Exercice. 2
Activité che méthode d'Euler et exponentielle.
1 Notation e
xActivité 10p30
Dénition On notee= exp(1)
Proposition Pour toutn∈Z,exp(n) =en, et plus généralementexp(nx) = (ex)n
Preuve : Vue avec l'exercice 10p30 2
Dénition On généralise la propriété ci-dessus en disant que pour toutx∈R,exp(x) =ex. On a alors pour tousxet y réels etnrelatif :
e0= 1 ex>0 ex+y=exey enx= (ex)n
e−x= 1
ex ex−y= ex ey
→Exercices 11p30 (simplication), 13p31 (suites et variations de fonctions composées)
C limites aux bornes
Proposition
x→+∞lim ex= +∞ et lim
x→−∞= 0
Preuve : On montre que la fonctionfdénie parf(x) =ex−xest croissante sur[0; +∞[, donc supérieure àf(0) = 1. Donc pourxassez grand,ex> x d'où la limite en+∞.
Pour l'autre limite, on utilise le fait queex= 1
e−x. 2
→Exercices 33p31, 35p32 (limites)
→Exercices 38,39,42p32 (dérivées)
→Exercice 49p32 (étude de fonction avec asymptote) en DM
