La fonction exponentielle
LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE
Blaise Pascal
septembre 2016
LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 1 / 41
Sommaire
1. Introduction
2. Définition et propriétés 2.1 Propriétés
3. Étude de la fonction exponentielle 3.1 Dérivée et variations
3.2 Limites
3.3 Tableau de variation et courbe représentative
4. Deux familles de fonctions 4.1 Les fonctionsfk :x7−→e−kx 4.2 Les fonctionsgk:x7−→e−kx2
LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 2 / 41
Croissance bactérienne
durée
−2 −1 1 2 3 4 5 6 effectif
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
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1. Introduction
2. Définition et propriétés 2.1 Propriétés
3. Étude de la fonction exponentielle 3.1 Dérivée et variations
3.2 Limites
3.3 Tableau de variation et courbe représentative
4. Deux familles de fonctions 4.1 Les fonctionsfk :x7−→e−kx 4.2 Les fonctionsgk:x7−→e−kx2
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Théorème 1
Il existe une unique fonctionf dérivable surRtelle que : pour tout réel x,f0(x) =f(x) etf(0) = 1
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Théorème 1
Il existe une unique fonctionf dérivable surRtelle que : pour tout réel x,f0(x) =f(x) etf(0) = 1
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Théorème 1
Il existe une unique fonctionf dérivable surRtelle que : pour tout réel x,f0(x) =f(x) etf(0) = 1
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Démonstration
On admet l’existence d’une telle fonctionf. En revanche, on démontre l’unicité.
1.
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x).1 Dériverϕ.
2 En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.
2.
Supposons qu’il existe une autre fonctiong dérivable surRvérifiant g0(x) =g(x)pour tout réelxetg(0) = 1.Soitψla fonction définie surRparψ(x) = g(x) f(x).
1 Dériverψ.
2 En déduire que la fonctionψest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Conclure.
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Démonstration
On admet l’existence d’une telle fonctionf. En revanche, on démontre l’unicité.
1.
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x).1 Dériverϕ.
2 En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.
2.
Supposons qu’il existe une autre fonctiong dérivable surRvérifiant g0(x) =g(x)pour tout réelxetg(0) = 1.Soitψla fonction définie surRparψ(x) = g(x) f(x).
1 Dériverψ.
2 En déduire que la fonctionψest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Conclure.
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Démonstration
On admet l’existence d’une telle fonctionf. En revanche, on démontre l’unicité.
1.
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x).1 Dériverϕ.
2 En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.
2.
Supposons qu’il existe une autre fonctiong dérivable surRvérifiant g0(x) =g(x)pour tout réelxetg(0) = 1.Soitψla fonction définie surRparψ(x) = g(x) f(x).
1 Dériverψ.
2 En déduire que la fonctionψest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Conclure.
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Démonstration
On admet l’existence d’une telle fonctionf. En revanche, on démontre l’unicité.
1.
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x).1 Dériverϕ.
2 En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.
2.
Supposons qu’il existe une autre fonctiong dérivable surRvérifiant g0(x) =g(x)pour tout réelxetg(0) = 1.Soitψla fonction définie surRparψ(x) = g(x) f(x).
1 Dériverψ.
2 En déduire que la fonctionψest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Conclure.
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Démonstration
On admet l’existence d’une telle fonctionf. En revanche, on démontre l’unicité.
1.
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x).1 Dériverϕ.
2 En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.
2.
Supposons qu’il existe une autre fonctiong dérivable surRvérifiant g0(x) =g(x)pour tout réelxetg(0) = 1.Soitψla fonction définie surRparψ(x) = g(x) f(x).
1 Dériverψ.
2 En déduire que la fonctionψest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Conclure.
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Démonstration
On admet l’existence d’une telle fonctionf. En revanche, on démontre l’unicité.
1.
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x).1 Dériverϕ.
2 En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.
2.
Supposons qu’il existe une autre fonctiong dérivable surRvérifiant g0(x) =g(x)pour tout réelxetg(0) = 1.Soitψla fonction définie surRparψ(x) = g(x) f(x).
1 Dériverψ.
2 En déduire que la fonctionψest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Conclure.
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Démonstration
On admet l’existence d’une telle fonctionf. En revanche, on démontre l’unicité.
1.
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x).1 Dériverϕ.
2 En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.
2.
Supposons qu’il existe une autre fonctiong dérivable surRvérifiant g0(x) =g(x)pour tout réelxetg(0) = 1.Soitψla fonction définie surRparψ(x) = g(x) f(x).
1 Dériverψ.
2 En déduire que la fonctionψest constante.
Donner la valeur de cette constante.
3 Conclure.
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Démonstration
On admet l’existence d’une telle fonctionf. En revanche, on démontre l’unicité.
1.
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x).1 Dériverϕ.
2 En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.
3 Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.
2.
Supposons qu’il existe une autre fonctiong dérivable surRvérifiant g0(x) =g(x)pour tout réelxetg(0) = 1.Soitψla fonction définie surRparψ(x) = g(x) f(x).
1 Dériverψ.
2 En déduire que la fonctionψest constante.
Donner la valeur de cette constante.
3 Conclure.
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Définition 1
La fonctionf dérivable surRtelle quef0=f etf(0) = 1 est appeléefonction exponentielle.
On la noteexp.
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Définition 1
La fonctionf dérivable surRtelle quef0=f etf(0) = 1 est appeléefonction exponentielle.
On la noteexp.
LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 7 / 41
Définition 1
La fonctionf dérivable surRtelle quef0=f etf(0) = 1 est appeléefonction exponentielle.
On la noteexp.
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Définition 1
La fonctionf dérivable surRtelle quef0=f etf(0) = 1 est appelée fonction exponentielle.
On la noteexp.
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Définition 1
La fonctionf dérivable surRtelle quef0=f etf(0) = 1 est appelée fonction exponentielle.
On la noteexp.
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Sommaire
1. Introduction
2. Définition et propriétés 2.1 Propriétés
3. Étude de la fonction exponentielle 3.1 Dérivée et variations
3.2 Limites
3.3 Tableau de variation et courbe représentative
4. Deux familles de fonctions 4.1 Les fonctionsfk :x7−→e−kx 4.2 Les fonctionsgk:x7−→e−kx2
LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 8 / 41
Propriété 1
1.
Pour toutx∈R,exp(x)×exp(−x) =12.
Pour toutx∈R,exp(x)6= 0Démonstration
1.
Évident car c’est la fonctionϕde la démonstration précédente.2.
Déjà prouvé dans la question 1.3 de la démonstration précédente.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 9 / 41
Propriété 1
1.
Pour toutx∈R,exp(x)×exp(−x) = 12.
Pour toutx∈R,exp(x)6= 0Démonstration
1.
Évident car c’est la fonctionϕde la démonstration précédente.2.
Déjà prouvé dans la question 1.3 de la démonstration précédente.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 9 / 41
Propriété 1
1.
Pour toutx∈R,exp(x)×exp(−x) = 12.
Pour toutx∈R,exp(x)6= 0Démonstration
1.
Évident car c’est la fonctionϕde la démonstration précédente.2.
Déjà prouvé dans la question 1.3 de la démonstration précédente.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 9 / 41
Propriété 1
1.
Pour toutx∈R,exp(x)×exp(−x) = 12.
Pour toutx∈R,exp(x)6= 0Démonstration
1.
Évident car c’est la fonctionϕde la démonstration précédente.2.
Déjà prouvé dans la question 1.3 de la démonstration précédente.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 9 / 41
Propriété 1
1.
Pour toutx∈R,exp(x)×exp(−x) = 12.
Pour toutx∈R,exp(x)6= 0Démonstration
1.
Évident car c’est la fonctionϕde la démonstration précédente.2.
Déjà prouvé dans la question 1.3 de la démonstration précédente.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 9 / 41
Propriété 2 (Relation fonctionnelle)
Pour toutx, y∈R, on a :
exp(x+y) =exp(x)×exp(y)
Démonstration
Soity un réel quelconque que l’on fixe. SoitΦla fonction de la variablexdéfinie surRparΦ(x) = exp(x+y)
exp(x) .
1.
Démontrer queΦest dérivable sur Rpuis calculer sa dérivéeΦ0.2.
En déduire que la fonctionΦest constante. Donner la valeur de cette constante.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 10 / 41
Propriété 2 (Relation fonctionnelle)
Pour toutx, y∈R, on a :
exp(x+y) = exp(x)×exp(y)
Démonstration
Soity un réel quelconque que l’on fixe. SoitΦla fonction de la variablexdéfinie surRparΦ(x) = exp(x+y)
exp(x) .
1.
Démontrer queΦest dérivable sur Rpuis calculer sa dérivéeΦ0.2.
En déduire que la fonctionΦest constante. Donner la valeur de cette constante.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 10 / 41
Propriété 2 (Relation fonctionnelle)
Pour toutx, y∈R, on a :
exp(x+y) = exp(x)×exp(y)
Démonstration
Soity un réel quelconque que l’on fixe. SoitΦla fonction de la variablexdéfinie surRparΦ(x) = exp(x+y)
exp(x) .
1.
Démontrer queΦest dérivable sur Rpuis calculer sa dérivéeΦ0.2.
En déduire que la fonctionΦest constante. Donner la valeur de cette constante.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 10 / 41
Propriété 2 (Relation fonctionnelle)
Pour toutx, y∈R, on a :
exp(x+y) = exp(x)×exp(y)
Démonstration
Soity un réel quelconque que l’on fixe. SoitΦla fonction de la variablexdéfinie surRparΦ(x) = exp(x+y)
exp(x) .
1.
Démontrer queΦest dérivable sur Rpuis calculer sa dérivéeΦ0.2.
En déduire que la fonctionΦest constante. Donner la valeur de cette constante.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 10 / 41
Propriété 2 (Relation fonctionnelle)
Pour toutx, y∈R, on a :
exp(x+y) = exp(x)×exp(y)
Démonstration
Soity un réel quelconque que l’on fixe. SoitΦla fonction de la variablexdéfinie surRparΦ(x) = exp(x+y)
exp(x) .
1.
Démontrer queΦest dérivable sur Rpuis calculer sa dérivéeΦ0.2.
En déduire que la fonctionΦest constante. Donner la valeur de cette constante.LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 10 / 41
Propriété 3
Pour toutx, y∈R, on a :
exp(x−y) =exp(x) exp(y)
Démonstration
exp(x−y) = exp(x+ (−y))
LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 11 / 41
Propriété 3
Pour toutx, y∈R, on a :
exp(x−y) =exp(x) exp(y)
Démonstration
exp(x−y) = exp(x+ (−y))
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Propriété 3
Pour toutx, y∈R, on a :
exp(x−y) =exp(x) exp(y)
Démonstration
exp(x−y) = exp(x+ (−y))
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Propriété 4
Pour toutx∈Retn∈Z, on a :
exp(nx) =exp(x)n
Démonstration
À faire à l’aide d’un raisonnement par récurrence pourn∈N. Soitnun entier négatif.
Posonsn=−m.mest donc un entier naturel. Pour tout réelxon a alors :
exp(nx) =exp(−mx) = 1
exp(mx) = 1
expm(x) =exp−m(x) =expn(x)
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Propriété 4
Pour toutx∈Retn∈Z, on a :
exp(nx) = exp(x)n
Démonstration
À faire à l’aide d’un raisonnement par récurrence pourn∈N. Soitnun entier négatif.
Posonsn=−m.mest donc un entier naturel. Pour tout réelxon a alors :
exp(nx) =exp(−mx) = 1
exp(mx) = 1
expm(x) =exp−m(x) =expn(x)
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Propriété 4
Pour toutx∈Retn∈Z, on a :
exp(nx) = exp(x)n
Démonstration
À faire à l’aide d’un raisonnement par récurrence pourn∈N. Soitnun entier négatif.
Posonsn=−m.mest donc un entier naturel.
Pour tout réelxon a alors :
exp(nx) =exp(−mx) = 1
exp(mx) = 1
expm(x) =exp−m(x) =expn(x)
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Propriété 4
Pour toutx∈Retn∈Z, on a :
exp(nx) = exp(x)n
Démonstration
À faire à l’aide d’un raisonnement par récurrence pourn∈N. Soitnun entier négatif.
Posonsn=−m.mest donc un entier naturel.
Pour tout réelxon a alors :
exp(nx) = exp(−mx) = 1
exp(mx) = 1
expm(x) =exp−m(x) =expn(x)
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Propriété 4
Pour toutx∈Retn∈Z, on a :
exp(nx) = exp(x)n
Démonstration
À faire à l’aide d’un raisonnement par récurrence pourn∈N. Soitnun entier négatif.
Posonsn=−m.mest donc un entier naturel.
Pour tout réelxon a alors :
exp(nx) = exp(−mx) = 1
exp(mx) = 1
expm(x) =exp−m(x) =expn(x)
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Propriété 4
Pour toutx∈Retn∈Z, on a :
exp(nx) = exp(x)n
Démonstration
À faire à l’aide d’un raisonnement par récurrence pourn∈N. Soitnun entier négatif.
Posonsn=−m.mest donc un entier naturel.
Pour tout réelxon a alors :
exp(nx) = exp(−mx) = 1
exp(mx) = 1
expm(x) =exp−m(x) =expn(x)
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Propriété 4
Pour toutx∈Retn∈Z, on a :
exp(nx) = exp(x)n
Démonstration
À faire à l’aide d’un raisonnement par récurrence pourn∈N. Soitnun entier négatif.
Posonsn=−m.mest donc un entier naturel.
Pour tout réelxon a alors : exp(nx) = exp(−mx) = 1
exp(mx) = 1
expm(x) = exp−m(x) =expn(x)
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Propriété 4
Pour toutx∈Retn∈Z, on a :
exp(nx) = exp(x)n
Démonstration
À faire à l’aide d’un raisonnement par récurrence pourn∈N. Soitnun entier négatif.
Posonsn=−m.mest donc un entier naturel.
Pour tout réelxon a alors : exp(nx) = exp(−mx) = 1
exp(mx)= 1
expm(x)= exp−m(x) = expn(x)
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Propriété 5
Pour toutx∈R, on aexp(x)>0.
La fonction exponentielle estpositive surR.
Démonstration
Écrireexp(x)sous la forme d’un carré en utilisant les propriétés précédentes.
LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 13 / 41
Propriété 5
Pour toutx∈R, on aexp(x)>0.
La fonction exponentielle estpositive surR.
Démonstration
Écrireexp(x)sous la forme d’un carré en utilisant les propriétés précédentes.
LUITAUD DELOBEL HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 3 septembre 2016 13 / 41
Propriété 5
Pour toutx∈R, on aexp(x)>0.
La fonction exponentielle est positive surR.
Démonstration
Écrireexp(x)sous la forme d’un carré en utilisant les propriétés précédentes.
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Définition 2
On poseexp(1) =e≈2,718
Pour toutx∈Ron a alors,exp(x) =ex.
Les propriétés de l’exponentielle s’écrivent alors :
Propriété 6
e0=1
Pour toutx∈R,(ex)0=ex Pour toutx∈R,ex×e−x=1
soite−x= 1 ex
Pour toutx∈R,ex>0
Pour touta,b∈R,ea+b=ea×eb
etea−b=ea eb
Pour toutx∈R,n∈Z,(ex)n =enx Pour toutx∈R,√
ex=e12x
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Définition 2
On poseexp(1) =e≈2,718
Pour toutx∈Ron a alors,exp(x) =ex.
Les propriétés de l’exponentielle s’écrivent alors :
Propriété 6
e0=1
Pour toutx∈R,(ex)0=ex Pour toutx∈R,ex×e−x=1
soite−x= 1 ex
Pour toutx∈R,ex>0
Pour touta,b∈R,ea+b=ea×eb
etea−b=ea eb
Pour toutx∈R,n∈Z,(ex)n =enx Pour toutx∈R,√
ex=e12x
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Définition 2
On poseexp(1) =e≈2,718
Pour toutx∈Ron a alors,exp(x) =ex. Les propriétés de l’exponentielle s’écrivent alors :
Propriété 6
e0=1
Pour toutx∈R,(ex)0=ex Pour toutx∈R,ex×e−x=1
soite−x= 1 ex
Pour toutx∈R,ex>0
Pour touta,b∈R,ea+b=ea×eb
etea−b=ea eb
Pour toutx∈R,n∈Z,(ex)n =enx Pour toutx∈R,√
ex=e12x
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Définition 2
On poseexp(1) =e≈2,718
Pour toutx∈Ron a alors,exp(x) =ex. Les propriétés de l’exponentielle s’écrivent alors :
Propriété 6
e0= 1
Pour toutx∈R,(ex)0=ex Pour toutx∈R,ex×e−x=1
soite−x= 1 ex
Pour toutx∈R,ex>0
Pour touta,b∈R,ea+b=ea×eb
etea−b=ea eb
Pour toutx∈R,n∈Z,(ex)n =enx Pour toutx∈R,√
ex=e12x
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Définition 2
On poseexp(1) =e≈2,718
Pour toutx∈Ron a alors,exp(x) =ex. Les propriétés de l’exponentielle s’écrivent alors :
Propriété 6
e0= 1
Pour toutx∈R,(ex)0=ex
Pour toutx∈R,ex×e−x=1
soite−x= 1 ex
Pour toutx∈R,ex>0
Pour touta,b∈R,ea+b=ea×eb
etea−b=ea eb
Pour toutx∈R,n∈Z,(ex)n =enx Pour toutx∈R,√
ex=e12x
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Définition 2
On poseexp(1) =e≈2,718
Pour toutx∈Ron a alors,exp(x) =ex. Les propriétés de l’exponentielle s’écrivent alors :
Propriété 6
e0= 1
Pour toutx∈R,(ex)0=ex
Pour toutx∈R,ex×e−x=1
soite−x= 1 ex
Pour toutx∈R,ex>0
Pour touta,b∈R,ea+b=ea×eb
etea−b=ea eb
Pour toutx∈R,n∈Z,(ex)n =enx Pour toutx∈R,√
ex=e12x
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Définition 2
On poseexp(1) =e≈2,718
Pour toutx∈Ron a alors,exp(x) =ex. Les propriétés de l’exponentielle s’écrivent alors :
Propriété 6
e0= 1
Pour toutx∈R,(ex)0=ex Pour toutx∈R,ex×e−x=1
soite−x= 1 ex Pour toutx∈R,ex>0
Pour touta,b∈R,ea+b=ea×eb
etea−b=ea eb
Pour toutx∈R,n∈Z,(ex)n =enx Pour toutx∈R,√
ex=e12x
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Définition 2
On poseexp(1) =e≈2,718
Pour toutx∈Ron a alors,exp(x) =ex. Les propriétés de l’exponentielle s’écrivent alors :
Propriété 6
e0= 1
Pour toutx∈R,(ex)0=ex Pour toutx∈R,ex×e−x= 1
soite−x= 1 ex Pour toutx∈R,ex>0
Pour touta,b∈R,ea+b=ea×eb
etea−b=ea eb
Pour toutx∈R,n∈Z,(ex)n =enx Pour toutx∈R,√
ex=e12x
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