TD 3 Chapitre 2 §5 Semestre 1-2015/2016

(1)

TD 3 Chapitre 2 §5 Semestre 1-2015/2016

La dérivation : applications

Révisions

➢ Exercice 3-1

Donner l'ensemble de définition, de dérivabilité de la fonction f suivante et donner l'expression de sa dérivée f'(x) pour les valeurs de x où elle existe :

fx=3x²−2x1 x2

➢ Exercice 3-2 (voir fiche 3)

Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de g(x)= ^x³^_x¹3=x³x⁻³ au point d'abscisse x=1.

Elasticité

➢ Exercice 3-3

Une étude des chemins de fer norvégiens révèle que pour des voyages de moins de 60 km, l'élasticité de la demande par rapport au prix en volume de passagers était de -0,4.

L'élasticité correspondante pour des voyages de plus ou moins 300 km était d'environ -0,9. Donnez une interprétation des élasticité et tentez d'expliquer pour quelle raison, la dernière élasticité est plus grande en valeur absolue que la première.

➢ Exercice 3-4

Soit la quantité demandée d'un bien exprimée par rapport au prix selon la formule

D(p)=8 000× p^-1,5 . Calculer l'élasticité de la quantité par rapport au prix. Donner une interprétation du résultat. Déterminer le pourcentage exact de variation de la quantité demandée quand le prix augmente de 1% à partir de 4. Garder 3 décimales.

➢ Exercice 3-5

1. Calculer l'élasticité des fonctions suivantes f(t)=-3t² ; g(x)=



^x²^1 .

2. Une étude en économie des transports utilise la relation T=0,4K^1,06 où K est la dépense pour la construction de routes et T une mesure du volume du trafic. Déterminer l'élasticité

Espinouze Sandrine TD 3 L1DEG-S1-2015/2016 1

(2)

de T par rapport à K. Selon ce modèle, si les dépenses augmentent de 1%, de quel pourcentage (approximativement), le volume du trafic augmente-t-il?

Dérivées successives (voir fiche 6)

➢ Exercice 3-6

Le secrétaire américain à la défense affirma en 1985 que le congrès avait réduit le budget de la défense. L'opposition mit les choses au point en disant que le budget n'avait pas été réduit mais bien son taux de croissance. Si P désigne le montant du budget de la défense, traduisez les déclarations en proposition sur les signes de P' et P''.

➢ Exercice 3-7

Calculer la dérivée seconde des fonctions suivantes : ^f1x=x , ^f2x=1x²¹⁰ et donner ^d_dL²^L2 pour L(t)= _3t¹ .

➢ Exercice 3-8

Etudier la fonction C(q)=2q⁵-5q⁴+4q³ sur [-10;20] : ensemble de dérivabilité, tableau de variation, graphe, concavité.

➢ Exercice 3-9

Calculer les dérivées premières, secondes et troisièmes de f(x)=lnx pour tout x>0. Tenter de trouver une formule générale pour la dérivée n^ième de lnx. Démontrez la par récurrence.

Ecrire le développement de Taylor à l'ordre n>0 au voisinage de 1.

Approximations

➢ Exercice 3-10

A l'aide de la différentielle, déterminer une valeur approchée de 1,001⁵⁰. Comparer avec la valeur exacte.

➢ Exercice 3-11

1. Déterminer une approximation au second degré de h(x)= ln(2x+4) au voisinage de 0.

2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de h au point d'abscisse x=0.

3. En déduire la position de la courbe représentative de h par rapport à la tangente au voisinage de x=0.

➢ Exercice 3-12

Soit f une fonction réelle de la variable x. On suppose que f est indéfiniment dérivable au voisinage de x0=3 et vérifie :

f(3)=2 ; f⁽¹⁾(3)=1 ; f⁽²⁾(3) = f⁽³⁾(3)= f⁽⁴⁾(3)=0 et f⁽⁵⁾(3)=240.

1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x0=3.

2. Soit x un réel au voisinage de x0=3 et différent de 3. f étant indéfiniment dérivable au

(3)

voisinage de 3, on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange à n'importe quel ordre entre x0=3 et x. Appliquer cette formule à l'ordre 5. En déduire la position de la courbe par rapport à la tangente au point d'abscisse x0=3.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 3-13

Démontrer que si f et g sont dérivables à valeurs non nulles de x et A une constante alors les règles suivantes sont valables :

ElxA=0 ; Elx(fg)=Elxf+Elxg ; Elx(f+g)= ^fEl^x ^f_f^_^gEl_g ^x^g .

➢ Exercice 3-14

Etudier la fonction C(K)=K^-3+K^15/4 sur [1;10] : ensemble de dérivabilité, tableau de variation, graphe, concavité.

➢ Exercice 3-15

Montrer que pour x proche de 0, 1x≈11

2x . Dans un même repère, tracer la courbe représentative de ^1x et de ^1¹₂^x sur ]0;3[.

Généralisation : montrer que (1+x)^m est proche de 1+mx au voisinage de 0.

Donner le développement de Taylor à l'ordre 3 au voisinage de 0 de ^1^x . Donner le reste de Lagrange.

➢ Exercice 3-16 Règle de 70

Si un montant K rapporte annuellement p% d'intérêts, le temps de doublement est approché par ⁷⁰_p . Prouvez-le!

Calculer le temps de doublement réel pour p=3,5% puis le temps approché à l'aide de la règle.

➢ Exercice 3-17

Soit ^f^^x=_1ax¹ . Donner l'ensemble de définition et de dérivabilité de f. Montrer que la dérivée première peut s'écrire f'(x)=-a(1+ax)^-2.

Montrer que f''(x)=a(-2a)(1+ax)^-3.

Montrer par récurrence que pour pour tout entier p>0, f^(p)(x)=(-a)(-2a)...(-pa)(1+ax)^-p-1. Remarque : 1×2×3×... ×p=p! Exprimer f^(p)(x) à l'aide de p!

Donner la relation pour a=1. Donner le développement de Taylor de _1¹_x à l'ordre 4 au voisinage de 0.