Corrigé TD 1 Semestre 2-2015/2016

(1)

Corrigé TD 1 Semestre 2-2015/2016

Corrigé du CC2-Matrices : généralités et opérations

CC2 du semestre 1

Sujet A

➢ Exercice 1 (9 points) : vrai ou faux?

Chaque réponse doit être justifiée. En l'absence de justifications, aucun point ne sera accordé.

Une réponse fausse n'enlève pas de points.

Pour l'ensemble des questions, D est la fonction définie sur ]0;+[ par Dx=2,5×x

−6 5

1.Vrai/Faux : Pour tout x>0, D 'x=−3×x

−11

5 .

Pour tout x>0, D 'x=2,5×−6 5 ×x

−6 5−1

=−3x

−11

5 donc VRAI.

2.Vrai/Faux : Pour tout x>0, D ' 'x=33 5 ×x

−11

5 .

Pour tout x>0, D' 'x=−3×−11 5 ×x

−11 5 −1

=33 5 x

−16

5 donc FAUX.

3.Vrai/Faux : D est strictement croissante sur ]0;+[.

Pour tout x>0, D'(x)<0 donc D est strictement décroissante sur ]0;+[. Donc FAUX.

4.Vrai/Faux : D est convexe sur ]0;+[.

Pour tout x>0, D''(x)>0 donc D est convexe sur ]0;+[. Donc VRAI.

5.Vrai/Faux : Pour tout x0>0, une augmentation de x de 1% à partir de x0 entraine une baisse de D de 1,2%.

(2)

Le calcul de l'élasticité de D par rapport à x en x0 permet de répondre à la question : ^El^xD^^x0^=_D^x0_x0×D 'x0= x0

2,5×x0

−6 5

×2,5×−6 5 ×x0

−6 5−1

=−6

5 =−1,2. Donc VRAI.

6.Vrai/Faux :

∫

1

2Dxdx=2,52

−1

5 −1 .

∫

1

2Dxdx=2,5

∫

1 2x

−6

5 dx=2,5

[

⁻⁶^x⁵⁻⁶⁵^1^1

]

1 2

=2,5

[

^x⁻¹⁵⁻¹⁵

]

1 2

=−12,52

−1

5−1 donc FAUX

➢ Exercice 2 (6,5 points)

On considère la fonction g suivante pour tout réel x : gx=e^0,5^x−¹−x²20x2 .

1. Calculer g(2).

g2=e⁰−2²20×22=39

2. Pour tout x réel, déterminer g'(x) puis calculer g'(2).

Pour tout réel x, g'(x)=0,5e^0,5x-1-2x+20.

Donc g'(2)=0,5e⁰-22+20=16,5.

3. Déterminer l'expression de l'approximation de Taylor-Lagrange au degré 1 de g pour un réel x au voisinage de 2.

Pour tout réel x dans un voisinage de 2, g(x)  g(2)+(x-2)g'(2) soit g(x)  39+16,5(x-2).

4. En déduire une valeur approchée de g(2,01) (sans utiliser la définition de g).

2,01 est dans un voisinage de 2 donc g(2,01) = g(2+0,01)  39+16,5(2,01-2) soit g(2,01)  39+16,50,01 39,165.

5. Calculer I=

∫

5

8e^0,5x−¹−x²20x2dx . En donner la valeur exacte.

I=

∫

5

8e^0,5^x−¹−x²20x2dx=

[

^e^0,5^0,5^x−1⁻ ^x³³^20 ^x²²^2x

]

5 8

, donc I=e^0,5×8−1

0,5 −8³

320×8²

2 2×8−e^0,5×5−1

0,5 −5³

3 20×5²

2 2×5, soit I=2e³−e^1,5−387

3 396 .

La dernière question est une question bonus : elle est hors barême mais rapporte des

(3)

points si elle est traitée et juste.

On considère la fonction g suivante : g :

1. Montrer que g est homogène et préciser son degré d'homogénéité.

Soient t, x1 et x2 trois réels quelconques.

donc g est homogène de degré 5.

2. Calculer g(1,2), g'_x1(1,2) et g'_x2(1,2).

g(1,2)=32,

Pour tout couple (x1,x2) de on a :

et

Donc et .

3. Définir la différentielle de g au point (1;2), la noter dg(1;2) . Pour tout couple (h,k) de on a :

donc soit

4. Question BONUS : En déduire une valeur approximative de g(0,999;2,002).

Sujet B

➢ Exercice 1 (9 points) : vrai ou faux?

Chaque réponse doit être justifiée. En l'absence de justifications, aucun point ℝ²ℝ

x1,x23x12

x23−2x15

5x14

x2

gtx_1,tx₂=3t²x₁²t³x₂³−2t⁵x₁⁵5t⁴x₁⁴t x₂=t⁵3x₁²x₂³−2x₁⁵5x₁⁴x₂=t⁵gx_1,x₂

ℝ², g 'x₁x1,x2=3×2x1x23−2×5x14

5×4x13

x2=6x1x23−10x14

20x13

x2

g 'x₂x1,x2=3×3x12

x22

5x14

=9x12

x22

5x14

g '_x₁1,2=78 g '_x₂1,2=41

ℝ²,

dg__x_1,_x₂_:h , k g '_x₁x₁, x₂hg '_x₂x₁, x₂k dg__1,2:h , kg '_x₁1,2hg '_x₂1,2k dg__1,2:h , k78h41k

g0,999;2,002=g1−0,001 ,20,002=g1;2dg_1,2−0,001 ,0 ,002

g0,999;2,002=3278×−0,00141×0,002=32,004

(4)

ne sera accordé.

Une réponse fausse n'enlève pas de points.

Pour l'ensemble des questions, D est la fonction définie sur ]0;+[ par Dx=4×x

−9 8

1.Vrai/Faux : Pour tout x>0, D 'x=4,5×x

−17

8 .

Pour tout x>0, D'x=4×−9 8 ×x

−9 8−1

=−4,5x

−17

8 donc FAUX.

2.Vrai/Faux : Pour tout x>0, D ' 'x=76,5 8 ×x

−25

8 .

Pour tout x>0, D' 'x=−4,5×−17 8 ×x

−17 8 −1

=76,5 8 x

−25

8 donc VRAI.

3.Vrai/Faux : D est strictement décroissante sur ]0;+[.

Pour tout x>0, D'(x)<0 donc D est strictement décroissante sur ]0;+[. Donc VRAI.

4.Vrai/Faux : D est concave sur ]0;+[.

Pour tout x>0, D''(x)>0 donc D est convexe sur ]0;+[. Donc FAUX.

5.Vrai/Faux : Pour tout x0>0, une augmentation de x de 1% à partir de x0 entraine une baisse de D de 1,125%.

Le calcul de l'élasticité de D par rapport à x en x0 permet de répondre à la question : ^El^xD^^x0=_D^x0_x0^×^{D '}^^x0= ^x0

4×x0

−9 8

×4×−9 8 ×x0

−9 8−1

=−9

8 =−1,125. Donc VRAI.

6.Vrai/Faux :

∫

₁²^D^^x^dx=−32^2⁻¹⁸⁻¹^ ^.

∫

1

2Dxdx=4

∫

1 2x

−9

8dx=4

[

⁻^x8⁻⁹⁹⁸1^1

]

1 2

=4

[

⁻^x8⁻¹⁸¹

]

1 2

=−322

−1

8−1 donc VRAI.

On considère la fonction g suivante pour tout réel x : gx=e^0,2^x−¹−x²50x5 .

(5)

1. Calculer g(5).

g5=e⁰−5²50×55=231

2. Pour tout x réel, déterminer g'(x) puis calculer g'(5).

Pour tout réel x, g'(x)=0,2e^0,2x-1-2x+50.

Donc g'(5)=0,2e⁰-25+50=40,2.

3. Déterminer l'expression de l'approximation de Taylor-Lagrange au degré 1 de g pour un réel x au voisinage de 5.

Pour tout réel x dans un voisinage de 5, g(x)  g(5)+(x-5)g'(5) soit g(x)  231+40,2(x-5).

4. En déduire une valeur approchée de g(5,02) (sans utiliser la définition de g).

5,02 est dans un voisinage de 5 donc g(5,02) = g(5+0,02)  231+40,2(5,02-5) soit g(5,02)  231+40,20,02 231,804.

5. Calculer I=

∫

5

8e^0,2x−¹−x²50x5dx . En donner la valeur exacte.

I=

∫

5

8e^0,2^x−¹−x²50x5dx=

[

^e^0,2^0,2^x−¹⁻ ^x³³^50 ^x²²^5x

]

5 8

, donc I=e^0,2×8−1

0,2 −8³

350×8²

2 5×8−e^0,2×5−¹ 0,2 −5³

3 50×5²

2 5×5, soit I= 1

0,2e^0,6−1861.

La dernière question est une question bonus : elle est hors barême mais rapporte des points si elle est traitée et juste.

On considère la fonction g suivante : g :

1. Montrer que g est homogène et préciser son degré d'homogénéité.

Soient t, x1 et x2 trois réels quelconques.

donc g est homogène de degré 7.

2. Calculer g(2,1), g'_x1(2,1) et g'_x2(2,1).

g(2,1)=41, ℝ²ℝ

x1,x24x13

x24−5x27

7x1x62

gtx_1,tx₂=4t³x₁³t⁴x₂⁴−5t⁷x₁⁷7tx₁t⁶x₂⁶=t⁷4x₁³x₂⁴−5x₂⁷7x₁x₂⁶=t⁷gx_1,x₂

(6)

Pour tout couple (x1,x2) de on a :

et

Donc et .

3. Définir la différentielle de g au point (2;1), la noter dg(2;1) . Pour tout couple (h,k) de on a :

donc soit

4. Question BONUS : En déduire une valeur approximative de g(2,001;0,998).

Exercices obligatoires

➢ Exercice 1-1

On considère les matrices suivantes :

A=

(

^{1 2}^{4 1}^{0 5} ⁻³⁶³

)

^{, B=}

(

⁻⁴¹²

)

^{et C=}

⁽

¹³ ^{−1 4}⁵ ⁸

⁾

^.

On note aij (respectivement bij et cij) le terme général de la matrice A (respectivement B et C).

1. Quelles sont les tailles de ces matrices?

A de taille 33, B de taille 31 et C, 23.

2. Donner les valeurs de a12 , a21 , b31 et c23 . a12 =2, a21 =4, b31=2 et c23=4.

ℝ², g 'x₁x1,x2=4×3x12

x24

7x26

=12x12

x24

7x26

g 'x₂x1,x2=4×4x13

x23−5×7×x26

7×6×x1×x25

=16x13

x23−35x26

42x1x25

g '_x₁2,1=55 g '_x₂2,1=177

ℝ²,

dg__x_1,_x₂_:h , k g '_x₁x₁, x₂hg '_x₂x₁, x₂k dg__2,1:h , kg '_x₁2,1hg '_x₂2,1k dg__2,1:h , k55h177k

g2,001;0,998=g20,001 ,1−0,002=g2;1dg_2,10,001,−0,002

g2,001;0,998=4155×0,001177×−0,002=40,701

(7)

3. Remplacer . des relations par l'indice qui convient (donner toutes les solutions) : a..=1, b.1=1, c1.+c2.=4.

A contient deux fois le 1 : a11=1 et a22=1. De même b21=1 et c11+c21=1+3=4, c12+c22=5-1=4.

4. Ecrire les matrices A^T, B^T et C^T. Quelles sont leur dimension?

A^T=

(

¹²³ −3 6⁴¹ ⁰⁵

)

de taille 33 , B^T=(−4 1 2) de taille 13 et ^C^T⁼

(

¹⁵⁸ ⁻¹³⁴

)

^{de taille}

32.

^{et B=}



⁻¹¹³ ⁻³¹²



^.

1. Calculer lorsque cela est possible A+B, 2A-3B, A+B^T, 3A+5B et enfin xA+By où x et y sont des réels quelconques.

A et B sont de même taille donc on peut faire des combinaisons linéaires de ces deux matrices. En revanche A et B^Tont des formats différents donc A+B^T est impossible à faire.

^,

3A+5B=

(

⁻³⁶⁰ ⁻⁶³⁹

)

⁺

(

⁻¹⁵⁵⁵ ⁻¹⁵¹⁰⁵

)

⁼

(

⁻⁹⁵² ⁻⁶⁸⁴

)

^xA+yB=

2. Déterminer x et y pour que les éléments de la première ligne de xA+yB valent respectivement 5 et 7.

On doit résoudre le système

{

²^x^x ⁺^{- 3}^y^y ^{= 5}^{= 7} ^{. L}²^{ L}¹^-2L² donne -5y=-9 soit y=9/5=1,8 puis une des équations conduit à x=5,2.

(8)

On peut bien entendu utiliser une substitution pour résoudre le système.

➢ Exercice 1-3

On considère les matrices suivantes : A=

(

⁻¹¹¹ ⁻¹¹¹ ⁻¹−1¹

)

^{, B=}

(

^{1 1 0}^{1 1 1}^{0 0 1}

)

^.

1. Calculer AB, BA, A² et B².

On vérifie d'abord la compatibilité des matrices avant de faire le produit. A et B sont toutes deux de taille 33, on peut donc les multiplier et prendre leur carré.

AB :

soit

BA :

soit

On remarque donc que AB est différent de BA.

)

(

⁻¹¹¹ ⁻¹¹¹ ⁻¹−1¹

)

^× =

(

1×1−1×(−1)+1×1 1×(−1)−1×1+1×1 1×1−1×(−1)+1×(−1)

−1×1+1×(−1)−1×1 −1×(−1)+1×1−1×1 −1×1+1×(−1)−1×(−1) 1×1+1×(−1)−1×1 1×(−1)+1×1−1×1 1×1+1×(−1)−1×(−1)

)

(

⁻¹¹¹ ⁻¹¹¹ ⁻¹⁻¹¹

)

(9)

B² c'est à dire BB

soit

➢ 2. En déduire que (A-B)²A²-2AB+B².

A²-2AB+B² = -2 + =

A-B=

donc (A-B)² :

Ainsi

Donc (A-B)² A²-2AB+B² (attention aux reflexes).

➢ Exercice 1-4

Trois firmes A, B et C (numérotées 1, 2 et 3) partagent le marché d'un certain bien. La firme A détient 20% du marché, B 60% et C, 20%. Au cours de l'année suivante s'opèrent les transferts suivants :

A conserve 85% de ses clients, tout en cédant 5% à B et 10% à C.

B conserve 55% de ses clients, tout en cédant 10% à A et 35% à C.

B²=

(

^{2 2 1}^{2 2 2}^{0 0 1}

)

(

⁻³⁻¹³ ⁻¹⁻¹¹ ⁻¹¹¹

) 

^{1 1 0}^{1 1 1}^{0 0 1}

 (

^{2 2 1}^{2 2 2}^{0 0 1}

) (

⁻³⁻¹³ ⁻¹⁻¹¹ ⁻¹²⁰

) (

⁻¹⁻¹¹⁻⁰¹⁻¹ ⁻¹⁻¹¹⁻⁰¹⁻¹ ⁻¹⁻¹⁻¹⁻¹¹⁻⁰

)

⁼

(

⁻²⁰¹ ⁻²⁰¹ ⁻²⁻²¹

)

(

⁻²⁰¹ ⁻²⁰¹ ⁻²−2¹

)

(

⁻²⁰¹ ⁻²⁰¹ ⁻²−2¹

)

× =

(

0×0−2×(−2)+1×1 0×(−2)−2×0+1×1 0×1−2×(−2)+1×(−2)

−2×0+0×(−2)−2×1 −2×(−2)+0×0−2×1 −2×1+0×(−2)−2×(−2) 1×0+1×(−2)+(−2)×1 1×(−2)+1×0+(−2)×1 1×1+1×(−2)+(−2)×(−2)

)

)

^.

1. Donner une interprétation de titij, élément de la matrice T.

titij est la proportion de consommateurs j qui, la période suivante, deviennent des consommateurs i.

2. Calculet Ts et montrer que c'est aussi un vecteur de parts de marché et donnez-en une interprétation.

Ts est possible car T est de taille 33 et s de taille 31.

On a



^0,2^0,6^0,2



Donc ^Ts=

(

^0,25^0,35^0,4

)

Ts est un vecteur et la somme des composantes de ce vecteur est 0,25+0,35+0,4=1. Donc Ts est un vecteur de parts de marché.

Sa première composante s'obtient par 0,850,2+0,10,6+0,10,2. 0,850,2 est la part de marché que A conserve au bout d'un an, 0,10,6 est la part de marché que A gagne sur B et 0,10,2 est la part de marché que A gagne sur C. Ainsi la somme représente la part de marché de A au bout d'un an. C'est la même chose pour les autres lignes relatives

respectivement à B et C.

Ainsi Ts est le nouveau vecteur des parts de marché au bout d'un an.

➢ 3. Que représente le vecteur T(Ts)? On ne demande pas de le calculer.

En raisonnant comme à la question 2, on trouve que T(Ts) est le vecteur des parts de marché au bout de deux ans.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 1-5

1. On peut définir les puissances de matrice tout comme nous le faisons pour les nombres,

(

0,85 0,10 0,10 0,05 0,55 0,05

0,10 0,35 0,85

)

× =

(

0,85×0,2+0,1×0,6+0,1×0,2 0,05×0,2+0,55×0,6+0,05×0,2

0,1×0,2+0,35×0,6+0,85×0,2

)

(11)

à l'aide des relations suivantes : A¹=A et Aⁿ=AA^n-1=A^n-1A=A.A. ... A (n fois) pour n>1.

On considère la matrice suivante : A=

(

¹0 ⁻¹1

)

^.

Calculer A², A³ puis conjecturer l'expression de Aⁿ. La prouver par récurrence.

On peut calculer A² et A³ car elles sont carrées.

^A²⁼

(

(12)

1. Définition de la propriété

Soit P(n) la propriété définie pour n entier naturel >1 par : P(n) : ”Bⁿ=B“.

2. Vérification de la propriété au rang de départ

Montrons que P(n) est vraie au premier rang (ici 2 mais le premier rang est souvent 0) : Pour n=2, B²=B (voir question précédente) donc P(2) est vraie.

3. Vérification de l'hérédité

Hérédité : montrons que P(n) est héréditaire à partir du rang 2.

Supposons que pour UN entier n2, P(n) soit vérifiée.

On a donc : Bⁿ=B .

Calculons Bⁿ⁺¹ à partir de P(n) :

Bⁿ⁺¹=BⁿB=B Bⁿ=BB d'après l'hypothèse de récurrence donc Bⁿ⁺¹=B².

On trouve alors que la propriété est vraie au rang n+1.

Donc P(n+1) est vérifiée.

4. Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 2 ET elle est héréditaire.

Ainsi,  n 2 , B ⁿ =B.

Exercices en plus pour réviser



−¹1



^.

1. Calculer chacune des matrices suivantes quand elles sont définies :

A+B A-D 5B DC B^T A^TC^T

C+D B-A AB CE -D ( CE)^T

B+DC D-C CA EC (CA)^T E^TC^T

Sommes :

Somme possible pour des matrices de même taille.

A est de taille 23, B est de taille 23, C est de taille 22, D est de taille 22, et E est de taille 21.

On peut donc effectuer A+B, C+D, B-A D-C. Le produit d'une matrice par un nombre n'impose pas de condition sur le format de la matrice. On peut donc effectuer aussi 5B et -D.

, , , ⁵^B=

(

20⁰ −5 10⁵ ⁻⁵

)

^−D=

(

⁻²−1 ⁻¹−1

)

^,

Produits :

Ne sont possibles que les produits CA, DC, CE,(CA)^T,A^TC^T, (CE)^T, E^TC^T .

(13)

, , , ,

donc , , donc

2. Vérifier que ( DA)^T= A^TD^T.

D est de taille 22, et A de taille 23, on peut donc faire le produit DA :

donc et d'où

3. Vérifier que CDDC.

D et C sont carrées d'ordre 2, on peut donc les multiplier. Donc CD DC.

➢ Exercice 1-7

Vérifier que



²⁰⁵ ⁻³⁰^{1 2 1}^{1 4}^{6 0}

 

⁻²⁰¹^{1 0}³¹¹



⁼

^

^{10 21}⁵² ¹¹³

^

. Le produit dans l'autre sens est-il défini?

La règle sur le produit conduit bien à



^{10 21}⁵² ¹¹³



₍

¹2 −1³

)