CORRECTION TD 1 Chapitre 1 Semestre 1-2015/2016

CORRECTION Chapitre 1 TD 1 Semestre 1-2015/2016

Evolution d'une grandeur-Indices

Outils

➢ Exercice 1-1

1. Quelle réponse est exacte?

_i⁹₌₁i² est égale à 1²+2²+... +9² ou (1+2+...+9)² ou 1+1²+1³+...+1⁹ 2. On a le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 xk 3 2 8 6 9 6 9 yk 2 1,5 2,5 5,5 1 3,5 0,5 Calculer ^l=2

4 x_l²y_l,_n=1³ x_ny_n1

3. Calculer ^k=945 2009 3

1. ^i=1

9 i² = 1²+2²+... +9².

2.

_l⁴₌₂x_l²y_l=2²×1,58²×2,56²×5,5=364

_n=1³ xnyn1=31,5×22,5×85,5=273,375 . 3.

➢ Exercice 1-2

La consommation de pommes d'un ménage par an est donnée selon le type de pommes dans le tableau ci-dessous :

Variété i Prix unitaire (par kg) en € Quantité consommée en kg

Golden 2,80 10

Pink lady 3,90 5

Royal Gala 2,10 15

_k²⁰⁰⁹₌₉₄₅3=3×k=945

2009 1=3×2009−9451=3×1065=3195

Calculer le prix moyen du kg de pommes consommées dans ce ménage. Arrondir à 10^-2. De quelle moyenne s'agit-il?

On appelle pi le prix de la pomme n°i et qi la quantité consommée de la même pomme.

Moyenne arithmétique : ^x=i3=1_^piqi

k=1

3 q_i=2,8×103,9×52,10×15

10515 =79

30≈2,63€∈[2,10;3,90]

Variation d'une grandeur

➢ Exercice 1-3

1. Le nombre de ventes de roues électriques a triplé en un an! Calculer le taux de variation correspondant.

2. Louison fait un placement à court terme de 12 500€ qui lui rapportera 4% d'intérêts simples à échéance. Quelle sera le montant de son épargne à échéance?

3. Le prix d'un article TTC lorsque la TVA était de 19,6% était de 65,78€. Sans autre hausse que celle de la TVA, quel sera le nouveau prix après le passage du taux à 20%?

4. Début 1960, on dénombrait 100 000 rhinocéros noirs dans le monde. Début 2004, l'espèce ne compte plus que 3 000 spécimens (source WWF).

a. Calculer le taux de croissance global de la population de rhinocéros noirs entre 1960 et 2004.

b. Calculer le taux moyen annuel de cette population entre 1960 et 2004.

c. A ce rythme, en quelle année l'extinction de l'espèce aurait-elle été irréversible? (on estime que c'est irréversible en deça de 2 000 individus).

1. Coefficient multiplicateur CM= 3 donc taux t=(CM-1)×100=200.

Donc tripler correspond à une hausse de 200%.

2. 12 500×(1+4/100)=12 500 ×1,04=13 000€.

3. Le taux de TVA s'applique sur le prix HT donc, calculons le prix HT :

prix HT×(1+19,6/100)=prix HT×1,196=65,78 donc prix HT=65,78/1,196=55€. On applique maintenant la hausse de 20% ce qui donne : 55×(1+20/100)=55×1,2=66€.

4.a. D'après la formule ^taux=valeur finale−valeur initiale

valeur initiale ×100 , on obtient :

taux=3000−100000

100 000 ×100=−97 . Entre 1960 et 2004, le nombre de rhinocéros noirs a baissé de 97%.

b. Entre début 1960 et début 2004 se sont écoulées 2004-1960=44 années. Si t est le taux annuel moyen d'évolution entre début 1960 et début 2004 alors le coefficient multiplicateur est (1+t/100)⁴⁴ mais il est également donné par _{100 000}^{3000 =0,03 .} Ainsi t vérifie l'équation (1+t/100)⁴⁴ = 0,03 soit t=(0,03^1/44-1)×100≈ -7,7. Donc le taux annuel moyen entre 1960 et 2004 est -7,7%.

c. On cherche le nombre d'années n (donc entier naturel) à partir de 2004 à partir duquel on obtient moins de 2 000 individus partant de 3 000 individus subissant une baisse annuelle de 7,7%. Le coefficient multiplicateur sur n années avec un taux constant de -7,7% est (1-7,7/100)ⁿ soit 0,923ⁿ.

On doit donc résoudre l'équation d'inconnue n : 0,923ⁿ× 3 000 ≤ 2 000 donc n doit vérifier :

0,923ⁿ≤ 2 000/3000 d'où 0,923ⁿ≤ 2/3.

Ce type d'équation se résoud en prenant le logarithme népérien de chaque membre étant donné que cette fonction est strictement croissante sur ]0;+∞[.

On obtient : ln(0,923ⁿ)≤ ln(2/3).

A l'aide de la formule valable pour tout réel strictement positif a et tout entier naturel n, ln(aⁿ)=n ln(a), n ln(0,923)≤ ln(2/3).

ATTENTION : 0,923<1 donc ln(0,923)<0 donc n ≥ ln(2/3)/ln(0,923) soit n ≥ 5,06 donc n≥ 6 (n étant entier).

Donc une progression similaire à celle entre 1960 et 2004 aurait conduit à une extinction irréversible 6 ans après 2004 soit en 2010. Une réaction mondiale a permis d'inverser la courbe. On compte aujourd'hui 5 000 individus.

➢ Exercice 1-4

Le tableau ci-dessous donne, par année, le nombre de titres de presse éditeur en France :

année 2010 2009 2008 2007 2006 2005

Nombre de titres 4 530 4 559 4 588 4 764 4 550 Taux de variation

Source : insee

1. Sachant que le nombre de titres a baissé de 4,62% entre 2006 et 2007, calculer le nombre de titres en 2007 (arrondir à l'unité).

2. Calculer le taux de variation d'une année à l'autre (arrondir à 10^-2).

3. Calculer le taux de variation entre 2005 et 2008 (arrondir à 10^-2).

4. Calculer le taux de variation annuel moyen entre 2005 et 2008 (arrondir à 10^-2). Quel type de moyenne est alors utilisée?

1. Une baisse de 4,62% correspond à un coefficient multiplicateur de 1-4,62/100 soit 0,9538 donc le nombre de titres en 2007 vaut 4 764×0,9538 ≈ 4 544.

2. A l'aide de la formule du taux de variation en utilisant les nombres :

valeur finale−valeur initiale

valeur initiale ×100 , on trouve les taux relevés dans le tableau (ex de 2005 à 2006, le taux est de ⁴⁷⁶⁴⁻₄₅₅₀^{4550×100≈4,7} :

année 2010 2009 2008 2007 2006 2005

Nombre de titres 4 530 4 559 4 588 4 544 4 764 4 550 Taux de variation en % -0,64 -0,63 +0,97 -4,62 +4,7

3. Taux de variation entre 2005 et 2008. On peut le calculer de deux façons : Première méthode : avec la définition du taux

valeur en 2005 : 4 550 ; valeur en 2008 : 4 588 donc le taux est de

4588−4 550

4550 ×100≈0,84

Deuxième méthode : avec les coefficients multiplicateurs

Le coefficient multiplicateur de 2005 à 2008 est (1+4,7/100)×(1-4,62/100)×(1+0,97/100) soit environ 1,0083 dont le taux se calcule par la formule (CM-1)×100 et donne 0,83.

4. Soit t, le taux de variation annuel moyen. On a trois périodes entre 2005 et 2008 donc

le coefficient multiplicateur est (1+t/100)³. Il est aussi égal à (1+4,7/100)×(1-4,62/100)×(1+0,97/100)≈1,0083. On utilise ici une moyenne géométrique.

Il reste à résoudre (1+t/100)³=(1+4,7/100)×(1-4,62/100)×(1+0,97/100).

1+t/100≈1,0083^1/3 soit t≈ (1,0083^1/3 -1)×100≈ 0,28. Le taux annuel moyen est donc de 0,28%.

➢ Exercice 1-5

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du cours d'un titre en bourse par rapport au mois précédent :

date 15/01/2015 15/02/2015 15/03/2015 15/04/2015

Taux de variation +3,4% -2,1% -0,4% +4,6%

Indice base 100 au 15/12/2014

1. Calculer le taux mensuel moyen entre le 15/01/2015 et le 15/04/2015 (arrondir à 10^-2).

2. Calculer le taux de variation entre le 15/12/2014 et le 15/04/2015.

3. Traduire les taux de variation en indices base 100 au 15/12/2014 (arrondir au 10^-1).

1. Entre le 15/01/2015 et le 15/04/2015, on compte 3 mois. Le coefficient correspondant aux 3 mois au taux t moyen cherché est (1+t/100)³ et le coefficient correspondant aux 3 mois avec leur variation est (1-2,1/100)×(1-0,4/100)×(1+4,6/100)≈ 1,02

Ainsi, on a : (1+t/100)³ = (1-2,1/100)×(1-0,4/100)×(1+4,6/100) donc : t=([(1+2,1/100)×(1-0,4/100)×(1+4,6/100)]^1/3-1)×100 ≈ 0,66%.

2. Coefficient multiplicateur entre le 15/12/2014 et le 15/04/2015 : (1+3,4/100)×(1-2,1/100)×(1-0,4/100)×(1+4,6/100)≈ 1,0546.

Le taux de variation entre le 15/12/2014 et le 15/04/2015 est donné par la relation entre le taux et le coefficient : taux = (coefficient – 1) ×100 ≈ (1,0546−1)×100≈5,46%.

3. On cherche les indices en base 100 au 15/12/2014, ils subissent les mêmes taux de variation que le cours en bourse.

Ainsi l'indice au 15/12/2014 étant de 100, au 15/01/2015, il est de 100×(1+3,4/100)=103,4.

Entre le 15/01/2015 et le 15/02/2015, la baisse est de 2,1% donc l'indice au 15/02/2015 en base 100 au 15/12/2014 se calcule par 103,4×(1−2,1/100) ≈ 101,2.

De la même façon, l'indice au 15/03/2015 en base 100 au 15/12/2014 se calcule par 101,2×(1−0,4/100) ≈ 100,8.

Le dernier calcul donne : 100,8×(1+4,6/100) ≈ 105,46. On retrouve le taux calculé à la question 2.

date 15/01/2015 15/02/2015 15/03/2015 15/04/2015

Taux de variation +3,4% -2,1% -0,4% +4,6%

Indice base 100 au 15/12/2014 103,4 101,2 100,8 105,46

Indices-généralités

➢ Exercice 1-6

On donne ci-dessous le tableau de la dette publique en Europe en 2008.

pays Allemagne Espagne France Grèce Italie Zone euro

Dette en % du PIB 65,9 39,7 67,4 99,2 105,8 69,3

Indice base 100 zone euro

Source : eurostat (valeurs courantes)

1. Calculer l'indice de chaque pays en base 100 la zone euro Ipays/zone euro (arrondir à l'unité).

2. Expliquer le sens de IEspagne/zone euro.

3. A partir des indices précédemment calculés, trouver : Izone euro/Espagne,

Iitalie/Allemagne.

1. Soit ipays/zone euro= dette zone euro^{dette pays} l'indice en base 1 zone euro. Les propriétés sont simples en base 1. On cherche donc les indices en base 1 puis on multiplie par 100 pour les obtenir en base 100. On a Ipays/zone euro= ipays/zone euro × 100.

pays Allemagne Espagne France Grèce Italie Zone euro

Dette en % du PIB 65,9 39,7 67,4 99,2 105,8 69,3

Indice base 100 zone euro 95 57 97 143 153 100

On calcule par exemple, ^IFrance/zone euro=67,4

69,3×100≈97 .

2. IEspagne/zone euro=57 donc la part de la dette en Espagne est 100-57=43% plus faible que celle de la zone Euro.

3. Les indices sont des indices simples. D'après la propriété de réversibilité, izone euro/Espagne=1/iEspagne/zone euro et iEspagne/zone euro=0,57 donc izone euro/Espagne=1/0,57 soit Izone euro/Espagne=100/0,57 ≈ 175.

D'après la propriété de circularité : iitalie/Allemagne=iitalie/zone euro× izone euro/Allemagne=

i_{Italie/zone euro} iAllemagne/zone euro

=1,53

0,95≈1,61, donc Iitalie/Allemagne=iitalie/Allemagne × 100 = 161.

➢ Exercice 1-7

On donne l'indice de référence des loyers (IRL) base 100 au 4^ème trimestre 1998 (Tri1 13=

premier trimestre 2013) :

Tri1 13 Tri2 13 Tri3 13 Tri4 13 Tri1 14 Tri2 14 Tri3 14 Tri4 14 Tri1 15 Tri2 15 124,25 124,44 124,66 124,83 125 125,15 125,24 125,29 125,19 125,25 Source : insee

1. Calculer le taux trimestriel moyen entre le quatrième trimestre 2013 et le quatrième trimestre 2014.

2. Un bail de logement signé le 1er août 2014 pour un loyer mensuel de 500€, est révisable annuellement à la date d'anniversaire du contrat. La revalorisation du loyer correspond à la variation annuelle de l'IRL. Le trimestre à prendre en compte à défaut de clauses particulières est le dernier trimestre connu à la date de signature du bail (pour information

: IRL 1^er trimestre publié le 15 avril, IRL 2^ème trimestre publié le 15 juillet, IRL 3^ème trimestre publié le 15 octobre, IRL 4^ème trimestre publié le 15 janvier suivant). Calculer le nouveau loyer au 1er août 2015 (arrondir à 10^-2).

1. Le coefficient multiplicateur entre le 4^ème trimestre 2013 et le 4^ème trimestre 2014 se calcule simplement par la formule : ^valeur_valeur^4ème_4ème^trimestre_trimestre²⁰¹⁴₂₀₁₃^=125,29_124,83 .

Par ailleurs si t est le taux trimestriel moyen, sachant que l'on a quatre périodes entre les deux trimestres concernés, t doit vérifier : ^{1t/1004=125,29}_124,83 donc

t=125,29 124,83

1

4−1×100≈0,092 %.

2. Le trimestre à prendre en compte pour la révision du loyer est le 2^ème trimestre.

IRL 2^ème trimestre 2014 : 125,15 IRL 2^ème trimestre 2015 : 125,25

Entre ces deux périodes, l'IRL a été multiplié par ^125,25_125,15 . Le loyer est donc lui aussi multiplié par ^125,25_125,15 . Après révision, il vaut donc : ^500×125,25_125,15^≈500,40€ .

➢ Exercice 1-8

L'indice des prix à la consommation (ensemble des ménages, métropole, hors tabac) base 100 en 1990, valait 114 en juillet 1997.

Le nouvel indice base 100 en 1998 valait 125,77 en juillet 2014.

Le coefficient de raccordement est 1,148.

Calculer le taux de variation de ce nouvel indice entre juillet 1997 et juillet 2014.

Notons par I l'ancien indice (base 100 en 1990) et J le nouvel indice (base 100 en 1998).

Pour trouver le taux de variation du nouvel indice entre juillet 1997 et juillet 2014, nous avons besoin de J1997/1998 et J2014/1998. Or, l'énoncé indique que J2014/1998=125,77 et I1997/1990 = 114.

Pour trouver J1997/1998 nous devons utiliser le coefficient de raccordement qui permet d'écrire : ^{I1997/1990=1,148×J1997/1998} . Or I1997/1990 est connu : 114 donc

J_1997/1998=I1997/1990

1,148 = 114

1,148≈99,3 .

Taux d'évolution de J entre 1997 et 2014 : ^J2014/1998_J ^{−J1997/1998}

1997/1998

×100≈26,7 %.

Indices synthétiques

➢ Exercice 1-9

Un petit état réalise l'ensemble de ses recettes en exportant en totalité ses ressources naturelles (pétrole et or). Le tableau suivant fournit les quantités exportées en 2013 et 2014 (exprimées en barils pour le pétrole et en once pour l'or) de chacun des produits et les prix unitaires en $ de ces deux biens.

bien 01/01/2013 01/01/2014

Quantité q Prix p Quantité q Prix p

pétrole 300 629 280 712

or 450 28 440 31

1. Calculer l'indice du chiffre d'affaires (indice de valeur) le 01/01/2014 base 100 le

01/01/2013 I(V)2014/2013 (avec une précision de 10^-1). En déduire le taux de croissance des exportations entre 2013 et 2014.

2. Calculer les indices de Laspeyres et de Paasche des prix et des quantités au 01/01/2014 base 100 le 01/01/2013. Retrouver I(V)2014/2013 de deux façons.

3. Calculer l'indice de Fischer des prix.

1. On a la relation :

IV_2014/2013=_i=1² p_i,2014q_i,2014

_i=1² p_i,2013q_i,2013×100 (attention, si on cherche l'indice en base 100, il ne faut

pas oublier le produit par 100). Donc :

IV_2014/2013=280×712440×31

300×629450×28×100=213 000

201 300×100≈105,8. L'indice est donc 105,8.

2. En utilisant les définitions, on obtient : Indices de Laspeyres :

des prix :

donc ^{Lp2014/2013≈113.}

des quantités :

donc

Indices de Paasche : des prix :

donc ^{Pp2014/2013≈113.}

des quantités :

donc ^{Pq2014/2013≈93,6 .}

On a I(V)2014/2013=L(p)2014/2013 ×P(q) 2014/2013

et I(V)2014/2013=L(q)2014/2013 ×P(p) 2014/2013 ≈ 0,936 × 1,13 × 100 ≈ 105,8 .

Les relations sont en base 1, ne pas oublier de diviser chaque indice par 100 puis de multiplier le résultat par 100 pour avoir un indice base 100.

3. On a l'indice de Fischer des prix (avec les indices de Laspeyres et Paasche en base 1) :

Fp_2014/2013=^Lp2014/2013×Pp_2014/2013×100 donc ^Fp2014/2013=1,13×1,13×100 donc

Fp_2014/2013=113.

Lq_2014/2013≈93,6.

Lq_2014/2013=_i=1² p_i,2013q_i,2014

_i=1² p_i,2013q_i,2013×100=280×629440×28

300×629450×28×100=188 440 201 300×100, Lp_2014/2013=_i=1² p_i,2014q_i,2013

_i=1² p_i,2013q_i,2013×100=300×712450×31

300×629450×28×100=227550 201300×100,

Pp_2014/2013=_i=1² pi,2014qi,2014

_i=1² p_i,2013q_i,2014×100=280×712440×31

280×629440×28×100=213 000 188 440×100.

Pq_2014/2013=_i²₌₁p_i,2014q_i,2014

_i²₌₁p_i,2014q_i,2013×100=280×712440×31

300×712450×31×100=213000 227550×100.

➢ Exercice 1-10

D'après partiel 2014/2015

La société autosecur spécialiste de l'automatisation de fermetures commercialise trois types d'automatisme de portails coulissants. Le tableau ci-dessous indique en juin 2014 la répartition du chiffre d'affaires du poste “automatisme de portails” ainsi que l'indice des prix en juin 2014 base 100 en juin 2010 pour chaque type d'automatisme :

Part de chaque portails en

juin 2010 dans le budget Indice des prix en

juin 2014 base 100 en juin 2010

Type 1 45% 108

Type 2 30% 112

Type 3 25% 110

1. Calculer le taux de variation annuel moyen du prix de l'automatisme de type 2 entre juin 2010 et juin 2014.

2. On souhaite calculer en juin 2014, un indice base 100 en juin 2010 permettant de quantifier l'évolution des prix de cet ensemble d'automatismes.

a. Quel indice pouvez-vous calculer? Pourquoi?

b. Calculer cet indice.

3. On vous indique que l'indice de Paasche des quantités en juin 2014 base 100 en juin 2010 est égal à 106,50. Déterminer l'évolution du chiffre d'affaires du poste “automatisme de portails” entre juin 2010 et juin 2014. Commenter le résultat.

1. indice en juin 2014 : 112 et en juin 2010 : 100 donc le coefficient multiplicateur entre ces deux dates est de 112/100=1,12.

4 années se sont écoulées entre juin 2010 et juin 2014. Si t est le taux annuel moyen, le coefficient correspondant est (1+t/100)⁴, d'où l'égalité (1+t/100)⁴=1,12 donc

t=(1,12^1/4-1)×100 ≈ 2,87%.

2.a. Les parts budgétaires sont celles de 2010, on ne peut donc calculer que l'indice de Laspeyres des prix.

b. ^{Lp2014/2010= i=13} _^qi,2010

i=1

3 q_i,2010Ip_i_2014/2010 où les qi sont les parts budgétaires en 2010 et I(pi)2014/2010 sont les indices des prix base 100 en 2010 pour chaque type de portails i.

Lp_2014/2010=0,45×1080,30×1120,25×110=109,7 . L'indice est donc de 109,7.

Soit I(V)2014/2010 , l'indice du chiffre d'affaires en 2014 base 100 en 2010 (indice de valeur).

On a la relation :

I(V)2014/2010=L(p)2014/2010 ×P(q) 2014/2010 donc I(V)2014/2010=(109,7/100)×(106,5/100)×100 I(V)2014/2010 ≈116,83.



➢ Exercice 1-11

Les résultats seront arrondis à 10^-1.

Le service statistique d'une grande entreprise américaine a réalisé une étude sur l'évolution des prix d'un ensemble de services répartis sur trois groupes A, B et C entre

2009 et 2013. Les résultats sont les suivants : groupes Prix unitaires en 2009 pi Indice des prix en

2013 base 100 en 2009 Quantités consommées en 2009, qi

A 250 112 160

B 110 140 220

C 320 120 70

Les résultats concernant la consommation entre 2009 et 2013 sont les suivants:

augmentation de 10% pour le service A, diminution de 15% pour le service B, aucune variation pour le service C,

1. Calculer les prix unitaires et les quantités consommées en 2013.

2. Calculer en 2013, l'indice de Laspeyres base 100 en 2009 permettant de quantifier l'évolution des prix de cet ensemble de services.

3. Calculer en 2013, l'indice de Paasche base 100 en 2009 permettant de quantifier l'évolution des quantités de cet ensemble de services.

a. A l'aide des deux indices précédents, calculer le taux de variation du chiffre d'affaires entre 2009 et 2013.

b. Retrouver le résultat précédent par un autre calcul.

1. D'après l'énoncé :

groupes Prix unitaires en 2013 Quantités consommées en 2013

A 250×112/100=280 160×(1+10/100)=176

B 110×140/100=154 220(1−15/100)=187

C 320×120/100=384 70

2. Indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2009

= Lp_2013/2009=_i=1³ p_i,2013q_i,2009

_i=1³ p_i,2009q_i,2009×100=280×160154×220384×70

250×160110×220320×70×100=105560

86 600×100≈121,89.

3. Indice des quantités de Paasche en 2013 base 100 en 2009

= _Pq

2013/2009=_i=1³ p_i,2013q_i,2013

_i=1³ pi,2013qi,2009

×100=280×176154×187384×70

280×160154×220384×70×100=104 958

105560×100≈99,43.

4.a. Si I(V)2013/2009 est l'indice du chiffre d'affaires (indice de valeur) en 2013 base 100 en 2009, On a :

I(V)2013/2009=L(p)2013/2009 ×P(q) 2013/2009 donc I(V)2013/2009=(121,89/100)×(99,43/100)×100 ≈ 121,2. Α partir de l'indice en 2013 base en 2009 nous pouvons calculer directement le taux de variation du chiffre d'affaires entre 2009 et 2013 : I(V)2013/2009-100 (car l'indice est en base 100 en 2009).

Donc le taux est 121,2-100 soit +21,2%.

b.On peut calculer directement l'indice en appliquant :

IV_2013/2009=_i=1³ p_i,2013q_i,2013

_i=1³ pi,2009qi,2009

×100=280×176154×187384×70

250×160110×220320×70×100=104 958

86 600 ×100≈121,2.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 1-12

1. Ecrire avec le symbole Σ, la somme suivante :

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier n>0, ^i=1

n i=nn1

2 .

b. En déduire l'expression de ^i=1

n 3i1 .

3. a. On définit n!= _k=1ⁿ k (se lit factorielle n). Par convention 0!=1.

Calculer 1!, 6! Vérifier avec la calculatrice.

b. A partir de cette fonction, on définit, pour tous entiers naturels n et k tels que k≤n C_n^k par _{k !n−}^n! _k! . Calculer C₃⁰ , C₃¹ , C₃² et C₃³ . Que valent C_n⁰ , C_n¹ et C_nⁿ⁻¹ quelles que soient les valeurs de n?

c. La formule du binôme de Newton permet de développer (a+b)ⁿ pour tous réels a et b grâce à la formule :

abⁿ=_kⁿ₌₀C_n^ka^kb^n−k . Appliquer cette formule à (a+b)³ pour tous réels a et b.

d. En utilisant cette formule à des valeurs particulières de a et b, calculer ^k=0

n C_n^k .

1.

2. a. 1. Définition de la propriété

Soit P(n) la propriété définie pour n entier naturel >0 par : P(n) : '' ^i=1

n i=nn1

2 “.

2. Vérification de la propriété au rang de départ Montrons que P(n) est vraie au premier rang : Pour n=1, ¹⁼²₂ donc P(1) est vraie.

3. Vérification de l'hérédité

Héréditié : montrons que P(n) est héréditaire à partir du rang 1.

Supposons que pour UN entier n≥1, P(n) soit vérifiée.

On a donc : ^i=1

n i=nn1

2

Calculons ^i=1

n1i à partir de P(n) :

_i=1^n1i=_i=1ⁿ in1=nn1

2 n1=nn12n1

2 =n1n2

2

On trouve alors que la propriété est vraie au rang n+1.

Donc P(n+1) est vérifiée.

4. Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 1 ET elle est héréditaire.

Ainsi, ∀ n ≥1, ^{in=1i=nn1}₂ . b. ^i=1

n 3i1=3×_i=1ⁿ i_iⁿ₌₁1 . On applique P(n), donc :

_iⁿ₌₁3i1=3×nn1

2 n=n3n5

2 .

3. a. 1!=1 et 6!=6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1=720.

S=1 22

43

8... 10 1024.

S=1 22

43

8... 10 1024=1

2¹2 2²3

2³...10

2¹⁰=_i=1¹⁰ i 2ⁱ.

b. ^C3

0= 3!

0!3−0!=1; C₃¹= 3!

1!3−1!=3; C₃²= 3!

2!3−2!=3; C₃³= 3!

3!3−3!=1.

De même, ^Cn

0= n!

0!n−0!=1; C_n¹= n !

1!n−1!=n ;C_nⁿ⁻¹= n!

n−1!n−n−1!=n ;C_nⁿ= n!

n!n−n!=1.

c. ^{ab3= }k=0

3 C₃^ka^kb^3−k=a³3a²b3ab²b³.

d. Pour a=b=1, on obtient : ^{11n= }k=0

n Cn

k1^k1^n−k= _k=0ⁿ Cn

k or (1+1)ⁿ=2ⁿ donc ^k=0

n Cn

k=2ⁿ.

➢ Exercice 1-13

Un automobiliste parcourt 27 km à la vitesse de 90 km/h puis sur l'autoroute, il parcourt 104 km à 130 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble de trajet? Arrondir à l'unité. Quelle est la moyenne appropriée?

Moyenne harmonique :

A partir de la formule ^v=d_t où v est la vitesse en km/h, d est la distance en km et t le temps en heure, on trouve ^t=d_v . On applique ceci pour trouver le temps de parcours de chaque portion :

première portion : ^t1=27

90 ; deuxième portion : ^t2=104

130 . Ainsi le temps total de parcourt est t=t1+t2= ₉₀^27104₁₃₀ .

De plus la distance totale parcourue est 27+104=131 km.

Donc la vitesse moyenne est donnée par ^v=27^27104 90104

130 . On reconnaît ainsi la formule de la moyenne harmonique.

On obtient : ^v=131_1,1^≈119km/h.

➢ Exercice 1-14

Dans un pays, le taux annuel d'inflation est constant égal à 10%. Combien d'années cela prendra t-il pour que les prix doublent?

Si les prix doublent alors le coefficent multiplicateur est de 2 sur n années, n étant le nombre cherché. Par ailleurs, un taux annuel constant égal à 10% sur n années donne un coefficient multiplicateur de (1+10/100)ⁿ=1,1ⁿ. n doit donc vérifier l'égalité 1,1ⁿ=2.

Pour résoudre cette équation, on doit prendre le logarithme népérien de chaque membre, donc : ln( 1,1ⁿ)=ln(2) donc n ln(1,1)=ln(2) soit n=ln(2)/ln(1,1) ≈ 7,3 donc 8 années sont nécessaires pour que les prix doublent.

➢ Exercice 1-15 1. Calculer ^j=1

3 _i=2⁶ i×j et ^i=2

5 ij pour tout réel j.

2. Démontrer que pour tout entier n et toute suite de valeurs xi, ^i=1n x_i−x²= _i=1ⁿ x_i²−nx²

où ^x désigne la moyenne arithmétique des valeurs xi. 1. ^j=1

3 _i=2⁶ i×j=³_j=12j3j4j5j6j=³_j=120j=20³_j=1j=20×123=120 .

_i⁵₌₂ij=_i=2⁵ ij_i=2⁵ 1=2345j5−21=144j.

2. ^i=1

n x_i−x²=_iⁿ₌₁x_i²−2x×x_ix²=_i=1ⁿ x_i²−2x_i=1ⁿ x_ix²_i=1ⁿ 1=_i=1ⁿ x_i²−2x_i=1ⁿ x_inx² . Par définition de la moyenne arithmétique, x=_i=1ⁿ x_i

n donc ^i=1

n x_i=nx .

Donc ^i=1

n xi−x²=_iⁿ₌₁xi

2−2x_i=1ⁿ xinx²= _iⁿ₌₁xi

2−2x nxnx²=_i=1ⁿ xi

2−nx² .

➢ Exercice 1-16

Un objet voit son prix augmenter de 3% par an pendant 5 ans puis de 60% en 10 ans et passe ensuite en 5 ans de l'indice 135 à 178 pour ensuite baisser de 2% par an pendant 4 ans. Quel est le taux annuel d'évolution de ce prix? On arrondira le résultat avec 2 décimales.

Le calcul du taux passe par le coefficient multiplicateur. Calculons ce taux, par période évoquée dans le texte :

augmentation de 3% par an pendant 5 ans : coef=(1+3/100)⁵=1,03⁵

augmentation de 60% en 10 ans : coef=1+60/100=1,6

passage en 5 ans de l'indice 135 à 178 : coef =178/135

baisse de 2% par an pendant 4 ans : coef=(1-2/100)⁴=0,98⁴

Pour trouver le taux moyen annuel, nous devons connaître le nombre d'années : 5+10+5+4=24 ans.

Ainsi, si t est le taux moyen annuel, il vérifie :

(1+t/100)²⁴=1,03⁵ × 1,06 × ¹⁷⁸₁₃₅ × 0,98⁴ ≈ 1,4944539

Donc t≈ (1,4944539^1/24-1)× 100 ≈ 1,69%. Le taux moyen annuel est donc d'environ +1,69%.

➢ Exercice 1-17

Le tableau suivant type insee donne l'évolution des prix d'un ensemble de produits par catégories :

Produits Coefficients budgétaires Indice des prix 2013

base 100 en 2008

2008 2013

Catégorie A 0,25 0,20

Produit A1 0,10 0,07 210

Produit A1 0,08 0,06 185

Produit A1 0,07 0,07 180

Catégorie B 0,30 0,40

Produit B1 0,06 0,13 190

Produit B2 0,12 0,12 165

Produit B3 0,07 0,08 150

Produit B4 0,05 0,07 160

Produit C 0,45 0,40

Produit C1 0,25 0,25 105

Produit C2 0,20 0,15 140

Calculer l'indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 pour chacune des trois catégories de produits.

Calculer l'indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 pour l'ensemble des produits en utilisant la propriété d'agrégation puis par un calcul direct.

Indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 pour la catégorie A :

^Lp2013/2008=_i³₌₁ qi,2008

_i=1³ q_i,2008Ip_i_2013/2008=_i³₌₁qi,2008Ipi_2013/2008

_i=1³ q_i,2008 où les qi sont les parts

budgétaires en 2008 et I(pi)2013/2008 sont les indices des prix base 100 en 2008 pour chaque type de produits A.

Donc ^LAp2013/2008=0,10×2100,08×1850,07×180

0,25 =193,6. .

Indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 pour la catégorie B:

^LBp2013/2008=_i⁴₌₁ q_i,2008

_i⁴₌₁q_i,2008Ip_i_2013/2008=_i=1⁴ q_i,2008Ip_i_2013/2008

_i=1⁴ q_i,2008 où les qi sont les parts

budgétaires en 2008 et I(pi)2013/2008 sont les indices des prix base 100 en 2008 pour chaque type de produits B.

Donc ^LBp2013/2008=0,06×1900,12×1650,07×1500,05×160

0,30 ≈165,7.

Indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 pour la catégorie C:

^LCp2013/2008=_i²₌₁ q_i,2008

_i²₌₁qi,2008

Ip_i_2013/2008=_i²₌₁q_i,2008Ip_i_2013/2008

_i²₌₁qi,2008 où les qi sont les parts

budgétaires en 2008 et I(pi)2013/2008 sont les indices des prix base 100 en 2008 pour chaque type de produits C.

Donc ^LCp2013/2008=0,25×1050,20×140

0,45 ≈120,6.

Les dépenses étant données par groupe (A, B et C) et connaissant les indices des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 de chaque groupe, nous pouvons calculer l'indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 en calculant la moyenne pondérée par la proportion de chaque groupe, des indices (propriété d'agrégation).

Donc

Lp_2013/2008= part de A

somme des parts×L^Ap_2013/2008 part de B

somme des parts×L^Bp_2013/2008 part deC

somme des parts×L^Cp_2013/2008

soit ^{Lp2013/2008}≈0,25×193,60,3×165,70,45×120,6≈152,38 (car 0,25+0,3+0,45=1).

Le calcul direct est :

Lp2013/2008=0,10×2100,08×1850,07×1800,06×1900,12×1650,07×1500,05×1600,25×1050,20×140=152,35