• Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur la feuille de papier ministre ainsi que sur l’énoncé et le brouillon.
• L’examen se déroule de 12H30 à 13H30.
• Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel.
• Répondez aux deux questions sur la même feuille de papier ministre.
• Déposez votre carte d’identité sur le banc.
• Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!
Question 1 – Théorèmes généraux + Frottements /10
Un cycliste et son vélo sont représentés sur le schéma ci-dessous. On considère l’ensemble vélo-cycliste comme un corps solide indéformable de masse M. Celui-ci est d’une part posé sur un sol horizontal et d’autre part lié à une masse m par l’intermédiaire d’un système corde poulie. La corde est fixée au centre de masse de l’ensemble vélo-cycliste.
Le coefficient de frottement statique entre un pneu et le sol est . La distance entre l’axe de la roue avant et l’axe de la roue arrière est L. Le rayon des roues est r. Le centre de masse du système cycliste-vélo se trouve à une hauteur h au-dessus du sol et à une distance d mesurée horizontalement depuis l’axe de la roue arrière. On suppose le système à l’équilibre.
Q1.1 : Le cycliste actionne uniquement le frein avant. Quel(s) cas de figure est(sont) envisageable(s) ? Si il y a plusieurs cas, donnez la condition sur pour être dans un cas ou un autre. Pour chaque cas, faites l’étude statique du système par la méthode des théorèmes généraux. Déterminez la masse m maximale que l’on peut suspendre au bout de la corde ainsi que les autres inconnues du problème?
On commence par déterminer le DCL du solide.
Mg
N2 N1
T1 mg
x
y
Page 2 / 5 En fonction de la valeur du coef de frottement, 2 cas sont possibles :
1er cas : basculement, dans ce cas 0 au moment ou le corps commence à basculer.
Le système des équations d’équilibre s’écrit : 0: 0
0: 0
0: . . 0
La résolution du système permet de trouver les inconnues suivantes :
2ème cas : glissement, dans ce cas le frottement est maximum au moment ou le corps commence à glisser et on a .
Le système des équations d’équilibre s’écrit : 0: 0
0: 0
0: . . . 0
La résolution du système permet de trouver les inconnues suivantes :
1
1 1
!" )
La condition sur le coef de frottement est obtenue dans le cas où le cycliste bascule et glisse et 0 . Après résolution du système d’équation, on trouve les inconnues :
Si le coef est supérieur, on a basculement. Si il est inférieur on a glissement.
Q1.2 : Le cycliste actionne uniquement le frein arrière. Mêmes questions que Q1.1.
On commence par déterminer le DCL du solide :
Ici le basculement n’est plus possible. Le corps va glisser et la force de frottement vaut . Attention à la force normale sur la roue arrière qui doit rester orientée vers le haut. N2 ne peut pas être négative.
Le système d’équation s’écrit : 0: 0 0: 0
0: . . . 0
La résolution du système permet de trouver les inconnues suivantes : 1
1
1
1 1
#
"
! " $)
Mg
N2 N1
T2
mg
x
y
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Question 2 – Travaux virtuels /10
Le schéma ci-dessous représente un dispositif médical A de masse m monté sur un mécanisme à barres articulées. La partie supérieure du mécanisme est constituée d’une tige filetée et d’un écrou qui permettent un positionnement en hauteur du dispositif. Le réglage de la hauteur s’obtient par rotation de la tige filetée (application d’un moment de force M) qui aura pour effet de modifier la distance BC. Le pas de vis de la tige filetée est L. La longueur des barres est 2b. L’angle entre 2 barres vaut %(cf. schéma). On néglige les frottements dans le mécanisme et on considère le système à l’équilibre.
Q2 : Déterminez, par la méthode des travaux virtuels, la relation donnant le moment de force M en fonction de la masse du dispositif pour des valeurs données de b, L et %.
On choisit un déplacement virtuel compatible avec les liaisons qui fait travailler le poids du dispositif ainsi que le moment de force M. De cette manière, on obtiendra une équation faisant intervenir l’inconnue que l’on veut déterminer en fonction du poids de la lampe. Le déplacement consiste en un accroissement de l’angle & d’une amplitude '&.
La coordonnée en Y (axe vertical positif vers le bas) du centre de masse du dispositif est définie à une constante près par : () 5+ cos/
Le déplacement virtuel du dispositif est : '() 0
+ sin/
'&
Le travail du poids s’écrit : '34 .0
+ sin/
'&
La rotation virtuelle '& va provoquer la rotation de la tige filetée et une modification de la distance BC. La distance BC est définie à une constante près par : 5 2+ sin/
La variation de la distance BC est : '5 + cos/
'&
D
La variation de distance doit être convertie en angle : 7 28 '5 79
'5 9:
cos/
'&
Le travail du moment de force s’écrit : '3; .9:
cos/
'&
Le travail virtuel total du système s’écrit alors : '3 .28+
cos&
2'& .5 2+ sin&
2'& 0 <'&
Le moment de force pour une position d’équilibre donnée vaut : 5
48 tan&
2
