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• Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur chaque feuille de papier ministre ainsi que sur l’énoncé et le brouillon.
• L’examen se déroule de 14H00 à 17H00.
• Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel.
• Répondez aux questions 1 et 2 sur la même feuille de papier ministre.
• Répondez aux questions 3 et 4 sur des feuilles séparées.
• Déposez votre carte d’identité sur le banc.
• Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!
Question 1 /4
Un point pesant de masse m est lié à une courbe circulaire polie (pendule simple).
Q1.1 : Ecrivez les équations du mouvement dans les axes intrinsèques.
En coordonnée polaire, l’accélération vaut : 1 2 1
Et si le rayon est constant : 1 1
Equation du mouvement selon l’axe 1: sin (1) Equation du mouvement selon l’axe 1: cos (2) Q1.2 : En déduire la tension dans le câble et la vitesse angulaire.
12
(1) devient : !!" sin #$ cos $ cos 2cos cos $ $
(2) devient : 2cos cos $ $ cos &%&% 3 cos 2 cos $ $
3 cos 2 cos $ $
(2
cos cos $ $ au signe près Q1.3 : Déterminez les conditions d’annulation de la vitesse et de repli du fil.
$ 04
$ 0
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Question 2 /5
Un bloc de masse m (assimilé à un point matériel) est posé à l’intérieur d’un cône comme représenté sur le schéma ci-dessous. Le cône est en rotation à vitesse angulaire 3 constante. Le coefficient de frottement entre le cône et le bloc est 4$. Le bloc est placé à une distance R de l’axe de rotation du cône. L’angle entre l’horizontale et le bord du cône est .
Q2 : Déterminez la plage de vitesse de rotation 3 pour laquelle le bloc reste immobile par rapport au cône.
La vitesse de rotation minimale est obtenue pour le cas limite suivant où la force de frottement est maximum vers l’extérieur.
Les équations du mouvement sont :
3 4$cos sin 0 cos 4$sin La solution du système d’équations est :
cos 4$sin
3 (
cos 4$sin sin 4$cos
La vitesse de rotation maximale est obtenue pour le cas limite suivant où la force de frottement est maximum vers l’intérieur.
G
T N
a x
y
Les équations du mouvement sont :
3 4$cos sin 0 cos 4$sin La solution du système d’équations est :
cos 4$sin
3 (
cos 4$sin sin 4$cos G
T N
a x
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Question 3 /6
Le schéma ci-dessous représente un dispositif médical A de masse m monté sur un mécanisme à barres articulées. La partie supérieure du mécanisme est constituée d’une tige filetée et d’un écrou qui permettent un positionnement en hauteur du dispositif. Le réglage de la hauteur s’obtient par rotation de la tige filetée (application d’un moment de force M) qui aura pour effet de modifier la distance BC. Le pas de vis de la tige filetée (déplacement horizontal de l’écrou qui correspond à une rotation de la tige filetée de 360°) est L. La longueur des barres est 2b. L’angle entre 2 barres vaut (cf. schéma). On néglige les frottements dans le mécanisme et on considère le système à l’équilibre.
L’hélice de la tige filetée est dextrogyre, c’est-à-dire que B se déplace vers la gauche pour une rotation de la tige dans le sens indiqué par M sur le dessin.
Q3 : Déterminez, par la méthode des travaux virtuels, la relation donnant le moment de force M en fonction de la masse du dispositif pour des valeurs données de b, L et .
On choisit un déplacement virtuel compatible avec les liaisons qui fait travailler le poids du dispositif ainsi que le moment de force M. De cette manière, on obtiendra une équation faisant intervenir l’inconnue que l’on veut déterminer en fonction du poids de la lampe. Le déplacement consiste en un accroissement de l’angle 6 d’une amplitude 76.
La coordonnée en Y (axe vertical positif vers le bas) du centre de masse du dispositif est définie à une constante près par : 89 5: cos;
Le déplacement virtuel du dispositif est : 789 <: sin;76 Le travail du poids s’écrit : 7=> .<: sin;76
distance BC est définie à une constante près par : @A 2: sin; La variation de la distance BC est : 7@A : cos;76
La variation de distance doit être convertie en angle : B C 2D
7@A C EF 7@A EGF cos;76 Le travail du moment de force s’écrit : 7=H I. EGF cos;76
Le travail virtuel total du système s’écrit alors : 7= I.2D:
B cos6
2 76 .5 2 : sin6
2 76 0 J76
Le moment de force pour une position d’équilibre donnée vaut : I 5B
4D tan6 2
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Question 4 /5
On considère le ventilateur oscillant schématisé sur la figure ci-dessous. Le rotor a pour axe Ox’. L’axe du rotor oscille dans le plan Oxy autour du point O, suivant la loi de mouvement : E
Lsin 3 M avec 3 une constante positive.
L’hélice à deux pales du ventilateur, de centre A, tourne autour de Ox’ à vitesse angulaire : N 3 avec 3 une constante positive.
La distance OA est égale à R, la longueur des pales est L.
Q4.1 : Déterminez les composantes dans AXYZ de la vitesse absolue de P.
OPQGR 3S T UVWWWW 3S N1WX 1WY 3 1WXD
3 3 cos 3 M 1WY 3 1WXD
3 3 cos 3 M sin N 1WZ cos N 1W[ UVWWWW 1WX B1W[
OPQGR BD
3 3 cos 3 M sin N 1WX \B3 D
3 3 cos 3 M cos N] 1WZD
3 3 cos 3 M sin N 1W[
Q4.2 : Déterminez les composantes dans AXYZ de l’accélération absolue de P.
^PQGROPQGR
M |QGROPQGR
M |`a 3S T OPQGR
OPQGR
M |`a B sin N 3 cos N1WX cos N 3 sin N1WZ sin N 3 cos N1W[
3S T OPQGR B3 cos N1WX B sin N cos N 3 sin N1WZ B3 3 cos N B sin N 1W[
