NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 9 - durée : 4 h ECE 1 2 juin 2010 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
On considère le couple (X;Y), dont la loi est donnée par le tableau suivant :
H HH
H HH X
Y 1 2 4
1 3
10 1
10 0
2 1
10 1 4
1 20
4 0 1
20 3 20
1. Donner X(Ω)etY(Ω).
2. Décomposer l'évènement {X= 1}suivant les valeurs prises par Y. 3. En déduire P(X= 1).
4. Compléter le tableau.
5. Comparer les lois deX etY.
6. Vérier que E(X) = 2, puis calculer E(Y),V(X) etV(Y). 7. Déterminer la loi de la v.a.XY.
8. En déduire alors que Cov(X;Y) = 9 10. 9. Calculer Corr(X;Y).
10. Interpréter le résultat.
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Exercice II.
Une urne contient des boules bleues, vertes et rouges avec les proportions respectives p, q, r, vériant 0< p <1, 0< q <1, 0< r <1 et p+q+r= 1.
On eectue des tirages successifs avec remise, et on s'arrête au premier changement de couleur.
On noteX la variable aléatoire égale au nombre de tirages eectués.
∀n ∈ N∗ , on note Bn = {le ne tirage donne une boule bleue}, et de même Vn et Rn pour les autres couleurs.
Partie A.
1. Déterminer X(Ω).
2. ∀n≥2 , exprimer l'évènement {X =n} en fonction des évènements du type Bk,Vk etRk. 3. En déduire que P(X=n) = (1−p)pn−1+ (1−q)qn−1+ (1−r)rn−1.
4. Expliquer pourquoi X admet une espérance, et montrer que E(X) = 1
1−p + 1
1−q + 1 1−r −2.
Partie B.
On considère la fonction f dénie parf(x;y) = 1
1−x + 1
1−y + 1 x+y. On étudie ici f sur l'ensemble D=
(x;y)∈R2
x >0, y >0 et x+y <1
. 1. Vérier que f est bien dénie sur cet ensemble, et le dessiner dans le planR2. 2. a. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 def, pour (x;y)∈D.
b. Démontrer que l'unique point critique de f est 1
3;1 3
(ie le couple (x0;y0) pour lequel elles s'annulent simultanément).
3. a. Calculer les dérivées partielles secondes de f, pour(x;y)∈D. b. Calculer
∂2f
∂x2 1
3;1 3
. c. Calculer ∆ =
∂2f
∂x2 1
3;1 3
∂2f
∂y2 1
3;1 3
− ∂2f
∂x∂y 1
3;1 3
2
.
On admet quef atteint un minimum en 1
3;1 3
. Partie C.
1. Exprimer E(X) à l'aide de la fonction f, et de p etq.
2. Comment doit être composée l'urne pour, qu'en moyenne, on obtienne des boules de deux couleurs diérentes le plus vite possible ? Justier.
3. Quel est dans ce cas le nombre moyen de coups nécessaires ?
2
Exercice III.
1. Vérier que Z 1
8 1 2
dt ln(t) >0.
On considère la fonction F dénie sur ]−1; 1[ par : F(x) =
Z x3
x
dt
ln|t|, si x∈]−1; 0[∪]0; 1[, et F(0) = 0. 2. Justier l'existence de l'intégrale pour x∈]0; 1[.
3. Montrer que f est impaire. (on utilisera un changement de variable simple) 4. En déduire que l'on peut restreindre l'étude deF à[0; 1[.
On étudie donc F sur [0; 1[, puis on en déduit son comportement sur ]−1; 1[.
5. Vérier que Z x3 x
dt
tln(t) = ln(3), pour x∈]0; 1[. 6. Soit x∈]0; 1[ . Montrer successivement que :
a. Pour tcompris entre x etx3, on a 1 x ≤ 1
t ≤ 1 x3. b. 1
x Z x3
x
dt ln(t) ≤
Z x3
x
dt
tln(t) ≤ 1 x3
Z x3
x
dt ln(t).
c. Pour x∈]0; 1[, on a x3ln(3)≤F(x)≤xln(3).
7. a. En déduire que F est continue à droite en 0, puis continue sur]−1; 1[. b. F est-elle prolongeable par continuité en 1? Justier.
8. a. Soit x∈]0; 1[. Montrer que F0(x) = (x−1)(x+ 1) ln(x) .
b. En déduire l'étude des variations deF sur [0; 1[, puis sur ]−1; 1[.
3
NOM : Prénom : Exercice IV.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [3; 5].
On rappelle qu'une valeur approchée de l'intégrale Z 5 3
f(t)dt peut être obtenue au moyen du calcul de la somme suivante :
Sn= 2 n
n−1
X
k=0
f
3 + 2k n
.
On souhaite ici approcher la valeur de I = Z 5
3
dt t2+ 4.
Compléter le programme suivant pour qu'il calculeSn dans ce cas précis.
PROGRAM integrale ; VAR ...
...
FUNCTION f...
BEGIN
...
END ; BEGIN
writeln('Entrez l'entier n') ; ...
s :=...
FOR k :=... TO ... DO ...
...
writeln(s :0 :4) ; END.
question facultative :
Calculer une valeur approchée de I la plus précise possible, et disserter au sujet de la précision.
(méthode au choix, on pourrait par exemple calculer S4, voire S8,... ne pas oublier qu'on n'obtiendra pas la valeur exacte de I...)
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