TD 1 Chapitre 1 Semestre 1-2015/2016
Evolution d'une grandeur-Indices
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➢ Exercice 1-1
1. Quelle réponse est exacte?
i9=1i2 est égale à 1²+2²+... +9² ou (1+2+...+9)² ou 1+1²+13+...+19 . 2. On a le tableau suivant :
k 1 2 3 4 5 6 7
xk 3 2 8 6 9 6 9 yk 2 1,5 2,5 5,5 1 3,5 0,5 Calculer l=2
4 xl2yl,n=13 xnyn1 . 3. Calculer k=945
2009 3 .
➢ Exercice 1-2
La consommation de pommes d'un ménage par an est donnée selon le type de pommes dans le tableau ci-dessous :
Variété i Prix unitaire (par kg) en € Quantité consommée en kg
Golden 2,80 10
Pink lady 3,90 5
Royal Gala 2,10 15
Calculer le prix moyen du kg de pommes consommées dans ce ménage. Arrondir à 10-2. De quelle moyenne s'agit-il?
Variation d'une grandeur (voir fiche 5)
➢ Exercice 1-3
1. Le nombre de ventes de roues électriques a triplé en un an! Calculer le taux de variation correspondant.
2. Louison fait un placement à court terme de 12 500€ qui lui rapportera 4% d'intérêts simples à échéance. Quel sera le montant de son épargne à échéance?
3. Le prix d'un article TTC lorsque la TVA était de 19,6% était de 65,78€. Sans autre hausse que celle de la TVA, quel sera le nouveau prix après le passage du taux à 20%?
4. Début 1960, on dénombrait 100 000 rhinocéros noirs dans le monde. Début 2004, l'espèce ne compte plus que 3 000 spécimens (source WWF).
a. Calculer le taux de croissance global de la population de rhinocéros noirs entre 1960 et 2004.
b. Calculer le taux moyen annuel de cette population entre 1960 et 2004.
c. A ce rythme, en quelle année l'extinction de l'espèce aurait-elle été irréversible? (on estime que c'est irréversible en deça de 2 000 individus).
➢ Exercice 1-4
Le tableau ci-dessous donne, par année, le nombre de titres de presse éditeur en France :
année 2010 2009 2008 2007 2006 2005
Nombre de titres 4 530 4 559 4 588 4 764 4 550 Taux de variation
Source : insee
1. Sachant que le nombre de titres a baissé de 4,62% entre 2006 et 2007, calculer le nombre de titres en 2007 (arrondir à l'unité).
2. Calculer le taux de variation d'une année à l'autre (arrondir à 10-2).
3. Calculer le taux de variation entre 2005 et 2008 (arrondir à 10-2).
4. Calculer le taux de variation annuel moyen entre 2005 et 2008 (arrondir à 10-2). Quel type de moyenne est alors utilisée?
➢ Exercice 1-5
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du cours d'un titre en bourse par rapport au mois précédent :
date 15/01/2015 15/02/2015 15/03/2015 15/04/2015
Taux de variation +3,4% -2,1% -0,4% +4,6%
Indice base 100 au 15/12/2014
1. Calculer le taux mensuel moyen entre le 15/01/2015 et le 15/04/2015 (arrondir à 10-2).
2. Calculer le taux de variation entre le 15/12/2014 et le 15/04/2015.
3. Traduire les taux de variation en indices base 100 au 15/12/2014 (arrondir au 10-1).
Indices-généralités (voir fiche 5)
➢ Exercice 1-6
On donne ci-dessous le tableau de la dette publique en Europe en 2008.
pays Allemagne Espagne France Grèce Italie Zone euro
Dette en % du PIB 65,9 39,7 67,4 99,2 105,8 69,3
Indice base 100 zone euro
Source : eurostat (valeurs courantes)
1. Calculer l'indice de chaque pays en base 100 zone euro I (arrondir à l'unité).
2. Expliquer le sens de IEspagne/zone euro.
3. A partir des indices précédemment calculés, trouver : Izone euro/Espagne,
Iitalie/Allemagne.
➢ Exercice 1-7
On donne l'indice de référence des loyers (IRL) base 100 au 4ème trimestre 1998 (Tri1 13=
premier trimestre 2013) :
Tri1 13 Tri2 13 Tri3 13 Tri4 13 Tri1 14 Tri2 14 Tri3 14 Tri4 14 Tri1 15 Tri2 15 124,25 124,44 124,66 124,83 125 125,15 125,24 125,29 125,19 125,25 Source : insee
1. Calculer le taux moyen trimestriel entre le quatrième trimestre 2013 et le quatrième trimestre 2014.
2. Un bail de logement signé le 1er août 2014 pour un loyer mensuel de 500€, est révisable annuellement à la date d'anniversaire du contrat. La revalorisation du loyer correspond à la variation annuelle de l'IRL. Le trimestre à prendre en compte à défaut de clauses particulières est le dernier trimestre connu à la date de signature du bail (pour information : IRL 1er trimestre publié le 15 avril, IRL 2ème trimestre publié le 15 juillet, IRL 3ème trimestre publié le 15 octobre, IRL 4ème trimestre publié le 15 janvier suivant). Calculer le nouveau loyer au 1er août 2015 (arrondir à 10-2).
➢ Exercice 1-8
L'indice des prix à la consommation (ensemble des ménages, métropole, hors tabac) base 100 en 1990, valait 114 en juillet 1997.
Le nouvel indice base 100 en 1998 valait 125,77 en juillet 2014.
Le coefficient de raccordement est 1,148.
Calculer le taux de variation de ce nouvel indice entre juillet 1997 et juillet 2014.
Indices synthétiques
➢ Exercice 1-9
Un petit état réalise l'ensemble de ses recettes en exportant en totalité ses ressources naturelles (pétrole et or). Le tableau suivant fournit les quantités exportées en 2013 et 2014 (exprimées en barils pour le pétrole et en once pour l'or) de chacun des produits et les prix unitaires en $ de ces deux biens.
bien 01/01/2013 01/01/2014
Quantité q Prix p Quantité q Prix p
pétrole 300 629 280 712
or 450 28 440 31
1. Calculer l'indice du chiffre d'affaires (indice de valeur) le 01/01/2014 base 100 le
01/01/2013 I(V)2014/2013 (avec une précision de 10-1). En déduire le taux de croissance des exportations entre 2013 et 2014.
2. Calculer les indices de Laspeyres et de Paasche des prix et des quantités au 01/01/2014 base 100 le 01/01/2013. Retrouver I(V)2014/2013 de deux façons.
3. Calculer l'indice de Fischer des prix.
➢ Exercice 1-10
D'après partiel 2014/2015
La société autosecur spécialiste de l'automatisation de fermetures commercialise trois types d'automatisme de portails coulissants. Le tableau ci-dessous indique en juin 2014 la répartition du chiffre d'affaires du poste “automatisme de portails” ainsi que l'indice des prix en juin 2014 base 100 en juin 2010 pour chaque type d'automatisme :
Part de chaque portails
en juin 2010 dans le budget Indice des prix en juin 2014 base 100 en juin 2010
Type 1 45% 108
Type 2 30% 112
Type 3 25% 110
1. Calculer le taux de variation annuel moyen du prix de l'automatisme de type 2 entre juin 2010 et juin 2014.
2. On souhaite calculer en juin 2014, un indice base 100 en juin 2010 permettant de quantifier l'évolution des prix de cet ensemble d'automatismes.
a. Quel indice pouvez-vous calculer? Pourquoi?
b. Calculer cet indice.
3. On vous indique que l'indice de Paasche des quantités en juin 2014 base 100 en juin 2010 est égal à 106,50. Déterminer l'évolution du chiffre d'affaires du poste “automatisme de portails” entre juin 2010 et juin 2014. Commenter le résultat.
➢ Exercice 1-11
Les résultats seront arrondis à 10-1.
Le service statistique d'une grande entreprise américaine a réalisé une étude sur l'évolution des prix d'un ensemble de services répartis sur trois groupes A, B et C entre 2009 et 2013. Les résultats sont les suivants :
groupes Prix unitaires en 2009 pi Indice des prix en 2013
base 100 en 2009 Quantités consommées en 2009, qi
A 250 112 160
B 110 140 220
C 320 120 70
Les résultats concernant la consommation entre 2009 et 2013 sont les suivants:
augmentation de 10% pour le service A, diminution de 15% pour le service B, aucune variation pour le service C.
1. Calculer les prix unitaires et les quantités consommées en 2013.
2. Calculer en 2013, l'indice de Laspeyres base 100 en 2009 permettant de quantifier l'évolution des prix de cet ensemble de services.
3. Calculer en 2013, l'indice de Paasche base 100 en 2009 permettant de quantifier l'évolution des quantités de cet ensemble de services.
a. A l'aide des deux indices précédents, calculer le taux de variation du chiffre d'affaires entre 2009 et 2013.
b. Retrouver le résultat précédent par un autre calcul.
Pour aller plus loin
➢ Exercice 1-12
1. Ecrire avec le symbole Σ, la somme suivante :
2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier n>0, i=1
n i=nn1
2 .
b. En déduire l'expression de i=1
n 3i1 .
3. a. On définit n!= k=1n k (se lit factorielle n). Par convention 0!=1.
Calculer 1!, 6! Vérifier avec la calculatrice.
b. A partir de cette fonction, on définit, pour tous entiers naturels n et k tels que k≤n Cnk par k !n−n! k! . Calculer C30 , C31 , C32 et C33 . Que valent Cn0 , Cn1 et Cnn−1 quelles que soient les valeurs de n?
c. La formule du binôme de Newton permet de développer (a+b)n pour tous réels a et b grâce à la formule :
abn=kn=0Cnkakbn−k . Appliquer cette formule à (a+b)3 pour tous réels a et b.
d. En utilisant cette formule à des valeurs particulières de a et b, calculer k=0
n Cnk .
➢ Exercice 1-13
Un automobiliste parcourt 27 km à la vitesse de 90 km/h puis sur l'autoroute, il parcourt 104 km à 130 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble de trajet? Arrondir à l'unité. Quelle est la moyenne appropriée?
➢ Exercice 1-14
Dans un pays, le taux annuel d'inflation est constant égal à 10%. Combien d'années cela prendra t-il pour que les prix doublent?
➢ Exercice 1-15 1. Calculer j=1
3 i=26 i×j et i=2
5 ij pour tout réel j.
2. Démontrer que pour tout entier n et toute suite de valeurs xi, i=1n xi−x2= i=1n xi2−nx2
où x désigne la moyenne arithmétique des valeurs xi.
➢ Exercice 1-16
Un objet voit son prix augmenter de 3% par an pendant 5 ans puis de 60% en 10 ans et passe ensuite en 5 ans de l'indice 135 à 178 pour ensuite baisser de 2% par an pendant 4 ans. Quel est le taux annuel d'évolution de ce prix? On arrondira le résultat avec 2 décimales.
S=1 22
43
8... 10 1024.
➢ Exercice 1-17
Le tableau suivant type insee donne l'évolution des prix d'un ensemble de produits par catégories :
Produits Coefficients budgétaires Indice des prix 2013
base 100 en 2008
2008 2013
Catégorie A 0,25 0,20
Produit A1 0,10 0,07 210
Produit A1 0,08 0,06 185
Produit A1 0,07 0,07 180
Catégorie B 0,30 0,40
Produit B1 0,06 0,13 190
Produit B2 0,12 0,12 165
Produit B3 0,07 0,08 150
Produit B4 0,05 0,07 160
Produit C 0,45 0,40
Produit C1 0,25 0,25 105
Produit C2 0,20 0,15 140
Calculer l'indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 pour chacune des trois catégories de produits.
Calculer l'indice des prix de Laspeyres en 2013 base 100 en 2008 pour l'ensemble des produits en utilisant la propriété d'agrégation puis par un calcul direct.
