Corrigé TD 6 Chapitre 2 Semestre 2-2015/2016

(1)

Corrigé TD 6 Chapitre 2 Semestre 2-2015/2016

Optimisation : acte 2

Exercices obligatoires

➢ Exercice 6-1

Trouver les extrema de la fonction f(x,y)=xy-y²+5 sous la contrainte x-2y=3 par la méthode qui vous parait la plus simple.

Par substitution :

De la contrainte, on tire y=(x-3)/2. On remplace y par cette expression dans f : f(x)=x(x-3)/2-((x-3)/2)²+5=(x²+11)/4.

Recherche des points stationnaires de f (candidats) : f est dérivable sur ℝ avec f'(x)=x/2. f' n'est nulle que pour x=0 d'où y=-3/2.

Condition du 2^nd ordre : f est 2 fois dérivable sur ℝ avec f''(x)=1/2>0 pour tout réel x.

Ainsi f''(0)=1/2>0 le point (0;-3/2) est donc un minimum local. La fonction f(x) étant convexe sur ℝ , le minimum est global.

Valeur minimale de la fonction sous la contrainte x-2y=3 :f(0;-3/2)=11/4.

Avec le Lagrangien :

• Recherche des points où la contrainte est qualifiée Soit h(x,y)=x-2y

Calculons le gradient de h (existe partout, h est dérivable sur ℝ×ℝ :

h'x(x,y)=1 et h'y(x,y)=-2 donc pour tout couple de réels (x,y), le gradient n'est pas nul.

Ainsi, tous les points satisfaisants la contrainte sont qualifiés.

• Ecriture du Lagrangien

L(x,y)=f(x,y)-(h(x,y)-3)=xy-y²+5-(x-2y-3)

• Recherche des points stationnaires L(x,y) est dérivable sur ℝ×ℝ .

^∂^L^λ_∂⁽^{x , y)}_x ⁼^y−λ^et^∂^L^λ_∂⁽^{x , y}_y ⁾^=x−2^y⁺²^λ . Nous devons résoudre le système

(2)

Donc y= et x=0 donc la 3ème équation donne y=-3/2 donc =-3/2.

L est deux fois dérivables avec des dérivées continues donc avec le hessien bordé, nous pouvons savoir si l'extremum candidat est un maximum, minimum ou rien.

Hessien bordé= donc en (0;-3/2),

la fonction admet un minimum local. Valeur de f en ce minimum : f(0;-3/2)=11/4.

➢ Exercice 6-2

Trouver les extrema de la fonction f(x,y)=x+2y sous la contrainte x²+y²=5 par la méthode qui vous parait la plus simple.

Ici, la substitution n'est pas adaptée (on a x² et y²). Utilisons le Lagrangien :

• Recherche des points où la contrainte est qualifiée Soit h(x,y)=x²+y²

h'x(x,y)=2x et h'y(x,y)=2y donc , le gradient n'est nul que pour le couple (0;0). En ce point, h(0,0)=05 donc tous les points satisfaisants la contrainte sont qualifiés.

Soit (x,y) un couple de ℝ×ℝ vérifiant la contrainte, L(x,y)=f(x,y)-(h(x,y)-3)=x+2y-(x²+y²-5)

^∂^L^λ_∂⁽^{x , y}_x ⁾^=1−2λ^x^et^∂^L^λ_∂^{(x , y}_y ⁾^=2−2λ^y .

Nous devons résoudre le système à 3 inconnues x, y et :

Les deux premières équations impliquent que x, y et  sont non nuls.

On obtient y=2x et =1/y, ce qui donne avec la dernière équation :

x²+4x²=5 soit x²=1. On a donc deux solutions x=1, y=2 et =0,5 OU x=-1, y=-2 et =-0,5.

Donc nous avonc deux points stationnaires candidats : (1;2) et (-1;-2).

L et h sont toutes deux C² sur ℝ×ℝ donc calculons le hessien bordé pour tout (x,y):

{

^x^x ^{+ y}^-^- ^{2y + 2}^2y ^- ^λ^λ ^{= 0}^{= 0}^{= 3}

|

^∂^∂^∂^∂^h^h^x^y⁽^{(x , y}⁰^{x , y}⁾⁾ ^∂^∂^∂^∂^∂^∂^y²²^x^h^x^L^L^∂²^λ^λ⁽^x^{(x , y}^{x , y}^{(x , y}⁾⁾⁾ ^∂^∂^∂^∂^∂^∂^x²²^∂^y^h^L^L^y²^λ^λ⁽^y^{(x , y)}^{x , y}⁽^{x , y}⁾⁾

|

⁼

^|

^{−2 1}⁰¹ ¹⁰ ⁻²⁻²¹

^|

^=−2<0

{

²⁻²^1−2λ^x²⁺^λ^y²^x=0^y=0⁼⁵

(3)

Hessien bordé=

donc hessien bordé = Pour x=1, y=2 et  =0,5

hessien bordé = 20>0 donc en (1;2), f admet un maximum local et f(1,2)=5.

Pour x=-1, y=-2 et  =-0,5

hessien bordé = -20<0 donc en (-1;-2), f admet un minimum local et f(-1,-2)=-5.

Nous sommes dans le cas du cours où la fonction et la forme de la contrainte permettent de dire que la fonction est boenée et atteint ses bornes. Ainsi en (1,2), f admet un maximum global et en (-1,-2), un minimum global.

➢ Exercice 6-3

A l'aide du Lagrangien, trouver les extrema de la fonction f(x,y)=x²+y sous la contrainte 3x+4y=5.

• Recherche des points où la contrainte est qualifiée Soit h(x,y)=3x+4y

h'x(x,y)=3 et h'y(x,y)=4 donc , le gradient n'est jamais nul . Ainsi, tous les points satisfaisants la contrainte sont qualifiés.

Soit (x,y) un couple de ℝ×ℝ vérifiant la contrainte, L(x,y)=f(x,y)-(h(x,y)-3)=x²+y-(3x+4y-5)

^∂^L^λ_∂⁽^{x , y}_x ⁾^=2x−3λ^et^∂^L^λ_∂⁽^{x , y}_y ⁾⁼¹⁻⁴^λ .

Nous devons résoudre le système à 3 inconnues x, y et :

On obtient x=1/8 , y=31/32 et =1/4.

Donc nous avonc un point stationnaire candidat : (1/8;31/32) avec =1/4.

L et h sont toutes deux C² sur ℝ×ℝ donc calculons le hessien bordé pour tout (x,y):

|

⁼

^|

²²⁰^x^y ⁻²²⁰^x^λ ⁻²²⁰^y^λ

^|

−2x

|

²⁰^x ⁻²²^y^λ

|

⁺²^y

|

^−2λ²^x ²⁰^y

|

⁼⁸^x²^{λ +}⁸^y²^λ

{

²³¹⁻⁴^x+4^x−3^λ=0^λ=0^y=5

(4)

Hessien bordé=

donc hessien bordé =

Donc pour x=1/8 et y=31/32 le hessien bordé = -32<0 donc en (1/8;31/32), f admet un minimum local et f(1/8,31/32)=63/64.

➢ Exercice 6-4

Exercice d'économétrie proposé par le professeur Pascal Favard à Tours.

La fonction d'utilité de Zheng est la suivante : U(x1,x2)=(x1+4)(x1+x2) où x1 est la quantité consommée de viande et x2 la quantité consommée de soupe. Le revenu de Zheng est R. Il est entièrement utilisé pour l'achat de viande et de soupe.

Le prix d'un kg de viande est 3€ et celui d'un litre de soupe est 2€.

Déterminer les quantités x1 et x2 qui maximisent l'utilité sous la contrainte budgétaire (affectation totale du revenu R à l'achat de la viande et de la soupe).

Il s'agit ici de chercher les extrema de la fonction utilité U(x1,x2)=(x1+4)(x1+x2) sous la contrainte h(x1,x2)=3x1+2x2=R.

Par substitution :

De la contrainte, on tire par exemple x2=(R-3x1)/2. On remplace x2 par cette expression dans U :

U(x1)=-x1²/2+x1(-2+R/2)+2R

Recherche des points stationnaires de U (candidats) : U est dérivable sur ℝ avec U'(x1)=-x1-2+R/2. U' n'est nulle que pour x1= -2+R/2 d'où x2=-R/4+3.

Condition du 2^nd ordre : U est 2 fois dérivable sur ℝ avec U''(x1)=-1<0 pour tout réel x1. Ainsi U''(-2+R/2)=-1<0 le point (-2+R/2;-R/4+3) est donc un maximum local. La fonction U étant concave sur ℝ , le maximum est global.

Valeur maximale de la fonction sous la contrainte 3x1+2x2=R : U(-2+R/2;-R/4+3)=R²/8+R+2.

Avec le Lagrangien :

• Recherche des points où la contrainte est qualifiée h(x1,x2)=3x1+2x2

h'x(x,y)=3 et h'y(x,y)=4 donc , le gradient n'est jamais nul . Ainsi, tous les points satisfaisants la contrainte sont qualifiés.

|

⁼

^|

^{0 3 4}^{3 2 0}^{4 0 0}

^|

4

|

^{3 4}^{2 0}

|

^=−32<0

(5)

Soit (x1,x2) un couple de ℝ×ℝ vérifiant la contrainte, L(x1,x2)=U(x1,x2)-(h(x,y)-R)=(x1+4)(x1+x2)-(3x1+2x2-R)

• Recherche des points stationnaires L(x1,x2) est dérivable sur ℝ×ℝ .

^∂^L^λ⁽_∂^x_x^1,x⁻²⁾

1

=2x₁+x₂+4−3λ et ∂Lλ(x_1,x−2)

∂x₂ =x₁+4+2λ .

Nous devons résoudre le système à 3 inconnues x1, x2 et :

On obtient x1=-2+R/2 , x2=3-R/4 et =-1-R/4.

Donc nous avonc un point stationnaire candidat : (-2+R/2;3-R/4) avec =-1-R/4.

L et h sont toutes deux C² sur ℝ×ℝ donc calculons le hessien bordé pour tout (x1,x2):

Hessien bordé=

donc hessien bordé =

Donc pour x1=-2+R/2 et x2=3-R/4 le hessien bordé = 4>0 donc en (-2+R/2;3-R/4), f admet un maximum local et f(-2+R/2;3-R/4)=R²/8+R+2.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 6-5

Résoudre le problème suivant : minimiser x²+y²+z² sous les contraintes x+2y+z=30,

2x-y-3z=10.

Indication : exprimer y et z en fonction de x dans les deux contraintes.

ATTENTION : une erreur sur la première contrainte : x+2y+z=30.

y=20-x et z=x-10 avec f(x)=3x²-60x+500.

Point stationnaire : x=10, y=10 et z=0.

f''(x)=6>0 donc en (10,10,0) f admet un minimum de valeur 200.

➢ Exercice 6-6

A l'aide du Lagrangien, résoudre le problème du consommateur suivant : maximiser U(x,y,z)=xy³z sous la contrainte x+y+z=12.

Exercices en plus pour réviser

{

²^x¹^x³^+x¹^x⁺¹⁴⁺²²⁺²^{+4−3λ =0}^x^λ=0²^=R

|

⁼

^|

^{0 3 2}^{3 2 1}^{2 1 0}

^|

−3

|

^{3 2}^{1 0}

|

⁺²

|

^{3 2}^{2 1}

|

^=4>0

(6)

➢ Exercice 6-7

Trouver les extrema de la fonction f(x,y)=x²y sous la contrainte x+y=1 de deux façons.

Deux points stationnaires : (0,1) minimum et (2/3,1/3) maximum.

➢ Exercice 6-8

Trouver les extrema de la fonction ^f^^{x , y=12x}^y sous la contrainte 3x+4y=12 à l'aide du Lagrangien.

On trouve x=8/3 , y=1 et =4.

hessien bordé=216>0 donc maximum pour f en (8/3,1) de valeur 32.

➢ Exercice 6-9

Suite de l'exercice 5-5 :

L'entreprise est responsable d'une certaine pollution, de sorte que, légalement, elle ne peut produire qu'un total de 320 unités des deux modèles de biens.

Si sa production totale est de 320 unités, en quelles quantités faut-il alors produire chaque modèle pour rendre le profit maximal?

x=90 et y=230.