TD 2 Chapitre 2 §1,2, 3, 4 et début du 5 Semestre 1-2015/2016

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Les fonctions : généralités

Révisions

➢ Exercice 2-1

Démontrer par récurrence que pour tout entier n>0, ^k=1

n 2k−1=n² .

étude des fonctions de base

➢ Exercice 2-2

Résoudre l'équation d'inconnue t, |4-5t|=t-2.

➢ Exercice 2-3

1. Exprimer en fonction de ln(2) sans utiliser de calculatrice : 2. Montrer que pour tout x>0, 3+2ln(x)=ln(e³x²).

➢ Exercice 2-4

En 1990, le PNB de la Chine était estimé à 1,2×10¹²$ et le taux de croissance de ce pays était de 9%. En comparaison, le PNB des Etats-Unis était de 5,6×10¹²$ et le taux de croissance était de 2%. En supposant que les PNB de chaque pays ont continué à croître exponentiellement aux taux respectifs de 9 et 2%, en quelle année, les deux pays auraient- ils dû avoir le même PNB?

Continuité

➢ Exercice 2-5

Reprendre l'énoncé de l'exercice 0-14 du TD0 :

Le prix HT en euros noté C facturé par une entreprise de transport pour l'acheminement d'un colis, est une fonction affine par intervalles du poids en kilogramme, noté p.

Ecrire l'expression de C(p) pour p ∈ ]0;60[ sachant que :

- Pour un colis de moins de 10 kg, le tarif est forfaitairement fixé à 75€.

- Pour un colis d'au moins 10 kg mais de moins de 30 kg, on paie 5€ par kg à quoi s'ajoutent des frais fixes pour un montant de 25€.

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log₈4^2

- Pour un colis d'au moins 30 kg mais d'au plus 60 kg, on paie 10% de moins par kg que dans le cas précédent tandis que les frais fixes s'élèvent à 40€.

1. La fonction coût est-elle continue? Dérivable?

2. On désire prolonger le tarif pour des colis jusqu'à 100kg. Le prix pour un colis de 100 kg est fixé à 450€ et la fonction C doit être continue sur ]0;100]. Déterminer l'expression de C en fonction de p sur l'intervalle restant [60;100].

Dérivabilité (voir fiche 6)

➢ Exercice 2-6

Selon Herman Wold, la demande Q de beurre à Stockholm de 1925 à 1937 était liée au prix P par l'équation QP^1/2=38. Ecrire Q en fonction de P et déterminer ^dQ_dP .

➢ Exercice 2-7

Etudier la fonction f(x)=-x³+4x²-x-6 (ensemble de définition, continuité, dérivabilité, sens de variation).

➢ Exercice 2-8

Coût de production, coût marginal et coût moyen

Le coût total de production est la dépense minimale qu'une entreprise doit engager pour atteindre son niveau de production (c'est à dire une quantité produite q). Le coût total est la somme des coûts fixes CF(q) et des coûts variables CV(q). On a CF(q)=constante, ne dépendant pas de q. Donc le coût total s'écrit : C(q) = constante + CV(q).

A partir de C, nous pouvons définir la fonction coût moyen, qui est le coût pour une quantité produite. On le note CMo(q). Cette fonction est définie pour tout q>0 par

CMo(q)= ^Cq_q ^ .

Le terme marginal est relatif à la dernière unité ajoutée.

Ainsi, pour une production d'éléments indivisibles (par exemple des voitures, des

parapluies...) , le coût marginal Cma est le coût de production de l'unité supplémentaire soit CMa(q)=C(q+1)-C(q).

Pour une production d'éléments divisibles (quantité de céréales, volume d'un liquide ...), on peut considérer le coût supplémentaire pour une quantité ∆q supplémentaire. On obtient donc la variation absolue suivante du coût : C(q+∆q)-C(q).

La variation relative s'écrit alors ^Cq_q^q_q−q^{−Cq=Cq}_^q_q^{−Cq} .

On appelle coût marginal la variation relative du coût de production entrainée par une variation arbitrairement petite des quantités produites. Ainsi le coût marginal de production CMa est donné par : ^limq0

Cqq−Cq

q . Si C est dérivable, on retrouve la définition de la dérivée de C en q.

Ainsi, si C est dérivable sur ]0;+∞[, on définit la fonction coût marginal par CMa (q)=C'(q).

On remarque que l'approximation au premier ordre de C(q) en q=1 donne la relation dans le cas où q concerne des produits indivisbles.

On s'intéresse à la fonction de coût suivante , pour tout q ≥ 0 : C(q)=0,04q³-0,9q²+10q+67,5.

1. Donner la fonction coût fixe CF.

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2. Donner la fonction CMa , étudier son signe.

En déduire le tableau de variation de C sur [0;25].

3. Etudier la fonction coût moyen CMo, (on pourra montrer que

0,08q³−0,9q²−67,5=q−150,08q²0,3q4,5 ).

4. Terminer l'étude deCMa , puis tracer, dans un même repère, les trois fonctions C, CMa et CMo.

5. Montrer que le coût moyen admet un minimum. Pour quelle valeur de q? Si on appelle q0 cette valeur, calculer CMa (q0) et CMo(q0). Que constate-t-on?

6. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de C en q=q0 puis la tracer.

Que peut-on dire de cette tangente?

➢ Exercice 2-9

Donner l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité des fonctions et exprimer leur dérivée.

f1(x)=(x³-x)(5x⁴+2) ; f2(t)=t³+e^2t ; f3(x)=ln(4-x²); ^f4p=^7−2p ; ^f5x=lnx4x³ ;

f6z=z^alnbz1 où a et b sont des paramètres non nuls, a est un entier positif non nul;

f7(x)=3^x ; f8(x)=5-2x.

➢ Exercice 2-10 (voir fiche 3)

Donner l'équation de la tangente à la représentation graphique de f(x)= ^x_x²2⁻¹1 au point d'abscisse x=1.

➢ Exercice 2-11

Déterminer la dérivée logarithmique des fonctions f suivantes puis en déduire l'expression de f' (l'ensemble sur lequel la dérivée est définie n'est pas demandée).

1.g(x)=2x^x ; 2. f(x)=(x+1)(2x+1)(3x+1).

Pour aller plus loin

➢ Exercice 2-12

Démontrer par récurrence que pour tout entier n>0, _1×2^{1 }_2×3^{1 ...}_nn1^{1 =}_n1ⁿ .

➢ Exercice 2-13

Résoudre l'inéquation en x : 3x-x-1≥ x-(x-1) .

➢ Exercice 2-14

Si f(x)=

√

➢ Exercice 2-15

Démontrer que la propriété qui vient d'être vérifiée dans l'ex 2.8 sur les relations entre les coûts de production, coûts moyens et coûts marginaux sont vraies dans le cas général.

On demande donc de montrer que si C(q) est le coût total, q la quantité produite,

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C_Moq=Cq

q le coût moyen, CMa le coût marginal et si q0 nimimise le coût moyen alors on a CMo(q0)=CMa(q0) et la tangente à C en q0 passe par l'origine.

➢ Exercice 2-16

On considère la fonction f définie sur son ensemble de définition par : f(x)=





x si x≠0

1 si x=0

1. quel est l'ensemble de définition de f?

2. Calculer la limite de f quand x tend vers 0; f est-elle continue en 0?

➢ Exercice 2-17

En utilisant la propriété, ^limx0ln1x

x =1 , retrouver l'expression de la dérivée de la fonction logarithme pour tout x>0.

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