CORRECTION TD 4 Chapitre 2 §6 Semestre 1-2015/2016

CORRECTION Chapitre 2 §6 TD 4 Semestre 1-2015/2016

L'intégration

Révisions

➢ Exercice 4-1

1. Donner les dérivées de f1(x)=x⁷; f2(t)=4t^-3; f3(p)=e^5p, f4(x)=π² ainsi que les ensembles sur lesquelles les fonctions sont dérivables.

2. Trouver pour chaque fonction, une fonction dont elle est la dérivée.

1. f1' existe pour tout réel x et f1'(x)=7x^7-1=7x⁶;

f2' existe pour tout réel t non nul et f2'(t)=-3×4t^-3-1=-12t^-4; f3' existe pour tout réel p et f3'(p)=5e^5p .

f4' existe pour tout réel x et f4'(x)=0;

2. Fonction dont la dérivée est f1(x)=x⁷: ^x₈^7+1+C=x₈^8+C .

Fonction dont la dérivée est f2(t)=4t^-3: ^4×t₋₃₊₁^−3+1+C=4₋₂^{t−2+C=−2t−2+C} . Fonction dont la dérivée est f3(p)=e^5p: ^e₅^5p+C .

Fonction dont la dérivée est f4(x)=π² : π² x+C.

C est partout un réel quelconque.

➢ Exercice 4-2

Si f est continue sur ^ℝ et vérifie, pour trois réels donnés a, b et c

∫

b fxdx=8 et

∫

c fxdx=4 . Que vaut

∫

b fxdx ?

D'après la relation de Chasles,

∫

b fxdx=

∫

c fxdx

∫

b fxdx donc

∫

b fxdx=

∫

b fxdx−

∫

c fxdx=8−4=4.

Primitives

relatif.

2. Donner les primitives de g(x)=3x⁴+5x²+2.

3. Donner LA primitive de g qui vaut 3 en 0.

1. Dans toute cette question, C désigne uns constante quelconque.

Primitive de x¹³: x¹³⁺¹/(13+1)+C=x¹⁴/14+C.

Primitive de _e^{−14 x} : ^e

−1 4x

−1 4

C=−4e

−1 4x

C.

Primitive de 3e^px :



si p=0, 3e^px =3 donc les primitives sont données par 3x+C.

si p≠0, les primitives sont données par ^3e_p^{p x+C .}

2. Les primitives de g sont de la forme ^Gx=3_41^x415_21^{x212xC=3}₅^x55₃^x32xC où C est une constante quelconque.

3. On veut que G(0)=3. Or, G(0)=C donc ^Gx=3₅^x55₃^x32x3 .

➢ Exercice 4-4

1. Montrer que les primitives de (ax+b)^p (a et p réels avec a≠0 et p≠−1) sont de la forme

2. En déduire une primitive de ^{4−1 x et 2x1}

4.

1. On utilise la formule de dérivation de [u(x)]ⁿ=nu'(x) [u(x)]^n-1. Ici, u(x)=ax+b et n=p+1.

Cela donne, pout tout réel x :

2. Pour ^{4−x1 ,} a=-1≠0, b=4 et p=-1/2 ≠−1. La formule précédente donne donc pour primitive :

soit ⁻²4−xC .

Pour 2x1^4. a=2≠0, b=1 et p=4 ≠−1. La formule précédente donne donc pour primitive :

1

ap1axb^p1C.

[ 1

ap1axb^p1C]'= 1

ap1×p1×a×axb^p1−1=axb^p.

1

−1−1 2 1

4−x

−1 21

C=−24−x

1 2C

1

2412x1^41C= 1

102x1⁵C.

➢ Exercice 4-5

Trouver les primitives de (x-1)² et de ^x3−3x4_x . Dans tout l'exercice, C désigne une constante.

Primitive de (x-1)²: (x-1)³ /3 +C

Pour trouver les primitives de ^x3−3x4_x , décomposons la fonction :

x³−3x4 x =x³

x−3x x4

x=x²−34

x . Nous cherchons les primitives de chaque terme, ce qui donne, pour tout x non nul :

x³

3−3x4ln∣x∣C.

➢ Exercice 4-6

Lors de la fabrication d'un produit, le coût marginal en fonction de la production de x unités est donné par C'(x)=αe^βx+γ où β≠ 0 et où les coûts fixes sont égaux à C0. Déterminer la fonction de coût total C(x).

C'(x)=αe^βx+γ donc C(x)=(αe^βx)/β+γx+K où K est une constante.

Or C(0)=C0=α/β+K donc K=-α/β + C0. D'où C(x)=(αe^βx)/β+γx-α/β + C0 soit

Cx=

e^x−1xC₀.

➢ Exercice 4-7 (valeur moyenne)

Le profit d'une entreprise est donné par une fonction du nombre d'unités x de production.

On a, pour tout x>0

Donner l'ensemble de dérivabilité de f et donner f'(x). En déduire le tableau de variation de f. Tracer la courbe représentative de f sur [1 000; 3 000].

Sachant que la valeur moyenne entre deux réels a et b (a<b) d'une fonction continue sur [a;b] est donnée par _b−a¹

∫

f est définie et dérivable pour tout x>0. On a :

x 0 1000 3 +∞

Signe de f' + 0 -

Variation de f

fx=4 000−x−3000 000

x .

f 'x=−13000 000

x² =−x²3000 000

x² .

soit ^1032−3₂^ln3 pour la valeur moyenne de f sur [1 000;3 000].

Calcul d'aires

➢ Exercice 4-8

Calculer l'aire sous la courbe représentative de g(x)=1/x² entre 1 et 10.

g(x)=1/x²

g est postive et continue sur [1;10] donc l'aire est donnée par

∫

∫

1 10

=−10⁻¹1=0,9. .

Calcul d'intégrales à l'aide de primitives

➢ Exercice 4-9

f est une fonction définie sur ^ℝ par f(x)= x si x ∈ [0;1]

2-x si x ∈ ]1;2]

0 sinon 1. Tracer la courbe représentative de f sur [-1;3].

2. Montrer que f est continue.

Ligne 1 Ligne 2 Ligne 3 Ligne 4 0

2 4 6 8 10 12

1 colonne 2 colonne 3 colonne

1000 1150

1300 1450

1600 1750

1900 2050

2200 2350

2500 2650

2800 2950 0

100 200 300 400 500 600

fonction profit

x

f

1

3000−1000

∫

fxdx= 1 2000

∫

3 000

4000−x−3000 000 x dx.

1

2000[4 000x−x²

2−3000 000 ln∣x∣]

1 000 3 000

1

2000[12 000 000−3000²

2 −3000 000ln3 000−4000 0001000²

2 3000 000ln1000],

1

2×10³[12×10⁶−9×10⁶

2 −3×10⁶ln3ln10³−4×10⁶10⁶

2 3×10⁶ln10³]

3. Calculer

∫

b fxdx pour a<0 et b>0.

4. Calculer ^E=

∫

bx fxdx pour a<0 et b>0.

1.

2. f est continue sur ^ℝ−{1;2} . Vérifions qu'elle est aussi continue en 1 et 2 : Continuité en 1

f est continue en 1 si et seulement si ^limx1^ fx=lim_x1⁻ fx=f1 . Or f(1)=1 et

lim_x1^ fx=2−1=1=f1 . Donc f est continue en 1.

Continuité en 2

f est continue en 2 si et seulement si ^limx2^ fx=lim_x2⁻ fx=f2 . Or f(2)=2-2=0 et

lim_x2^ fx=0=f2 . Donc f est continue en 2.

Ainsi f est continue sur ^ℝ . On cherche

∫

b fxdx . f étant continue par morceaux, on applique la relation de Chasles,

4. La fonction sous le signe somme est également continue par morceaux , on utilise donc la relation de Chasles : E=

∫

bx fxdx=

∫

00dx

∫

1x×xdx

∫

2x2−xdx

∫

b0dx . Donc

E=

∫

∫

0 1

[x²−x³ 3]

1 2

=1 34−8

3−11 3=1.

➢ Exercice 4-10

Calculer les intégrales suivantes , ^I1=

∫

6(x²+6)dx , ^I2=

∫

2(x−3)(x−9)dx ,

1 4,5 1 ⁸

Ligne 1 Ligne 2 Ligne 3 Ligne 4 0

2 4 6 8 10 12

1 colonne 2 colonne 3 colonne

-1 -0,8

-0,6 -0,4

-0,2 0

0,2 0,4

0,6 0,8

1 1,2

1,4 1,6

1,8 2

2,2 2,4

2,6 2,8

3 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

fonction f

x

f

∫

b fxdx=

∫

0 fxdx

∫

1 fxdx

∫

2 fxdx

∫

b fxdx=

∫

00dx

∫

1xdx

∫

22−xdx

∫

∫

0 1

[2x−x² 2 ]

1 2

=1 24−4

2−21 2=1.

constante pour p=-1 ), de e^x (de la forme e^x + constante), on peut trouver les intégrales cherchées.

I₁=

∫

3 6

=6³

336−3³

3−18=81. Donc ^I1=81.

I₂=

∫

2(x²−12x+27)dx=[x³

3−6x²+27x]

1 2

=8

3−24+54−1

3+6−27=34

3 . Donc ^I2=34 3 .

I₃=

∫

∫

−1 1

=ee⁻²

−2e² 2=1

2e³−e⁻¹. Donc ^I3=1

2e³−e⁻¹.

I4=

∫

3ln3²−ln3=1

32ln3−ln3=1

3ln3. Donc

I₄=1 3ln3.

I₅=

∫

8^2x^3xdx=

∫

1 2x

1

3dx=

[

]

=[2 3^2x

3 23

4x

4 3]

1 8

donc

I₅=2 328

3 23

48

4 3−2

32−3 4=100

3 −2 32−3

4=391 12 −2

32. Donc ^I5=391 12 −2

32.

Calcul d'intégrales à l'aide d'une intégration par parties

➢ Exercice 4-11

A l'aide d'une intégration par parties, calculer I=

∫

2xlnxdx .

On pose u(x)=lnx donc u'(x)=1/x v'(x)=x v(x)=x²/2 Ainsi,

I=

∫

1 2

−

∫

∫

1 2

=2ln2−1 24

2−1

2=2ln2−3 4.

Donc

Pour aller plus loin

➢ Exercice 4-12

Pour trois réels strictement positifs quelconques r, s et t, calculer

∫

1x^px^qx^rdx .

∫

1x^px^qx^rdx=

∫

1x^pqx^prdx . p+q et p+r sont strictement positifs donc

I=2ln2−3 4.

∫

1x^pqx^prdx=[ x^pq1

pq1 x^pr1 pr1]

0 1

= 1

pq1 1

pr1= pq1pr1

pq1pr1= 2pqr2

pq1pr1. soit

➢ Exercice 4-13

1. Il est évident que pour une fonction continue f sur [a;b], a et b étant des réels quelconques; f(x) peut s'écrire 1×f(x). Utiliser cet artifice pour démontrer que

∫

b ftdt=bfb−afa−

∫

btf 'tdt . On suppose que f est continue, dérivable et que sa dérivée est continue sur [a;b].

2. Application : calcul de

∫

10lntdt .

1. Utilisons la technique de l'intégration par partie :

On pose u(x)=f(x) donc u'(x)=f'(x)

v'(x)=1 v(x)=x Ainsi,

∫

b ftdt=[xfx]_a^b−

∫

bxf 'xdx=bfb−afa−

∫

btf 'tdt .

Si f(x)=ln(x) alors on est en présence d'une fonction continue, dérivable avec f'(x)=1/x, continue sur [1;10]. En appliquant la formule précédente, on trouve :

∫

∫

∫

10lntdt=10ln10−9.

➢ Exercice 4-14

En utilisant deux intégrations par parties successives, calculer

∫

2x²e^xdx . Posons u(x)=x² donc u'(x)=2x (les fonctions ont des dérivées continues).

v'(x)=ex v(x)=e^x

Ainsi,

∫

2x²e^xdx=[x²e^x]₁²−

∫

22xe^xdx=4e²−e−2

∫

2xe^xdx . On utilise les fonctions suivantes, pour une deuxième intégration par parties :

u(x)=x donc u'(x)=1 v'(x)=ex v(x)=e^x

∫

2x²e^xdx=4e²−e−2

∫

2xe^xdx=4e²−e−2[xe^x]₁²−

∫

2e^xdx=4e^2,−e−22e²−e−[e^x]₁²

donc

∫

2x²e^xdx=4e^2,−e−22e²−e−e²e=2e²−e .

➢ Exercice 4-15

Calcul d'intégrales à l'aide d'un changement de variable

Le changement de variable est une technique qui permet de calculer certaines intégrales.

Pour l'utiliser certaines précautions sont à prendre.

Si on cherche à calculer I=

∫

b fuxu 'xdx , on doit vérifier que u est une fonction dérivable sur [a;b] avec une dérivée continue et que f est continue sur u([a;b]) alors , on a :

I=

∫

∫

∫

1x^pqx^prdx= 2pqr2

pq1pr1.

A l'aide de cette méthode, calculer ^I=

∫

5^2x−1dx puis ^I=

∫

^1xdx . Pour calculer ^I=

∫

5^2x−1dx , posons, pour tout x ∈[1;5], u(x)=2x-1. La fonction u est dérivable pour tout x ∈[1;5]. De plus, on définit f(X) par f(X)= X . Cette fonction est continue sur [0;+∞[. Or si 1≤x≤5, alors 1×2-1≤2x-1≤5×2-1 donc 1≤2x-1≤9 donc u([1;5])=[1;9], intervalle sur lequel f est continue.

Pour tout x ∈[1;5], u'(x)=2. On écrit : 2x−1=1

2×22x−1 soit ¹₂^{u 'xfux.}

De plus, u(1)=2×1-1=1 et u(5)=2×5-1=9.

Donc ^I=

∫

52x−1dx=

∫

2 ftdt=

∫

2t dt=

∫

2t

1 2dt=1

2

[

]

=1 39

3

2−1=26

3 . Donc I=26/3.

Calcul de ^I=

∫

Pour calculer , ^I=

∫

1xdx Posons, pour tout x ∈[0;1], u(x)=1+x. La fonction u est dérivable pour tout x ∈[0;1]. De plus, on définit f(X) par f(X)= ^1X . Cette fonction est continue sur ]0;+∞[. Or si 0≤x≤1, alors 1≤x+1≤2 donc u([0;1])=[1;2], intervalle sur lequel f est continue.

Pour tout x ∈[0;1], u'(x)=1. On a donc ^{u 'xf ux.}

De plus, u(0)=1 et u(1)=2.

Donc ^I=

∫

1 1

^x1dx=

∫

2 ftdt=

∫

^tdt=

∫

−1

2 dt=

[

]

=2^2−1 . Donc ^I=2^2−1.

➢ Exercice 4-16

Intégrales généralisées

Les intégrales sur un intervalle infini sont fréquentes en statistique et en économie.

Si f est une fonction continue pour tout x ≥ a, alors

∫

b fxdx est définie pour tout b ≥ a.

Si la limite de cette intégrale existe (et est finie) quand b tend vers +∞, on dit que f est intégrable sur [a;+∞[ et on définit

∫

∞ fxdx=lim_b∞

∫

b fxdx. On dit que l'intégrale impropre

∫

∞ fxdx convergne. Si la limte n'existe pas,on dit qu'elle diverge.

Calculer

∫

∞e^−kxdx où k est un réel non nul quelconque.

k étant non nul, _−k^{1 e−kx} est une primitive de e^-kx pour tout x réel.

Donc, pour b≥ 0,

∫

be^−kxdx=[−1 k e^−kx]

0 b

=−1 k e^−kb1

k . De plus, ^limb∞e^−kb=0 . Donc

∫