TD 0 Semestre 1-2015/2016

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TD 0 Semestre 1-2015/2016

Des rappels utiles

Manipulation d'égalités et de relations à connaître

Ce premier paragraphe a pour objectif de revoir des relations, parfois simples et connues depuis longtemps mais indispensables pour réussir cette première année et pas seulement en mathématiques.

➢ Exercice 0-1

Considérons le modèle macroéconomique de base :

(i) Y=C+I ; (ii) C = a+bY où Y est le produit national brut (PNB), C la consommation et I l'investissement total. a et b sont des paramètres strictement positifs du modèle avec b<1.

Exprimer Y en fonction de I et des paramètres a et b.

➢ Exercice 0-2

Trouver L en fonction de Y0 et des autres paramètres (A et K sont strictement positifs) : Y0 = A^K^L^ .

➢ Exercice 0-3

Ecrire à l'aide de ln2 : ln 2 , à l'aide de ln 5 : ln(0,2).

aide : ∀ a et b réels strictement positifs, ln(a^b)=b lna

➢ Exercice 0-4

Soit f(t)=a²-(t-a)² où a est une constante.

Calculer f(-a), f(2a), 3f(a)+f(-2a) puis développer et réduire l'expression de f(t).

➢ Exercice 0-5

Le graphique ci-dessous représente dans différents cas, les comportements d'une variable C en fonction de la variable q. Attribuer à chaque cas, la courbe correspondante :

1. C est proportionnelle à q.

2. C est proportionnelle au carré de q.

3. C est inversement proportionnelle à q.

4. ln(C) est proportionnel à q.

5. ln(C) est une fonction affine de ln(q).

Espinouze Sandrine TD 0 L1DEG-S1-2015/2016 1

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Résolution d'équations (voir fiche 1)

➢ Exercice 0-6

D est la fonction demande et S la fonction offre, toutes deux dépendent du prix p. A l'équilibre, offre=demande. Si D(p)=75-3p et S(p)=20+2p, quelle est la valeur du prix à l'équilibre?

➢ Exercice 0-7

Résoudre les équations en x, p, z ou t suivantes :

x³=8; x⁶=729; p⁵=-243; p=7,2 ; z⁴=-16; t⁴=-33; t⁵=-33; 7^x=16 807;

(1+t/100)³=1,008.

➢ Exercice 0-8

Trouver une solution évidente de 3x²+5x-8=0, en déduire la deuxième. Retrouver le résultat en utilisant le discriminant.

➢ Exercice 0-9

Résoudre l'équation en x suivante : 15x-x²=0.

Résolution d'inéquations (voir fiche 2)

➢ Exercice 0-10

Déterminer l'intervalle de ℜ dans lequel se trouve x qui vérifie 5x+2 ≥ -3.

➢ Exercice 0-11

Trouver les valeurs de l'entier n qui vérifient 1,1ⁿ≥2.

➢ Exercice 0-12

1. Résoudre l'inéquation en p : p²-2p+4 ≥ 0.

2. En déduire l'ensemble de définition de la fonction fp=



^p²^−2p⁴ .

z

1 4=16;

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3. Soit g(x)= ^3x6_x−2 . Résoudre g(x)=3 puis g(x)=5 puis g(x)<0.

4. Quel est l'ensemble des x pour lesquels ln(x²+5x-6) existe?

Equations de droites (voir fiche 3)

➢ Exercice 0-13

1. Trouver l'équation de la droite de coefficient directeur 0,5 et passant par le point (2;3).

2. Trouver l'équation de la droite passant par les points (2;3) et (5;8).

➢ Exercice 0-14

Le prix HT en euros noté C facturé par une entreprise de transport pour l'acheminement d'un colis, est une fonction affine par intervalles du poids en kilogramme, noté p.

1. Ecrire l'expression de C(p) pour p ∈ ]0;60[ sachant que :

- Pour un colis de moins de 10 kg, le tarif est forfaitairement fixé à 75€.

- Pour un colis d'au moins 10 kg mais de moins de 30 kg, on paie 5€ par kg à quoi s'ajoutent des frais fixes pour un montant de 25€.

- Pour un colis d'au moins 30 kg mais d'au plus 60 kg, on paie 10% de moins par kg que dans le cas précédent tandis que les frais fixes s'élèvent à 40€.

2. Représenter la fonction C dans un repère.

➢ Exercice 0-15

Déterminer la pente de la tangente au graphe de f au point spécifié : f1(x)=3x+2 en (0;2) f2(x)=x²-1 en (1;0) f3(x)=2+ ³_x en (3;3).

➢ Exercice 0-16

Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de f(x)=3-x-x² au point d'abscisse x=1.

La récurrence (voir fiche 4)

Nous rencontrerons plusieurs fois ce mode de raisonnement qu'il sera indispensable de maîtriser.

➢ Exercice 0-17

Démontrer par récurrence que ∀ n, un entier, 3+3²+3³+ ... +3ⁿ= ¹₂^3^n1^−3 .

Les dérivées (voir fiche 6)

Si vous rencontrez des difficultés, vous pouvez aller voir www.academie-en-ligne.fr, lycee, premiere es, mathematiques, fonction dérivée.

➢ Exercice 0-18

Donner les ensembles de définitions de chaque fonction, dériver ces dernières et donner l'ensemble des réels sur lesquels les dérivées existent :

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f1(x) = 5x⁸ ; f2(x) = ₁₀₀^x¹⁰⁰ ; f3(x) =



⁴^x ^{; f}⁴^{(t) =t}²^- ⁵⁷ ^t⁷^+3t-6-t^-4^{; f}⁵^(t)=e^t^{; f}⁶(t)=ln (t) ; f7(t)=π⁷ remarque : les fonctions exponentielles et logarithmes seront revues ultérieurement.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 0-19

Soit f(x)= _1x^x 2 . Donner l'ensemble de définition de f. Montrer que, ∀x réel, f(-x)=-f(x).

Que cela signifie t-il? Montrer que pour tout réel x non nul, f( ¹_x )=f(x).

➢ Exercice 0-20

Résoudre les équations en x suivantes : ln(3-x)=-1 et 2e^x=5.

➢ Exercice 0-21 Résoudre x²+1 ≤ 1.

➢ Exercice 0-22

Déterminer quels sont les nombres p qui vérifient ^2p−3_p−1 > 3-p.