Licence 1 DEG Dossier de travaux dirigés Semestre 2-2015/2016

(1)

Licence 1 DEG Dossier de travaux dirigés Semestre 2-2015/2016

Mathématiques : algèbre-UE 2J

Ce dossier de travaux dirigés contient les énoncés des exercices relatifs aux chapitres 1 et 2 d'algèbre (cours de Mme Espinouze). Il est aussi disponible sur l'ENT.

Pour chaque TD, on retrouve 3 catégories d'exercices :

la catégorie Exercices obligatoires qui sont à préparer avant les séances et qui seront corrigés pendant les séances,

la catégorie Pour aller plus loin qui comporte des exercices plus difficiles pouvant satisfaire les étudiants à l'aise avec les mathématiques et qui ont envie d'en faire plus et

la catégorie Exercices en plus pour réviser qui contient quelques exercices d'entrainement supplémentaires qui ne seront pas traités en TD.

Tous les exercices, mis à part ceux de la rubrique Pour aller plus loin, sont à savoir faire pour l'examen.

Les seuls instruments autorisés à l'examen sont les calculatrices type collège. Ainsi, toutes les formules sont à connaitre.

La calculatrice est indispensable pour traiter les exercices. Ainsi, vous devez venir en TD avec votre calculatrice type collège. Pour que tout le monde avance de façon efficace, vous devez venir en TD avec votre cours.

Les séances de TD algèbre alternent avec les séances de TD statistiques selon le calendrier suivant :

A=TD algèbre, S=TD statistique

N° semaine 5 6 7 9 10 11 12 13 14

TD S A S A S A A A 2 séances d'Algèbre

(2)

SOMMAIRE

TD 1 : Corrigé du CC2-Matrices : généralités et opérations page 3 Dans ce TD, vous retrouvez les sujets du CC2 du semestre 1 afin d'en corriger les parties les moins réussies puis des exercices permettant de bien comprendre le fonctionnement (écriture, opérations) et l'intérêt du calcul matriciel.

TD 2 : Déterminants page 7

TD 3 : Matrice inverse page 9

TD 4 : Systèmes linéaires page 11

TD 5 : Optimisation : acte 1 page 13

TD 6 : Optimisation : acte 2 page 16

TD 7 : Révisions page 18

Selon les difficultés rencontrées pendant les séances précédentes, les exercices de ce TD pourront être modifiés.

(3)

TD 1 Semestre 2-2015/2016

Corrigé du CC2-Matrices : généralités et opérations

CC2 du semestre 1

Sujet A Sujet B

Exercice 1 : vrai ou faux? Pour l'ensemble des questions, D est la fonction définie sur

]0;+∞[ par

Dx=2,5×x

−6 5

1.Vrai/Faux : Pour tout x>0, _{D '}__x=−3×x⁻¹¹⁵ . 2.Vrai/Faux : Pour tout x>0, ^{D ' '}^^x=³³₅ ^×^x⁻¹¹⁵ 3.Vrai/Faux : D est strictement croissante sur ] 0;+∞[.

4.Vrai/Faux : D est convexe sur ]0;+∞[.

5.Vrai/Faux : Pour tout x0>0, une augmentation de x de 1% à partir de x0 entraine une baisse de D de 1,2%.

6.Vrai/Faux :

∫

1

2Dxdx=2,52

−1

5−1 .

Exercice 2

On considère la fonction g suivante pour tout réel x :

1. Calculer g(2).

2. Pour tout x réel, déterminer g'(x) puis calculer g'(2).

3. Déterminer l'expression de l'approximation de Taylor-Lagrange au degré 1 de g pour un réel x au voisinage de 2.

4. En déduire une valeur approchée de g(2,01) (sans utiliser la définition de g).

Exercice 1 : vrai ou faux? Pour l'ensemble des questions, D est la fonction définie sur

]0;+∞[ par

Dx=4×x

−9 8

1.Vrai/Faux : Pour tout x>0, _D'_x_=4,5×_x⁻¹⁷⁸ . 2.Vrai/Faux : Pour tout x>0,

D' 'x=76,5 8 ×x

−25 8

3.Vrai/Faux : D est strictement décroissante sur ]0;+∞[.

4.Vrai/Faux : D est concave sur ]0;+∞[.

5.Vrai/Faux : Pour tout x0>0, une augmentation de x de 1% à partir de x0 entraine une baisse de D de 1,125%.

6.Vrai/Faux :

∫

1

2Dxdx=−322

−1

8−1 .

Exercice 2

On considère la fonction g suivante pour tout réel x :

1. Calculer g(5).

2. Pour tout x réel, déterminer g'(x) puis calculer g'(5).

3. Déterminer l'expression de l'approximation de Taylor-Lagrange au degré 1 de g pour un réel x au voisinage de 5.

4. En déduire une valeur approchée de g(5,02) (sans utiliser la définition de g).

gx=e^0,5^x−1−x²20x2

gx=e^0,2^x−1−x²50x5

(4)

5. Calculer I=

∫

5

8e^0,5^x−1−x²20x2dx . En donner la valeur exacte.

Exercice 3

On considère la fonction g suivante : g :

1. Montrer que g est homogène et préciser son degré d'homogénéité.

2. Calculer g(1,2), g'_x1(1,2) et g'_x2(1,2).

3. Définir la différentielle de g au point (1;2), la noter dg(1;2) .

4. Question BONUS : En déduire une valeur approximative de g(0,999;2,002).

5. Calculer I=

∫

5

8e^0,2^x−1−x²50x5dx . En donner la valeur exacte.

Exercice 3

On considère la fonction g suivante : g :

1. Montrer que g est homogène et préciser son degré d'homogénéité.

2. Calculer g(2,1), g'_x1(2,1) et g'_x2(2,1).

3. Définir la différentielle de g au point (2;1), la noter dg(2;1) .

4. Question BONUS : En déduire une valeur approximative de g(2,001;0,998).

Exercices obligatoires

➢ Exercice 1-1

On considère les matrices suivantes :

A=



^{1 2}^{4 1}^{0 5} ⁻³³⁶



^{, B=}



⁻⁴¹²



^{et C=}

^

¹³ ^{−1 4}⁵ ⁸

^

^.

On note aij (respectivement bij et cij) le terme général de la matrice A (respectivement B et C).

1. Quelles sont les tailles de ces matrices?

2. Donner les valeurs de a12 , a21 , b31 et c23 .

3. Remplacer . des relations par l'indice qui convient (donner toutes les solutions) : a..=1, b.1=1, c1.+c2.=4.

4. Ecrire les matrices A^T, B^T et C^T. Quelles sont leur dimension?

5. Ecrire la matrice D=(dij) à 3 lignes et 2 colonnes définie par la formule dij=i²+j².

6. Ecrire la matrice F=(fij) à 4 lignes et 4 colonnes triangulaire supèrieure définie par la formule fij=1+i-j pour les coefficients non nuls.

➢ Exercice 1-2

On considère les matrices suivantes : A=



⁻¹²⁰ ⁻²¹³



^{et B=}



⁻³¹¹ ⁻³¹²



^.

1. Calculer lorsque cela est possible A+B, 2A-3B, A+B^T, 3A+5B et enfin xA+By où x et y sont des réels quelconques.

2. Déterminer x et y pour que les éléments de la première ligne de xA+yB valent respectivement 5 et 7.

x_1,x₂3x₁²x₂³−2x₁⁵5x₁⁴x₂ x_1,x₂4x₁³x₂⁴−5x₂⁷7x₁x₂⁶

ℝ² ℝ ℝ² ℝ

(5)

➢ Exercice 1-3

On considère les matrices suivantes : A=



⁻¹¹¹ ⁻¹¹¹ ⁻¹⁻¹¹



^{, B=}



^{1 1 0}^{1 1 1}^{0 0 1}



^.

1. Calculer AB, BA, A² et B².

2. En déduire que (A-B)²≠A²-2AB+B².

➢ Exercice 1-4

Trois firmes A, B et C (numérotées 1, 2 et 3) partagent le marché d'un certain bien. La firme A détient 20% du marché, B 60% et C, 20%. Au cours de l'année suivante s'opèrent les transferts suivants :

A conserve 85% de ses clients, tout en cédant 5% à B et 10% à C.

B conserve 55% de ses clients, tout en cédant 10% à A et 35% à C.

C conserve 85% de ses clients, tout en cédant 10% à A et 5% à B.

On peut représenter les parts de marché de ces trois firmes par un vecteur de parts de marché, défini comme un vecteur colonne s dont les composantes sont positives et de somme 1.

On définit la matrice T dite matrice de transition et le vecteur de parts de marché initial s par :

T=



0,85 0,10 0,10 0,05 0,55 0,05

0,10 0,35 0,85



^{et s=}



^0,2^0,6^0,2



^.

1. Donner une interprétation de tij, élément de la matrice T.

2. Calculet Ts et montrer que c'est aussi un vecteur de parts de marché et donnez-en une interprétation.

3. Que représente le vecteur T(Ts)? On ne demande pas de le calculer.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 1-5

1. On peut définir les puissances de matrice tout comme nous le faisons pour les nombres, à l'aide des relations suivantes : A¹=A et Aⁿ=AA^n-1=A^n-1A=A.A. ... A (n fois) pour n>1.

On considère la matrice suivante : A=



¹0 ⁻¹1



^.

Calculer A², A³ puis conjecturer l'expression de Aⁿ. La prouver par récurrence.

2. On considère la matrice suivante : B=



⁻¹²¹ ⁻²⁻²³ ⁻⁴⁻³⁴



^.

Calculer B². Que remarquez-vous? En déduire B³ puis Bⁿ. Une telle matrice est dite idempotente.

(6)

Exercices en plus pour réviser

➢ Exercice 1-6 Soient :

A=

1. Calculer chacune des matrices suivantes quand elles sont définies :

A+B A-D 5B DC B^T A^TC^T

C+D B-A AB CE -D ( CE)^T

B+DC D-C CA EC (CA)^T E^TC^T

2. Vérifier que ( DA)^T= A^TD^T 3. Vérifier que CD≠DC.

➢ Exercice 1-7

Vérifier que



²⁰⁵ ^{−1 2 1}³⁰ ^{1 4}^{6 0}

 

^{−1 0}²⁰¹ ³¹¹



⁼

^

^{10 21}⁵² ¹¹³

^

. Le produit dans l'autre sens est-il défini?

(7)

TD 2 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

Déterminants

^

^1−³ ^4−²

^

(développer et réduire ce dernier déterminant en fonction de λ).

Quelles sont les matrices inversibles?

➢ Exercice 2-2

3. En déduire que 2 et 4 sont les racines de de polynôme de degré 3 en λ.

Dans cette situation, on peut montrer qu'il existe une matrice R inversible telle que RAR^-1=



^{2 0 0}^{0 4 0}^{0 0 4}



^.

Ici, R=



^{−2 1}¹¹ ⁰⁰ ⁻¹¹⁰



^{et R}^-1^=P=



^{0,5 0}^{0,5 0}¹ ¹ ^−0,5^0,5¹



^.

Selon le temps, vérifier que P=R^-1et que RAR^-1=



^{2 0 0}^{0 4 0}^{0 0 4}



^a1 ^1−a−a²



sont involutives (quel que soit a).

3. Montrer que A involutive si et seulement si (In -A)(In +A)=0 (matrice nulle).

Exercices en plus pour réviser

➢ Exercice 2-7

Calculer les déterminants des matrices suivantes :

Matrice inverse

Exercices obligatoires

➢ Exercice 3-1

Montrer que



3. En déduire M^-1.

➢ Exercice 3-4

Une entreprise de confection de vêtements fabrique des jupes, des robes et des pantalons.

Pour fabriquer une jupe, il faut 0,75m de tissu, 4 boutons et une fermeture Éclair.

Pour fabriquer une robe, il faut 1,5m de tissu, 6 boutons et une fermeture Éclair.

Pour fabriquer un pantalon, il faut 1,25m de tissu, 2 boutons et une fermeture Éclair.

On appelle x, y et z les quantités respectives de jupes, de robes et de pantalons

confectionnés, et a, b et c les quantités de tissu (en mètres), de boutons et de fermeture Éclair utilisées pour la fabrication.

Enfin on considère les matrices : ^M⁼



0,75 1,5 1,25

4 6 2

1. Quelle relation lie A, B et M?

2. Déterminer les quantités de tissu (en mètres), de boutons et de fermeture Éclair utilisées pour la fabrication de 200 jupes, 120 robes et 320 pantalons.

3. M est-elle inversible? Si oui, déterminer M^-1. 4 Écrire la matrice A en fonction de B et de M^-1.

^{1 0}^{0 2}^{0 0}ⁿ ²⁰⁰ⁿ



^.

(11)

TD 4 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

Systèmes linéaires

Exercices obligatoires

➢ Exercice 4-1

Soit la matrice A=



^ab ³1



. Déterminer les nombres a et b tels que tr(A)=0 et det(A)=-10.

➢ Exercice 4-2

Ecrire les systèmes suivants sous forme matricielle et les résoudre à l'aide du pivot de Gauss :

x₁x₂=3 3x₁5x₂=5

2x₁−3x₂x₃=0 x₁x₂−x₃=0

2x₁2x₂−x₃=−3 4x₁2x₃=8

6x2−3x3=−12 .

➢ Exercice 4-3 Soit le système :

xy2m−1z=1 mxyz=1 xmyz=3m1

où m est un réel.

1. Pour quelles valeurs de m le système est-il de Cramer?

2. Résoudre le système pour m=0 puis pour m=1.

3. Selon le temps : résoudre le système pour m quelconque parmi les valeurs identifiées à la première question.

➢ Exercice 4-4

À l’accueil d’un musée on peut lire les tarifs suivants : Adultes (12 €) ; Enfants (6 €) ; Étudiants (8 €).

Voici les renseignements concernant les visites d’une journée : - 300 personnes ont visité le musée ce jour là,

- le nombre d'adultes augmenté du triple du nombre d'enfants est égal au nombre d'étudiants,

- 25% des étudiants ont payé plein tarif pour non présentation de la carte d'étudiant, - la recette de la journée s'élève à 2772€.

(12)

Déterminer le nombre d’adultes, d’enfants et d’étudiants qui ont visité le musée ce jour-là.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 4-5

T. Haavelmo a conçu un modèle de l'économie américaine pour la période 1929-1941 basé sur les équations suivantes :

(i) c=0,712y+95,05 (ii) x=0,158(x+c)-34,30 (iii) y=c+x+s (iv) x=93,53

Ici x désigne l'investissement total, y le revenu disponible, s l'épargne totale des entreprises et c la consommation totale.

Résoudre ce système.

➢ Exercice 4-6

Pour quelles valeurs de a, b et c le système suivant a-t-il des solutions? Cherchez ces solutions quand elles existent.

x₁−2x₂x₃2x₄=a x₁x₂−x₃x₄=b x₁7x₂−5x₃−x₄=c

➢ Exercice 4-7

Dans le plan muni d'un repère, on donne les points suivants : A(2;2,5) ; B(-1;-5) et C(3;3).

1. Ces trois points passent par la parabole d'équation y=ax²+bx+c.

Ecrire le système de 3 équations à 3 inconnues a, b et c obtenu et sa forme matricielle.

2. Le résoudre et en déduire l'équation de la parabole.

3. Trouver les coordonnées du sommet de cette parabole.

Exercices en plus pour réviser

➢ Exercice 4-8

Chercher les solutions du système suivant pour toutes les valeurs de p avec la méthode de votre choix :

pxy=1 x−yz=0

2y−z=3

➢ Exercice 4-9

Résoudre les systèmes suivants avec le pivot de Gauss et Cramer (si possible) :

ax−by=1

bxay=2 , ^2x^x⁻^y7z=−1^y5z=−5

−x−3y−9z=−5

x2y=6

−3x4y6z=30

−x−2y3z=8

(13)

TD 5 Chapitre 2 Semestre 2-2015/2016

Optimisation : acte 1

Exercices obligatoires

➢ Exercice 5-1

En produisant et vendant x unités d'un bien, une firme gagne une recette totale donnée par R(x)=-0,0016x²+44x et supporte les coûts totaux C(x)=0,0004x²+8x+64 000.

1. Quel est le niveau de production x0 qui rend le profit maximal? (Le profit est la différence entre la recette totale et le coût total).

2. L'élasticité ElxC(1 000)≈0,12. Interprétez ce résultat.

➢ Exercice 5-2

La hauteur d'une plante fleurie après t mois est donnée par ^ht=t−1

2t ,t∈[0;3] . A quel moment la plante atteint-elle sa taille maximale?

➢ Exercice 5-3

Trouver les extrema des fonctions suivantes définies pour tous réels x et y : 1. f(x,y)=x²+4y²+2x-4y

2. g(x,y)=x²+y⁴-2y² 3. h(x,y)= ^x²−^xy¹₆^y³^8

➢ Exercice 5-4

Un agent économique cherche à maximiser son utilité (fonction qui mesure la satisfaction que retire cet agent en consommant un bien). Celle-ci est donnée par U(x)=ln(x)-e^x-1, où x désigne son niveau de consommation d'un certain bien.

1. Sur quel intervalle U est-elle définie?

2. Montrer que U est strictement concave sur ]0;+∞[.

3. Calculer U'(1).

4. En déduire le maximum global de U sur ]0;+∞[.

➢ Exercice 5-5

Une entreprise fabrique deux modèles A et B d'un bien. Le coût journalier de fabrication de

(14)

x unités de A et y unités de B est donné par la fonction

C(x;y)=0,04x²+0,01xy+0,01y²+4x+2y+500.

Si l'entreprise vend toute sa production au prix de 15 par unité du modèle A et 9 par unité du modèle B, déterminer les niveaux x et y de production journalière qui rendent le profit maximal.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 5-6

1. Après les inondations catastrophiques sur le littoral de la mer du Nord en 1953, le gouvernement néerlandais a lancé un projet pour déterminer la hauteur optimale des digues. Un des modèles exigeait de trouver la valeur qui rendait minimale la fonction

f(x)=I0+kx+Ae^-αx (x ≥ 0).

Ici, x désigne la hauteur (en mètres) qu'il faudrait ajouter aux digues, I0+kx le coût de la construction et Ae^-αxune estimation des pertes prévues dues aux inondations. Les paramètres I0, k, A et α sont des constantes strictement positives.

Dans l'hypothèse Aα>k, trouver x0>0 qui rend f(x) minimal.

2. A est définie par A=p0V(1+100/δ) où p0 est la probabilité que les digues soient submergées si elles ne sont pas reconstruites, V une estimation du coût des dommages dus aux inondations et δ un taux d'intérêt. Montrer que :

x₀=1

ln

[

^^pk⁰^V



^1¹⁰⁰

 ]

^.

Examiner ce qui arrive à x0 quand une des variables p0, V, δ ou k augmente.

➢ Exercice 5-7

Caractériser les points stationnaires de

➢ Exercice 5-8

Trouver les extrema de f(x,y)=3x⁴+3x²y-y³.

Exercices en plus pour réviser

➢ Exercice 5-9

Soit y la quantité hebdomadaire de viande de porc produite à Chicago en 1948 (en millions de livres) et soit x la quantité hebdomadaire totale de travail (en milliers d'heures). Nichols a établi entre ces deux variables, la relation y=-2,05+1,06x-0,04x². Déterminer la valeur de x qui rend y maximal.

➢ Exercice 5-10

Une firme qui ne produit qu'un seul bien cherche à maximiser son profit. Le prix unitaire , désigné par P(q) varie avec q selon la formule ^P^q^=100⁻¹₃^{q , q∈}^[⁰^;³⁰⁰^] .

fx= 6x³ x⁴x²2

(15)

La fonction coût total est C(q)= ^C^q^=₆₀₀¹ ^q³⁻¹₃^q²^50q^¹⁰⁰⁰₃ . Déterminer le niveau de production qui rend le profit maximal.

➢ Exercice 5-11

Une firme pharmaceutique produit de la pénicilline. Le prix de vente à l'unité est 200 et le coût de production de x unités est donné par

U(x)=500 000 + 80x + 0,003x².

La firme peut produire jusqu'à 30 000 unités. Quelle est la valeur de x qui maximise le profit?

➢ Exercice 5-12

Trouver les extrema de f(x,y)=x²-6xy+2y²+10x-2y-5.

(16)

TD 6 Chapitre 2 Semestre 2-2015/2016

Optimisation : acte 2

Exercices obligatoires

➢ Exercice 6-1

Trouver les extrema de la fonction f(x,y)=xy-y²+5 sous la contrainte x-2y=3 par la méthode qui vous parait la plus simple.

➢ Exercice 6-2

Trouver les extrema de la fonction f(x,y)=x+2y sous la contrainte x²+y²=5 par la méthode qui vous parait la plus simple.

➢ Exercice 6-3

A l'aide du Lagrangien, trouver les extrema de la fonction f(x,y)=x²+y sous la contrainte 3x+4y=5.

➢ Exercice 6-4

Exercice d'économétrie proposé par le professeur Pascal Favard à Tours.

La fonction d'utilité de Zheng est la suivante : U(x1,x2)=(x1+4)(x1+x2) où x1 est la quantité consommée de viande et x2 la quantité consommée de soupe. Le revenu de Zheng est R. Il est entièrement utilisé pour l'achat de viande et de soupe.

Le prix d'un kg de viande est 3€ et celui d'un litre de soupe est 2€.

Déterminer les quantités x1 et x2 qui maximisent l'utilité sous la contrainte budgétaire (affectation totale du revenu R à l'achat de la viande et de la soupe).

Pour aller plus loin

➢ Exercice 6-5

Résoudre le problème suivant : minimiser x²+y²+z² sous les contraintes x+2z+z=30,

2x-y-3z=10.

Indication : exprimer y et z en fonction de x dans les deux contraintes.

(17)

➢ Exercice 6-6

A l'aide du Lagrangien, résoudre le problème du consommateur suivant : maximiser U(x,y,z)=xy³z sous la contrainte x+y+z=12.

Exercices en plus pour réviser

➢ Exercice 6-7

Trouver les extrema de la fonction f(x,y)=x²y sous la contrainte x+y=1 de deux façons.

➢ Exercice 6-8

Trouver les extrema de la fonction f(x,y)= ^f^^{x , y=12x}y sous la contrainte 3x+4y=12 à l'aide du Lagrangien.

➢ Exercice 6-9

Suite de l'exercice 5-5 :

L'entreprise est responsable d'une certaine pollution, de sorte que, légalement, elle ne peut produire qu'un total de 320 unités des deux modèles de biens.

Si sa production totale est de 320 unités, en quelles quantités faut-il alors produire chaque modèle pour rendre le profit maximal?

(18)

TD 7 Semestre 2-2015/2016

Révisions

Exercices suggérés

➢ Exercice 7-1

Une firme produit et vend deux biens. En vendant x tonnes du premier bien, elle reçoit un prix par tonne calculé selon l'expression p=96-4x. En vendant y tonnes de l'autre bien, le prix par tonne de l'autre bien est donné par r=84-2y. Les coûts totaux de production et vente de x tonnes du premier bien et y tonnes du deuxième bien sont donnés par C(x,y)=2x²+2xy+y².

1. Montrer que la fonction profit de la firme est P(x,y)=-6x²-3y²-2xy+96x+84y.

Déterminer les points stationnaires puis les extrema (s'il en existe) de ce profit.

2. L'activité de la firme est tellement polluante que les autorités lui limitent sa production à 11 tonnes en tout. Chercher à nouveau les extrema du profit sous la contrainte d'une production totale égale à 11.

➢ Exercice 7-2 modèle de Léontief (Wassily Léontief 1905-1999) Exercice extrait du site académie en ligne

Le modèle de Léontief est un modèle linéaire de production assez particulier.

Considérons un pays virtuel, sans échange extérieur, où l’économie très simplifiée se compose de n secteurs (on prendra en général n ≤ 4). Chaque secteur consomme des productions des autres secteurs et, éventuellement, une partie de sa propre production : ce sont les consommations intermédiaires. Le reste correspond à la consommation finale (ou demande).

On a donc production=consommations intermédiaires+demande.

Un tel modèle est dit fermé car, sans échange extérieur, il satisfait à ses propres besoins.

Un tel modèle n’est cependant pas très fréquent.

(19)

Si l'on a un pays avec 2 secteurs S1 et S2 avec les données suivantes : S1 S2 Consommations intermédiaires S1 c11 c12 c11+c12

S2 c21 C22 c21+c22

cela signifie que pour le bien S1, il faut c11 de S1 et c12 de S2.

Notons x la production de S1 et y celle de S2.

L'utilisation des matrices permet de trouver simplement la production ou la demande, selon ce qui connu au départ.

On doit construire la matrice technologique :

A=



^c^c^x^x¹¹²¹ ^c^c^y^y¹²²²



puis on modélise le problème à l'aide de cette matrice.

Dans l'exercice, l'économie d'un pays se décompose en trois secteurs : l'acier, l'électricité et la fabrication automobile. Les productions, consommations intermédiaires et demandes sont exprimées en unité monétaire (UM).

On donne les consommations intermédiaires et productions suivantes : acier électricité Fabrication

automobiles Total

acier 400 400 600

électricité 100 200 200

Fabrication

automobiles 100 200 100

Production

acier 5 000

électricité 1 600

Fabrication automobiles 800

1. a. Calculer les consommations intermédiaires totales et les demandes de chaque produit.

b. Construire A la matrice technologique. On appelle X la matrice colonne des productions, C la matrice colonne des consommations intermédiaires totales et D la matrice des

demandes.

Calculer AX. Conclusion?

Calculer C+D. Conclusion? En déduire une égalité faisant intervenir A, X et D.

c. Montrer que I3-A est inversible où I3 est la matrice unité d'ordre 3. Calculer (I3-A)^-1 de plusieurs façons.

(20)

2. A partir de cette question, les productions ne sont pas connues. On note ^X⁼



^x^y^z



^.

Les résultats seront arrondis à 0,01 près.

Calculer les productions nécessaires pour satisfaire les nouvelles demandes dans les deux cas suivants :

a. Les demandes dans les trois secteurs augmentent de 100 UM.

b. La demande d’acier augmente de 10 % alors que les deux autres demandes augmentent de 5 %.