Corrigé TD 2 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

(1)

Corrigé TD 2 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

Déterminants

Exercices obligatoires

➢ Exercice 2-1

Calculer les déterminants des matrices suivantes par la méthode qui vous semble la plus appropriée (bien analyser la matrice avant de se précipiter). Vérifier avec la règle de Sarrus lorsque cela est possible :

A=

(

²1 ⁻⁴3

)

^{, B=}

(

¹¹¹ ^{−1 0}³⁰ ²⁰

)

^{, C=}

(

¹¹¹ ^{−1 0}³² ²¹

)

^{, D=}

(

⁻⁴²¹ ⁻¹²⁵ ⁻⁶³⁶

)

F=

(

^x−a⁰⁰⁰ ¹ ^−xâ¹⁰² ^−xâ⁰¹³ ^−xâ⁰⁰⁴

)

^{et G=}

⁽

^1−λ³ ^4−λ²

⁾

(développer et réduire ce dernier déterminant en fonction de ).

Quelles sont les matrices inversibles?

|

²¹ ⁻⁴³

|

=2×3−1×(−4)=10≠0 Donc A est inversible.

Pour le déterminant de B, on développe par rapport à la dernière ligne, donc : Donc B est inversible.

Pour la règle de Sarrus, écrivons :

puis calculons les produits des “diagonales positives” puis les produits

des “diagonales négatives”.

Donc 1×3×0+(−1)×2×1+0×1×0−0×3×1−1×2×0−(−1)×1×0=−2 .

Pour

|

¹¹¹ ^{−1 0}³² ¹²

|

, on peut d'abord remplacer une colonne de façon à obtenir un zéro de

|

¹¹¹ ^{−1 0}³⁰ ⁰²

|

⁼⁽⁻¹⁾³⁺¹^×1×

^|

^{−1 0}³ ²

^|

=−1×2−3×0=−2≠0 1 −1 0 1 −1

1 3 2 1 3 1 0 0 1 0

(2)

plus sur la première ligne. Par exemple, faisons C2C1+C2. On obtient :

|

¹¹¹ ^{−1 0}³² ¹²

|

⁼

|

^{1 0 0}^{1 4 2}^{1 3 1}

|

On développe alors par rapport à la première ligne :

Donc C est inversible.

Pour la règle de Sarrus, écrivons :

puis calculons les produits des “diagonales positives” puis les produits

des “diagonales négatives”.

Donc 1×3×1+(−1)×2×1+0×1×2−0×3×1−1×2×2−(−1)×1×1=−2 .

Pour

|

⁻¹²⁴ ⁻¹²⁵ ⁻⁶³⁶

|

, on remarque que L2=-2L1 donc les deux premières lignes sont proportionnelles. Ainsi le déterminant est nul. La matrice D n'est donc pas inversible.

Pour

|

^x−a⁰⁰⁰ ¹ ^−xâ¹⁰² ^−xâ⁰¹³ ⁻â⁰⁰⁴^x

|

, développons par rapport à la première colonne. Ainsi

|

^x−a⁰⁰⁰ ¹ ^−xâ¹⁰² ^−xâ⁰¹³ ⁻â⁰⁰⁴^x

|

⁼⁽⁻¹⁾¹⁺¹^×(^x−a¹^)×

^|

⁻¹⁰^x ^−x⁰¹ ^−x⁰⁰

^|

. Développons ce dernier déterminant par rapport à la première ligne :

Donc F est inversible si et seulement si x est différent de 0 et de a1.

|

¹⁻3^λ 4−²λ

|

=(1−λ )×(4−λ)−3×2=λ²−5λ +4−6=λ²−5λ−2 F est inversible si et seulement si

²-5-20.

=(-5)²-4(-2)=33 donc les deux racines sont ⁵⁺√³³

2 et ⁵⁻√³³

2 .

➢ Exercice 2-2

Montrer que le déterminant de la matrice A=

(

^1+a¹¹ ¹⁺¹¹^b ^1+c¹¹

)

est abc+ab+bc+ac pour tous réels a, b et c.

Pour calculer le déterminant de A, nous pouvons d'abord modifier des lignes ou des colonnes de façon à obtenir un maximum de zéros sur une ligne ou une colonne.

|

^{1 0 0}^{1 4 2}^{1 3 1}

|

⁼⁽⁻¹⁾¹⁺¹^×1×

^|

^{4 2}^{3 1}

^|

^{=4×1−3×2=}^−2≠0

1 −1 0 1 −1 1 3 2 1 3 1 2 1 1 2

|

^x−a⁰⁰⁰ ¹ ^−xâ¹⁰² ^−xâ⁰¹³ ⁻â⁰⁰⁴^x

|

⁼⁽^x−a¹^)×(−1)¹⁺¹^×(−x)

^|

^−x¹ ^−x⁰

^|

⁼⁽^x−a¹)×(−x)×((−x)×(−x)−1×0)=(−x)³(x−a1)

(3)

Par exemple, gardons la troisième colonne et modifions les deux premières : C1C1-(1+a)C2 :

|

^1+a¹¹ ^1+b¹¹ ^1+c¹¹

|

⁼

|

(1+a)−(1+a)×1 1 1 1−(1+a)(1+b) 1+b 1

1−(1+a)×1 1 1+c

|

⁼

|

^{−a−b−ab}^−a⁰ ^1+b¹¹ ^1+c¹¹

|

. Remplaçons

maintenant la deuxième colonne de façon à avoir un zéro sur la première ligne. Pour cela, on procède ainsi : C2C2-C3, d'où

det(A)=

|

^−a−b^−a⁰^−ab ^1−(1+c)^1+b−1⁰ ^1+c¹¹

|

⁼

|

^{−a−b−ab}^−a⁰ ^−c⁰^b ^1+c¹¹

|

^.

En développant par rapport à la première ligne, on obtient : ⁽⁻¹⁾¹⁺³^×1×

|

^{−a−b−ab}−a −c^b

|

donc donc det(A)=ac+bc+abc+ab.

➢ Exercice 2-3

Soient A=



⁻¹³^{1 1}⁵² ⁻¹³¹



^{et B=}



⁻²¹¹ ⁻²¹¹ ⁻¹⁵²



^.

1. Calculer AB, det(A), det(AB).

Le produit AB est possible car les deux matrices sont carrées d'ordre 3.

AB=

(

⁻⁴⁸⁷ −3 11²⁶ ⁻²²⁸

)

^.

Calculons le déterminant de A en gardant la deuxième ligne et en remplaçant la première et la dernière de façon à obtenir des zéros sur la première colonne. Appliquons les transformations suivantes : L1L1+L2, et L3L3+3L2 :

det(A)=

|

^{−1 1}¹³ ⁵² ⁻¹³¹

|

⁼

|

^{−1 1 3}⁰³ ^{6 2}^{2 1}

|

⁼

|

^{−1 1}⁰⁰ ⁶^{5 10}²³

|

^. ^Le développement donne

det(A)=(−1)²⁺¹×(−1)×

|

⁶^{5 10}²

|

=6×10−5×2=50 .

det(AB)=

|

⁻⁴⁸⁷ ^{−3 11}⁶² ⁻²²⁸

|

⁼

|

2×4 2×1 2×14

−4 6 −2

7 −3 11

|

^=2×

|

⁻⁴⁴⁷ ^{−3 11}¹⁶ ⁻²¹⁴

|

donc

Plusieurs méthodes de calcul possibles pour

Calcul direct

Développons par exemple par rapport à la première colonne :

det(A)=(−a−b−ab)×(−c)−(−a)×b

det(AB)=2×

|

^−2×2⁴⁷ ^−2×(⁻³¹⁻³⁾ ^−2×1¹⁴¹¹

|

^=2×(−2)×

|

⁴²⁷ ⁻³−3 11¹ ¹⁴¹

|

det(AB)=−4×

|

⁴²⁷ ⁻³^{−3 11}¹ ¹⁴¹

| |

⁴²⁷ ⁻³^{−3 11}¹ ¹⁴¹

|

⁴²⁷ ⁻³^{−3 11}¹ ¹⁴¹

|

⁼⁽⁻¹⁾¹⁺¹^×4×

^|

⁻³^{−3 11}¹

^|

⁺⁽⁻¹⁾²⁺¹^×2×

^|

^{−3 11}¹ ¹⁴

^|

⁺⁽⁻¹⁾³⁺¹^×7×

^|

⁻³¹ ¹⁴¹

^|

(4)

soit

Donc det(AB)=- 4  75=-300 .

Règle de Sarrus :

Rajoutons les deux premières colonnes :

Donc

Modification de la matrice avant de développer selon une ligne ou une colonne : Reprenons le déterminant initial :

Faisons apparaître des zéros sur

la deuxième colonne à l'aide de la transformations suivante : L2L-2+3L1

puis la transformation L3L-3+3L1 conduit à :

donc, en développant par rapport à la deuxième colonne, on obtient

Ainsi, dans tous les cas, on retrouve que det(AB)=- 4  75=-300 .

➢ 2. En déduire det(A^T) et det(B).

det(A^T)=det(A)=50.

det(AB)=det(A)det(B) et det(A)0 donc det(B)=det(AB)/det(A)=-300/50=-6. Ceci peut bien sûr se vérifier par un calcul direct de det(B).

➢ Exercice 2-4

Soient les matrices A=

(

^{−1 0}³² ⁰⁴ ⁻¹²³

)

^{et I}³⁼



^{1 0 0}^{0 1 0}^{0 0 1}



(matrice unité de dimension 3).

1. Ecrire la matrice A-I3 pour un réel quelconque .

|

⁴²⁷ ⁻³^{−3 11}¹ ¹⁴¹

|

=4(−3×11−(−3)×1)−2(1×11−(−3)×14)+7(1×1−(−3)×14)=75

4 1 14 4 1 2 −3 1 2 −3 7 −3 11 7 −3

|

⁴²⁷ ⁻³^{−3 11}¹ ¹⁴¹

|

^{=4×(−3)×11}+1×1×7+14×2×(−3)−14×(−3)×7−4×1×(−3)−1×2×11=75

|

⁴²⁷ ⁻³^{−3 11}¹ ¹⁴¹

|

⁴²⁷ ⁻³^{−3 11}¹ ¹⁴¹

|

⁼

|

¹⁴⁴⁷ ^{−3 11}¹⁰ ¹⁴⁴³

|

⁴²⁷ ⁻³^{−3 11}¹ ¹⁴¹

|

⁼

|

^{14 0 43}^{19 0 53}⁴ ^{1 14}

|

=(−1)¹⁺²×1×

|

^{14 43}^{19 53}

|

=−1(14×53−19×43)=75

(5)

^A−λ^I3=

(

³⁻−1²^λ ⁴⁻⁰0^λ 3−⁻¹²λ

)

^.

2. Chercher l'expression de det(A-I3) en fonction de . La factoriser.

^det⁽^A−λ^I3)=

|

^3−λ⁻¹² ⁴⁻⁰⁰^λ ^3−λ⁻¹²

|

. Développons par rapport à la deuxième colonne : Donc det(A-I3)=(4-)(3--1)(3-+1)=(4-)²(2-).

➢ 3. En déduire que 2 et 4 sont les racines de de polynôme de degré 3 en .

L'expression factorisée de det(A-I3) montre que les deux racines sont 2 et 4.

Dans cette situation, on peut montrer qu'il existe une matrice R inversible telle que ERRATUM : R^-1AR=

(

^{2 0 0}^{0 4 0}^{0 0 4}

)

^.

Ici, R=



⁻¹¹^{2 1}⁰⁰ ⁻¹⁰¹



^{et R}^-1^=P=



^{0,5 0}^{0,5 0}¹ ¹ ⁻^0,5¹^0,5



^.

Selon le temps, vérifier que P=R^-1et que R^-1AR=



^{2 0 0}^{0 4 0}^{0 0 4}



^.

On vérifie par le calcul que RP=PR=I3 donc R^-1=P.

On a R^-1A=

(

^{1 0}^{4 4}^{2 0} ⁻²¹⁴

)

^{donc R}^-1^AR=

(

^{2 0 0}^{0 4 0}^{0 0 4}

)

Pour aller plus loin

➢ Exercice 2-5

Calculer le déterminant de

A=

(

¹¹1 ^{a a}^{b b}c c²²²

)

pour toutes valeurs des réels a, b et c.

En modifiant les deuxièmes et troisièmes lignes de la façon suivante : L2L-2--L1 et L3L-3-L1 , on arrive à :

|

¹¹¹ ^{a a}^{b b}^{c c}²²²

|

⁼

|

¹⁰⁰ ^{b−a b}^{c−a c}^a ²²^a^−a^−a² ²²

|

. On développe ensuite par rapport à la première colonne :

|

¹⁰⁰ ^{b−a b}^{c−a c}^a ²²^a^−a^−a² ²²

|

⁼⁽⁻¹⁾¹⁺¹^×1×

^|

^{b−a b}^{c−a c}²²^−a^−a²²

^|

⁼⁽^b−a)(c²^−a²^{)−(c−a)(b}²^−a²)=(b−a)(c−a)(c+a)−(c−a)(b−a)(b+a)

donc det(A)=(b-a)(c-a)(c-b).

det(A−λI₃)=(−1)²⁺²×(4−λ)

|

^3−λ−1 3−λ⁻¹

|

⁼⁽⁴⁻^{λ )}^[⁽³⁻^λ)(³⁻^λ)⁻⁽⁻¹⁾⁽⁻¹⁾^]⁼⁽⁴⁻^{λ )}^[⁽³⁻^{λ )}²⁻¹^]

(6)

➢ Exercice 2-6

Une matrice carrée A d'ordre n est dite involutive si A²=In (matrice unité d'ordre n).

1. Montrer que le déterminant d'une matrice involutive vaut 1 ou -1.

A involutive ssi A²=In donc det(A²)=det(In)=1. Or det(A²)=det(A)det(A)=[det(A)]²(attention à la pace du carré). Donc [det(A)]²=1 d'où det(A)=1 ou -1.

2. Montrer que les matrices

(

⁻¹0 −1⁰

)

^et

(

^a1 ^1−a−a²

)

sont involutives (quel que soit a).

|

⁻¹0 −1⁰

|

^{=−1×(−1)−}⁰⁼¹ ^et

|

^a1 ^1−a−a²

|

^=a×(−a^{)−1×(1−a}²⁾⁻¹ ^.

3. Montrer que A involutive si et seulement si (In -A)(In +A)=0 (matrice nulle).

(In -A)(In +A)=0 (matrice nulle) ssi In2 +In A -A In -A²=0 (matrice nulle).

Or In A =A In =A et In2 =In . Donc (In -A)(In +A)=0 ssi A²=In .

Exercices en plus pour réviser

➢ Exercice 2-7

Calculer les déterminants des matrices suivantes :

A=



^{3 0}^{1 0}^{2 0} ⁻¹¹⁵



^{, B=}

(

^{1 3}^{2 2}^{0 1} ⁻¹³⁴

)

^,C=

(

^{1 2}^{1 3}^{1 4 16}⁴⁹

)

^,D=

(

^{0 0 0 0 1}^{0 0 0 5 1}^{0 0 3 1 2}^{0 4 0 3 4}^{6 2 3 1 2}

)

^,E=

^

⁻²⁴ ⁻³¹

^

^.

A possède une colonne de zéros donc det(A)=0.

Pour B, appliquons C2C-2+C3 : ^det⁽^B⁾⁼

|

^{1 6}^{2 6}^{0 0} ⁻¹³⁴

|

. Développons par rapport à la dernière ligne : ^det⁽^B)=

|

^{1 6}^{2 6}^{0 0} ⁻¹³⁴

|

⁼⁽⁻¹⁾³⁺³^×(^−1)×

^|

^{1 6}^{2 6}

^|

⁼⁻(1×6−2×6)=6 . On peut vérifier par une autre méthode.

Pour C, appliquons L2L-2-L1 et L3L-3-L1 , on arrive à :

|

^{1 2}^{1 3}^{1 4 16}⁴⁹

|

⁼

|

^{1 2}^{0 1}^{0 2 12}⁴⁵

|

^{. On}

développe par rapport à la première colonne :

det(C)=(−1)¹⁺¹×1×

|

¹^{2 12}⁵

|

=1×12−2×5=2

Pour D, on développe par rapport à la première colonne,

donc det(D)=-72(-5)=360.

det(D)=

|

^{0 0 0 0 1}^{0 0 0 5 1}^{0 0 3 1 2}^{0 4 0 3 4}^{6 2 3 1 2}

|

⁼⁽⁻¹⁾⁵⁺¹^×6×

^|

^{0 0 0 1}^{0 0 5 1}^{0 3 1 2}^{4 0 3 4}

^|

^=6×(−1)⁴⁺¹^×4×

^|

^{0 0 1}^{0 5 1}^{3 1 2}

^|

^{=−24×(−1)}³⁺¹^×3×

^|

^{0 1}^{5 1}

^|

(7)

➢ Exercice 2-8

1. Calculer le déterminant de At=

(

⁻²¹⁰ ⁻²¹^t ⁻¹⁰^t

)

et montrer qu'il n'est jamais nul (t est un réel quelconque).

Développons par rapport à la première ligne :

=(-2)²-421=-4<0 donc 2t²-2t+1=0 n'a pas de solutions réelles. Ainsi le déterminant de At n'est jamais nul.

2. Montrer que pour une certaine valeur de t : At3=I3 (matrice unité d'ordre 3).

^At

2=

(

^1−2t−2² ^−2t−2+t^−t⁺³ −1+t^2−t^−t ²

)

^donc ^A^t³⁼^A^t²^×A^t⁼

(

^−2(t−1)^4(t¹⁻¹⁾ ^−4t^2t^5t−^(1−t^+3+t⁴⁾² ^4t^2−2t^t^(1−t^−t²^+t⁻³⁾³

)

^.

At3=I3 si les éléments en dehors de la diagonale sont nuls donc si t=1. Pour cette valeur, on obtient la matrice I3 .

|

⁻²¹⁰ ⁻²¹^t ⁻¹⁰^t

|

⁼⁽⁻¹⁾¹⁺¹^×1×

^|

⁻²¹ ⁻¹^t

^|

⁺⁽⁻¹⁾¹⁺²^×t×

^|

⁻²⁰ ⁻¹^t

^|

⁼⁻²^t^+1−t^(−2t^)=2t²^−2t⁺¹