CORRECTION TD 2 Chapitre 2 §1,2, 3, 4 et début du 5 Semestre 1-2015/2016

CORRECTION Chapitre 2 §1,2, 3, 4 et début du 5 TD 2 Semestre 1-2015/2016

Les fonctions : généralités

Révisions

➢ Exercice 2-1

Démontrer par récurrence que pour tout entier n>0, ^k=1

n 2k−1=n² . 1. Définition de la propriété

Soit P(n) la propriété définie pour n entier naturel >0 par : P(n) : '' ^k=1

n 2k−1=n^{2 n}.

2. Vérification de la propriété au rang de départ

Montrons que P(n) est vraie au premier rang (ici 1 mais le premier rang est souvent 0) : Pour n=1; 2×1-1=1² donc P(1) est vraie.

3. Vérification de l'hérédité

Héréditié : montrons que P(n) est héréditaire à partir du rang 1.

Supposons que pour UN entier n≥1, P(n) soit vérifiée.

On a donc : ^k=1

n 2k−1=n²

Calculons ^k=1

n12k−1= _k=1ⁿ 2k−12n1−1 à partir de P(n) :

_kⁿ₌₁^12k−1=n²2n1−1=n²2n1=n1².

On trouve alors que la propriété est vraie au rang n+1.

Donc P(n+1) est vérifiée.

4. Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 1 ET elle est héréditaire.

Ainsi, ∀ n ≥1, ^k=1

n 2k−1=n²

étude des fonctions de base

➢ Exercice 2-2

Résoudre l'équation d'inconnue t, |4-5t|=t-2.

Condition nécessaire : t-2≥0 soit t≥2.

Si on a des solutions, elles doivent vérifier :

|4-5t|=t-2⇔ 4-5t=t-2 OU 4-5t=-(t-2) ⇔ -5t-t=-4-2 OU t-5t=2-4 ⇔ t=1 OU t=1/2

Or 1<2 et 1/2>2 donc l'équation n'a pas de solution.

➢ Exercice 2-3

1. Exprimer en fonction de ln(2) sans utiliser de calculatrice : 2. Montrer que pour tout x>0, 3+2ln(x)=ln(e³x²).

1.

Donc

2. Partons, pour tout x >0 de ln(e³x²) qui existe pour tout x non nul : ln(e³x²)=ln(e³)+ln(x²) (ceci est possible car les 2 termes existent). Donc ln(e³x²)=3ln(e)+2ln(x)

ln(e³x²)=3+2ln(x) car ln(e)=1.

➢ Exercice 2-4

En 1990, le PNB de la Chine était estimé à 1,2×10¹²$ et le taux de croissance annuel de ce pays était de 9%. En comparaison, le PNB des Etats-Unis était de 5,6×10¹²$ et le taux de croissance annuel était de 2%. En supposant que les PNB de chaque pays ont continué à croître exponentiellement aux taux respectifs de 9 et 2%, en quelle année, les deux pays auraient-ils dû avoir le même PNB?

Appelons t le nombre d'années nécessaires pour que les deux PNB soient égaux.

La croissance étant exponentielle, au bout de t années, le PNB de la Chine est de 1,2×10¹²×(1+9/100)^t et le PNB des Etats-Unis est de 5,6×10¹²×(1+2/100)^t . L'égalité donne : 1,2×10¹²×(1+9/100)^t = 5,6×10¹²×(1+2/100)^t soit 1,2×1,09^t = 5,6×1,02^t donc

1,09 1,02

t

=5,6

1,2 donc ^ln

[

t

]

5,6 1,2 ln1,09

1,02

≈23,2 d'où t étant entier, 24 ans sont nécessaires ce qui donne l'année 1990+24=2 014.

Continuité

➢ Exercice 2-5

Reprendre l'énoncé de l'exercice 0-14 du TD0 :

Le prix HT en euros noté C facturé par une entreprise de transport pour l'acheminement d'un colis, est une fonction affine par intervalles du poids en kilogramme, noté p.

Ecrire l'expression de C(p) pour p ∈ ]0;60[ sachant que :

- Pour un colis de moins de 10 kg, le tarif est forfaitairement fixé à 75€.

- Pour un colis d'au moins 10 kg mais de moins de 30 kg, on paie 5€ par kg à quoi s'ajoutent des frais fixes pour un montant de 25€.

- Pour un colis d'au moins 30 kg mais d'au plus 60 kg, on paie 10% de moins par kg que

log₈4^2

log₈4^2=ln4^2

ln 8 =ln 4ln^2

ln2³ =ln2²ln2

1 2 3ln 2 =

2ln 21 2ln 2 3ln 2 =5

6. log842=5

6.

dans le cas précédent tandis que les frais fixes s'élèvent à 40€.

1. La fonction coût est-elle continue? Dérivable?

2. On désire prolonger le tarif pour des colis jusqu'à 100kg. Le prix pour un colis de 100 kg est fixé à 450€ et la fonction C doit être continue sur ]0;100]. Déterminer l'expression de C en fonction de p sur l'intervalle restant [60;100].

1. On a :

C(p) = 75 pour 0 < p < 10 25 + 5p pour 10 ≤ p < 30 40 + 4,5p pour 30 ≤ p < 60

C est continue sur ]0;10[, ]10;30[ et ]30;60[. Il reste à étudier la continuité en 10 et 30.

continuité en 10

C est continue en 10 si et seulement si ^{limp10Cp=limp10−C}p=255×10=75. . Or ^limp10⁻Cp=75=C10 donc C est continue en 10.

continuité en 30

De plus C est continue en p=30 si et seulement si

lim_p30^Cp=lim_p30⁻Cp=C30=404,5×30=175. Or ^limp30⁻Cp=255×30=175.

Donc C est continue en p=30.

Ainsi C est continue sur ]0;60[.

C est dérivable sur ]0;10[, ]10;30[ et ]30;60[. Il reste à étudier la dérivabilité en 10 et 30.

dérivabilité en 10

➢ C est dérivable en 10 si et seulement si

lim_h→0⁺C(10+h)−C(10)

h =lim_h→0⁻C(10+h)−C(10)

h =réel . Or

lim_h0^ C10h−C10

h =lim_h0^25510h−25−5×10

h =5 et

lim_h0⁻ C10h−C10

h =lim_h0^75−75

h =0 5≠0 donc C n'est pas dérivable en p=10, comme nous pouvons le constater sur la représentation graphique.

dérivabilité en 3 0

De même, C est dérivable en 30 si et seulement si

lim_h0^ C30h−C30

h =lim_h0⁻C30h−C30

h =réel . Or

lim_h0^C30h−C30

h =lim_h0^404,530h−40−4,5×30

h =4,5 et

lim_h0⁻ C30h−C30

h =lim_h0⁻25530h−25−5×30

h =5 5≠4,5 donc C n'est pas dérivable en p=30, comme nous pouvons le constater sur la représentation graphique. La pente est différente à gauche et à droite.

2. C est une fonction affine sur [60;100] donc de la forme C(p)=ap+b.

On doit avoir C(100)=450=100a +b.

Le problème de continuité ne se pose qu'en p=60. On a C(60)=60a+b mais pour que C soit continue, il faut aussi que ^{limp60−C}p=404,5×60=60ab. On doit donc résoudre le système :

100a+b=450 60a+b=310

Par soustraction, on obtient 40a=140 soit a=140/40=3,5 et b=310-60×3,5=100 donc pour p∈[60;100[, C(p)=100+3,5p.

Dérivabilité

➢ Exercice 2-6

Selon Herman Wold, la demande Q de beurre à Stockholm de 1925 à 1937 était liée au prix P par l'équation QP^1/2=38. Ecrire Q en fonction de P et déterminer ^dQ_dP .

QP^1/2=38 donc Q=38P^-1/2 et ^dQ_dP=−1

2 ×38×P

−1 2−1

=−19P

−3 2.

➢ Exercice 2-7

Etudier la fonction f(x)=-x³+4x²-x-6 (ensemble de définition, continuité, dérivabilité, sens de variation).

f est définie, continue, dérivable sur ^ℝ (c'est un polynôme).

Pour tout réel x, on a f'(x)=-3x²+8x-1.

Etude des racines et du signe de -3x²+8x-1

∆=8²-4×3×1=52 donc on a deux solutions : ^x1=−8⁵²

−2×3 =−8⁵²

−6 et

x2=−8−52

−2×3 =852

6 .

f' est donc positive ou nulle (signe contraire de a) entre les racines soit sur [x1;x2] et négative ailleurs. Ainsi f est croissante sur [x1;x2] et décroissante ailleurs.

➢ Exercice 2-8

Coût de production, coût marginal et coût moyen

Le coût total de production est la dépense minimale qu'une entreprise doit engager pour atteindre son niveau de production (c'est à dire une quantité produite q). Le coût total est la somme des coûts fixes CF(q) et des coûts variables CV(q). On a CF(q)=constante, ne dépendant pas de q. Donc le coût total s'écrit : C(q) = constante + CV(q).

A partir de C, nous pouvons définir la fonction coût moyen, qui est le coût pour une quantité produite. On le note CMo(q). Cette fonction est définie pour tout q>0 par

CMo(q)= ^Cq_q ^ .

Le terme marginal est relatif à la dernière unité ajoutée.

Ainsi, pour une production d'éléments indivisibles (par exemple des voitures, des

parapluies...) , le coût marginal Cma est le coût de production de l'unité supplémentaire soit CMa(q)=C(q+1)-C(q).

Pour une production d'éléments divisibles (quantité de céréales, volume d'un liquide ...), on peut considérer le coût supplémentaire pour une quantité ∆q supplémentaire. On obtient donc la variation absolue suivante du coût : C(q+∆q)-C(q).

La variation relative s'écrit alors ^Cq_q^q_q−q^{−Cq=Cq}_^q_q^{−Cq} .

On appelle coût marginal la variation relative du coût de production entrainée par une variation arbitrairement petite des quantités produites. Ainsi le coût marginal de

production CMa est donné par : ^limq0

Cqq−Cq

q . Si C est dérivable, on retrouve la définition de la dérivée de C en q.

Ainsi, si C est dérivable sur ]0;+∞[, on définit la fonction coût marginal par CMa (q)=C'(q).

On remarque que l'approximation au premier ordre de C(q) en 1 donne la relation dans le case où q concerne des produits indivisbles.

On s'intéresse à la fonction de coût suivante , pour tout q ≥ 0 : C(q)=0,04q³-0,9q²+10q+67,5.

1. Donner la fonction coût fixe CF.

2. Donner la fonction CMa , étudier son signe.

En déduire le tableau de variation de C sur [0;25].

3. Etudier la fonction coût moyen CMo, (on pourra montrer que

0,08q³−0,9q²−67,5=q−150,08q²0,3q4,5 ).

4. Terminer l'étude deCMa , puis tracer, dans un même repère, les trois fonctions C, CMa et CMo.

5. Montrer que le coût moyen admet un minimum. Pour quelle valeur de q? Si on appelle q0 cette valeur, calculer CMa (q0) et Cmo(q0). Que constate-t-on?

6. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de C en q=q0 puis la tracer.

Que peut-on dire de cette tangente?

1. CF est donné par C(0)=67,5. Donc CF (q)=67,5.

2. Pour tout q ≥ 0 : CMa (q)=C'(q)=0,12q²-1,8q+10.

∆=(-1,8)²-4×0,12×10=−1,56<0 CMa est de signe constant, du signe de CMa (0)>0.

q 0 25

Signe de C' +

Variation de C 67,5 380 3.Coût moyen CMo = ^Cq_q ^{=0,04q2−0,9q1067,5}_q .

Ainsi ^CMo'q=0,08q−0,9−67,5

q² =0,08q³−0,9q²−67,5

q² . q² étant positif pour tout x,

C_Mo'q est du signe de 0,08q³−0,9q²−67,5 .

0,08q³−0,9q²−67,5=q−150,08q²0,3q4,5 . Etudions le signe de ^{0,08q20,3q4,5} .

∆=0,3²-4×0,08×4,5=−1,35<0 donc 0,08q²0,3q4,5 est de signe constant, positif (signe pour la valeur 0) donc ^{0,08q3−0,9q2−67,5} est du signe de q-15. On a le tableau suivant : q 0 15 25 Signe de CMo' - 0 +

Variation de CMo

4. Pour tout q ≥ 0 : CMa (q)=0,12q²-1,8q+10, donc CMa '(q)=0,24q-1,8

Cette fonction est positive ou nulle pour q≥ 1,8/0,24 soit q≥ 7,5. Donc on a :

➢

q 0 7,5 25

Signe de CMo' - 0 +

Variation de CMo

5. CMo est strictement décroissante sur ]0;15]et strictement croissante sur [15;25] donc elle admet un minimum pour q0=15.

CMo (15)=10 et CMa (15) =10. Les deux fonctions sont donc égales pour q=15.

6. Soit M(x;y) un point de la tangente à la courbe représentative de C en q0=15. On a :

y−C15

x−15 =C '15 soit ^y−150_x−15⁼¹⁰ d'où y=10x. Cette droite passe par l'origine du repère.

➢ Exercice 2-9

Donner l'ensemble de définition des fonctions et l'ensemble de dérivabilité des fonctions et exprimer leur dérivée.

f1(x)=(x³-x)(5x⁴+2) ; f2(t)=t³+e^2t ; f3(x)=ln(4-x²); ^f4p=^7−2p ; ^f5x=lnx4x³ ;

f₆z=z^alnbz1 où a et b sont des paramètres non nuls, a est un entier positif non nul;

f7(x)=3^x ; f8(x)=5-2x.

Ici les formules utiles sont rappelées pour mémoire sans rigueur. Pour plus de précision, voir la fiche 6.

Fonction f1

la fonction f1 est définie pour tout réel donc sur ^ℝ . Elle est dérivable sur ^ℝ .

“Formule : dérivée du produit (uv)'=u'v+uv' “

∀ x ∈ ^ℝ , f1'(x)=(3x²-1)(5x⁴+2)+(x³-x)×5×4x³=15x⁶+6x²-5x⁴-2+20x⁶-20x⁴=35x⁶-25x⁴+6x²-2 Fonction f2

la fonction f2 est définie pour tout réel donc sur ^ℝ . Elle est dérivable sur ^ℝ .

“Formule : dérivée de (e^u)'=u'e^u “

∀ t ∈ ^ℝ , f2'(t)=3t²+2e^2t Fonction f3

la fonction f3 est définie pour tout réel vérifiant 4-x²>0. Ce trinôme a 2 racines 2 et -2. Il

est positif donc du signe contraire de a entre les racines. Ainsi, f3 est définie sur ]-2;2[.

Elle est dérivable sur ]-2;2[.

“Formule : dérivée de (ln u)'=u'/u “

∀ x ∈ ]-2;2[, f3'(x)= _4−x^−2x2 . Fonction f4

la fonction f4 est définie pour tout réel p vérifiant 7-2p≥ 0 soit p ≤ 7/2 soit p ≤ 3,5. Ainsi, f4

est définie sur ]-∞;3,5]. Elle est dérivable sur ]-∞;3,5[.

“Formule : dérivée de ( ^u )'= ₂^{u '}u “

∀ p ∈ ]-∞;3,5[, f4'(x)= ₂⁻²7−2p= −1

7−2p . Fonction f5

la fonction f5 est définie pour tout réel strictement positif. Ainsi, f5 est définie sur ]0;+∞[.

Elle est dérivable sur ]0;+∞[.

“Formule : dérivée de (uⁿ)'=nu'u^n-1 “

∀ x ∈ ]0;+∞[, ^f5'x=3lnx4x²×1 x4.

Fonction f6

la fonction f6 est définie pour tout réel z vérifiant bz+1> 0 soit z >-1/b (b≠0). Ainsi, f6 est définie sur ]-1/b;+∞[. Elle est dérivable sur ]-1/b;+∞[.

“Formule : dérivée de (ln u)'=u'/u et dérivée du produit (uv)'=u'v+uv' “

f '₆z=a z^a−1lnbz1 bz^a bz1 . Fonction f7(x)

la fonction f7 est définie pour tout réel x, écrivons : f7(x)=3^x =e^xln3. Elle est dérivable sur

ℝ .

“Formule : dérivée de (e^u)'=u'e^u '' f'7(x)=ln(3)e^xln3=ln(3)3^x , pour tout réel x.

Fonction f8(x)=5-2x

la fonction f8 est définie pour tout réel x. On a f8(x)=5-2x si 5-2x≥0 soit x≤5/2 2x-5 si 5-2x≤0 soit x≥5/2 f8 est dérivable sur ^ℝ −{2,5} avec f8'(x)=-2 si x < 5/2

2 si x > 5/2 étude en 2,5 :

lim_h0^ f₈2,5h−f₈2,5

h =lim_h0^ 22,5h−5−2×2,55

h =2 et

lim_h0⁻ f₈2,5h−f₈2,5

h =lim_h0⁻5−22,5h−52×2,5

h =−2 . Les deux limites sont différentes donc f8 n'est pas dérivable en 2,5 mais elle est continue.

➢ Exercice 2-10

Donner l'équation de la tangente à la représentation graphique de f(x)= ^x_x²2⁻¹1 au point d'abscisse x=1.

“Formule : dérivée de ^u_v^{'=u ' v−}_v2^uv' “

f existe pour tout réel x et f'(x)= ^{2xx21−x2−1×2x}

x²1² = 4x

x²1² pour tout réel x.

f'(1)=4/4=1 et f(1)=0.

Si M(x;y) est un point de la tangente alors on a : ^y−_x−1^{f1=f '1} donc _x−1^{y =1} donc y=x-1 est l'équation de la tangente à la courbe représentative de f en x=1.

➢ Exercice 2-11

Déterminer la dérivée logarithmique des fonctions f suivantes puis en déduire l'expression de f' (l'ensemble sur lequel la dérivée est définie n'est pas demandée).

1.g(x)=2x^x ; 2. f(x)=(x+1)(2x+1)(3x+1)

1. g(x)=2e^xlnx donc g(x)>0 donc ln(g(x))=ln(2e^xlnx)=ln2+xln(x).

Donc (ln(g(x)))'=(xln(x))'=ln(x) +x/x=ln(x)+1.

Ainsi, g(x)≠0 donc g'(x)/g(x)=ln(x)+1 donc g'(x)=g(x)(ln(x)+1) soit g'(x)= 2x^x(ln(x)+1).

2. Pour x tel que f(x)≠0,

ln(|f(x)|)=ln[|(x+1)(2x+1)(3x+1)|]=ln(|x+1|)+ln(|2x+1|)+ln(|3x+1|)

Donc [ln(|f(x)|)]'= _x1^{1 }_2x1^{2 }_3x³_1 ainsi pour les valeurs de x pour lesquelles f(x)≠0,

f 'x

fx= 1 x1 2

2x1 3

3x1 donc pour ^x∈ℝ−

{

}

f 'x=fx×[ 1 x1 2

2x1 3

3x1]=2x13x12x13x13x12x1.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 2-12

Démontrer par récurrence que pour tout entier n>0, _1×2^{1 }_2×3^{1 ...}_nn1^{1 =}_n1ⁿ . 1. Définition de la propriété

Soit P(n) la propriété définie pour n entier naturel >0 par : P(n) : '' _1×2^{1 }_2×3^{1 ...}_nn1^{1 =}_n1^{n n}.

2. Vérification de la propriété au rang de départ

Montrons que P(n) est vraie au premier rang (ici 1 mais le premier rang est souvent 0) : Pour n=1; _1×2^{1 =}_11¹ donc P(1) est vraie.

3. Vérification de l'hérédité

Héréditié : montrons que P(n) est héréditaire à partir du rang 1.

Supposons que pour UN entier n≥1, P(n) soit vérifiée.

On a donc : _1×2^{1 }_2×3^{1 ...}_nn1^{1 =}_n1ⁿ

Calculons _1×2^{1 }_2×3^{1 ...}_nn1^{1 }_{n1n2}¹ à partir de P(n) :

1 1×2 1

2×3... 1

nn1 1

n1n2= n

n1 1

n1n2= nn21

n1n2

=

On trouve alors que la propriété est vraie au rang n+1.

Donc P(n+1) est vérifiée.

4. Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 1 ET elle est héréditaire.

n²2n1

n1n2= n1²

n1n2=n1 n2.

Ainsi, ∀ n ≥1, _1×2^{1 }_2×3^{1 ...}_nn1^{1 =}_n1ⁿ .

➢ Exercice 2-13

Résoudre l'inéquation en x : 3x-x-1≥ x-(x-1).

Si x-1 ≥ 0 soit x≥ 1, l'inéquation devient 3x-(x-1)≥ x-(x-1) soit 3x≥ x qui donne 2x ≥ 0 soit x≥ 0 . Ceci étant toujours vrai, l'inéquation admet tout nombre x≥ 1 comme solution.

Si x-1 < 0 soit x< 1, l'inéquation devient 3x-(-x+1)≥ x-(x-1) soit 4x≥ 2 qui donne x≥ 0,5 avec x< 1. Donc, ici, les nombres compris entre 0,5 et 1 sont solutions.

Donc globalement, l'ensemble solution est S=[0,5;+∞[.

➢ Exercice 2-14

Si f(x)=

√

f(x)×f(x)=x donc ^{[f(x)×f(x)]'=x '} soit, en utilisant la dérivée d'un produit :

f '(x)×f(x)+f(x)×f '(x)=1 donc, ^{2f '(x)×f(x)=1} . Ainsi x étant non nul

f '(x)= 1 2f(x)= 1

2√^x .

➢ Exercice 2-15

Démontrer que la propriété qui vient d'être vérifiée dans l'ex 2.8 sur les relations entre les coûts de production, coûts moyens et coûts marginaux sont vraies dans le cas général.

On demande donc de montrer que si C(q) est le coût total, q la quantité produite,

CMoq=Cq

q le coût moyen, CMa le coût marginal et si q0 nimimise le coût moyen alors on a CMo(q0)=CMa(q0) et la tangente à C en q0 passe par l'origine.

Si q0 minimise le coût moyen CMo, alors CMo'(q0 )=0 et q0 ≠ 0.

A partir de ^CMoq=Cq

q , on dérive par rapport à q : ^{C 'Moq=qC 'q}_q^−C2 ^q . Or CMo'(q0 )=0 donc q0 C'(q0 )-C(q0 )=0 soit C'(q0 )=C(q0 )/q0 =CMo(q0 ). Donc CMa(q0 )=CMo(q0 ).

Equation de la tangente à C en q0 : ^y−C_x−^q_q ^0

0

=C 'q₀=C_Maq₀ donc

y−Cq0=CMaq0x−q0 donc

y=CMaq0x−q0Cq0=CMaq0x−q0CMaq0Cq0=CMaq0x car q0 C'(q0 )-C(q0 )=0.

Ainsi, la tangente à la courbe représentative de C en q0 passe par l'origine.

➢ Exercice 2-16

On considère la fonction f définie sur son ensemble de définition par f(x)=





x si x≠0

1 si x=0

1. quel est l'ensemble de définition de f?

2. Calculer la limite de f quand x tend vers 0; f est-elle continue en 0?

1. Pour tout réel x, 1+x²≥0, le seul problème porte sur 1-x². Il admet 2 racines : 1 et -1.

1-x² est positif (signe contraire de a) entre les racines soit sur [-1;1].

Donc f est définie sur [-1;1].

2. Le calcul de la limite de





x en 0 donne une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination, il est indispensable de multiplier haut et bas par















x





1x²−1−x² x





2x





Quand x tend vers 0, le terme du haut tend vers 0 et celui du bas vers 2 donc la limite est nulle. Ainsi lim_x0





x =0≠1 . Donc f n'est pas continue en 0.

➢ Exercice 2-17

En utilisant la propriété, ^limx0ln1x

x =1 , retrouver l'expression de la dérivée de la fonction logarithme pour tout x>0.

Pour trouver la dérivée de la fonction f si f(x)=ln(x), nous devons chercher :

lim_h0 lnxh−lnx

h =lim_h0

lnx1h

x−lnx

h =lim_h0

lnxln1h

x−lnx

h =lim_h0

ln1h x

h .

quand h → 0, ^h_x^0 mais nous devons faire apparaître ^h_x au dénominateur pour utiliser la limite donnée :

lim_h0

ln1h x

h =lim_h01 x

ln1h x h x

. Or ^limh0 1 x

ln1h x h x

=1 xlim_h0

ln1h x h x

=1 x×1=1

x. donc

lim_h0lnxh−lnx

h =1

x donc ^f'x=1_x pour tout x > 0.