Corrigé TD 4 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

(1)

Corrigé TD 4 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

Systèmes linéaires

Exercices obligatoires

➢ Exercice 4-1

Soit la matrice A=

(

^ab ³1

)

. Déterminer les nombres a et b tels que tr(A)=0 et det(A)=-10.

On a à résoudre le système :

{

^a^a ⁺^- ^3b¹ ⁼⁼ ⁻¹⁰⁰ . On trouve a=-1 et b=3.

➢ Exercice 4-2

Ecrire les systèmes suivants sous forme matricielle et les résoudre à l'aide du pivot de Gauss :

{

³^x^x¹¹ ⁺^{+ 5}^x^x²² ^{= 3}^{= 5} ²^x^x¹¹⁻³^+x²^x⁻²^+x^x³⁼⁰³⁼⁰ ^2x_6x¹^4x^2x₂₋¹^2x_3x²⁻₃₌₋₁₂^x³⁼⁸³⁼⁻³ ^.

On effectue L2 L2-3L1 . On effectue L2 L2/2

puis L1 L1-L2 . On aboutit à S={(5;-2)}.

{

²^x^x¹¹ ^-⁺ ^3x^x²² ⁺^- ^x^x³³ ^{= 0}^{= 0} On effectue L2 L2-0,5L1 .

{

²^x¹ ^- ^2,5³^x^x²² ⁺^- ^1,5^x³^x³ ^{= 0}^{= 0}

On effectue L2 L2/2,5 et L1 L1/2 donc

{

^x¹ ^{- 1,5}^x²^x² ^{+ 0,5}^- ^0,6^x^x³³ ^{= 0}^{= 0}

On effectue alors L1 L1+1,5L2 .

{

^x¹ ^x² ^{- 0,4}^{- 0,6}^x^x³³ ^{= 0}^{= 0} On aboutit à S={(0,4x3;0,6x3;x3) pour tout réel x3}.

On effectue alors L2 L2-2L2 .

{

³^x^x¹¹ ⁺^{+ 5}^x^x²² ^{= 3}^{= 5}

{

^x¹ ⁺ ²^x²^x² ⁼⁼ ⁻⁴³

{

²⁴^x^x¹¹ ^{+ 2}⁶^x^x²² ^-^{+ 2}^- ³^x^x^x³³³ ⁼⁼⁼ ⁻¹²⁻³⁸

(2)

On effectue alors L3 L3+1,5L2 . On a . On effectue L1 L1/2,

L2 L2/(-4), puis L3 L3/9 puis L1 L1+0,5L3 et L2 L2+L3 puis L1 L1-L2

Donc S={(0,5;-0,5;3)}.

➢ Exercice 4-3 Soit le système :

x+y+(2m−1)z=1 mx+y+z=1 x+my+z=3(m+1)

où m est un réel.

1. Pour quelles valeurs de m le système est-il de Cramer?

On effectue C2 C₂-C1 et C3 C₃-(2m-1)C1 :

Ce déterminant est nul si m=1 ou -1,5. Donc le système est de Cramer si m1 et de -1,5.

➢ 2. Résoudre le système pour m=0 puis pour m=1.

m=0 :

et

donc S={(2;0;1)}.

m=1 : on ne peut pas utiliser la méthode précédente.

{

²^x¹ ^{+ 2}^- ⁴⁶^x^x^x²²² ^-^{+ 4}^- ³^x^x^x³³³ ⁼⁼⁼ ⁻¹²⁻³¹⁴

{

²^x¹ ^{+ 2}^- ⁴^x^x²² ^-^{+ 4}³^x^x^x³³³ ⁼^{= 14}⁼ ⁻³⁹

{

^x¹ ⁺ ^x^x²² ^x³ ⁼⁼⁼ ^−0,5⁰³

{

^x¹ ^x² ^x³ ⁼⁼⁼ ^−0,5^0,5³

{

^mx^x^x ⁺⁺⁺ ^my^y^y ⁺⁺⁺ ⁽²^m−1)^z^z ^z ⁼⁼^{= 3(}^m+1)¹¹

|

^m¹¹ ^m^{1 2}¹ ^m−1¹¹

|

^m¹1 1−¹⁻⁰^mm ^1−2m2−2m⁰²^+m

|

⁼

^|

^1−m^1−m ¹⁻²²⁻²^m²^m⁺^m

^|

^{=(1−m)(−2}^m²^−m+3)

x=

|

^{1 1}^{1 1}^{3 0} ⁻¹¹¹

|

3 =6

3=2 et y=

|

^{1 1}^{0 1}^{1 3} ⁻¹¹¹

|

3 =0

3=0 et z=

|

^{1 1 1}^{0 1 1}^{1 0 3}

|

3 =3 3=1

(

^{1 1}^{0 1}^{1 0} ⁻¹¹¹

) |

^{1 1}^{0 1}^{1 0} ⁻¹¹¹

|

⁼³

(3)

Les 2 dernières équations sont incompatibles donc S=.

3. Selon le temps : résoudre le système pour m quelconque parmi les valeurs identifiées à la première question.

Si m=-1,5 on a : Si on effectue

L2 L2+1,5L1 et L3 L3-L1 , on aboutit à

Les deux dernières équations sont identiques donc On effectue L2 L2/2,5 :

Puis L1 L1-L2 ,

d'où S={(2z;1+2z;z) pour tout réel z}.

Si m  -1,5 et de 1 on a : déterminant=2(m-1)²(m+1,5) et

➢ Exercice 4-4

À l’accueil d’un musée on peut lire les tarifs suivants : Adultes (12 €) ; Enfants (6 €) ; Étudiants (8 €).

Voici les renseignements concernant les visites d’une journée : - 300 personnes ont visité le musée ce jour là,

- le nombre d'adultes augmenté du triple du nombre d'enfants est égal au nombre d'étudiants,

- 25% des étudiants ont payé plein tarif pour non présentation de la carte d'étudiant, - la recette de la journée s'élève à 2772€.

Déterminer le nombre d’adultes, d’enfants et d’étudiants qui ont visité le musée ce jour-là.

Soit x le nombre d'adultes, y le nombre d'enfants et z le nombre d'étudiants. On traduit l'énoncé par le système :

9z=0,758z+ 0,2512z. La résolution du système, par une méthode au choix, conduit à x=66 adultes, y=42 enfants et z=192 étudiants.

{

^x^x^x ⁺⁺⁺ ^y^y^y ⁺⁺⁺ ^z^z^z ^{= 1}^{= 1}^{= 6}

{

^−1,5^x^x ^x ⁺⁺^- ^1,5^y^y^y ^-⁺⁺ ^4z^z^z ⁼⁼⁼ ^−1,5¹¹

{

^x ⁺^- ^2,5^2,5^y^y^y ^-^-^{+ 5}⁴⁵^z^z^z ⁼⁼⁼ ^−2,5^2,5¹

{

^x ⁺ ^2,5^y^y ^{- 4}^{- 5}^z^z ⁼^{= 2,5}¹

{

^x ⁺ ^y^y ^{- 4}^{- 2}^z^z ^{= 1}^{= 1}

{

^x ^y ^{- 2}^{- 2}^z^z ^{= 0}^{= 1}

x=

|

^3(m+1)¹¹ ^m^{1 2}¹ ^m−1¹¹

|

2(m−1)²(m+1,5) = −2

m−1 et y=

|

^m¹^{1 3(m+1)}¹¹ ²^m−1¹¹

|

2(m−1)²(m+1,5) = 3m

m−1 et z=

|

^m¹¹ ^m¹¹ ^3(m+1)¹¹

|

2(m−1)²(m+1,5)= 1 1−m

{

¹²^x^x^x ⁺^{+ 3}^{+ 6}^y^y^y ⁺^-^{+ 9}^z^z^z ⁼⁼^{= 2772}³⁰⁰⁰

(4)

Pour aller plus loin

➢ Exercice 4-5

T. Haavelmo a conçu un modèle de l'économie américaine pour la période 1929-1941 basé sur les équations suivantes :

(i) c=0,712y+95,05 (ii) x=0,158(x+c)-34,30 (iii) y=c+x+s (iv) x=93,53

Ici x désigne l'investissement total, y le revenu disponible, s l'épargne totale des entreprises et c la consommation totale.

Résoudre ce système.

x=93,53 ; c=715,52063 ; y871,44752 ; s62,396888.

➢ Exercice 4-6

Pour quelles valeurs de a, b et c le système suivant a-t-il des solutions? Cherchez ces solutions quand elles existent.

x1−2x2x32x4=a x1x2−x3x4=b x₁7x₂−5x₃−x₄=c

Les transformations L2 L2-L1 et L3 L3-L1 conduisent à :

Si 3(b-a)c-a, le système n'a pas de solutions donc S=.

Si 3(b-a)=c-a, on a

L'ensemble solution est

S={( ^x³⁻⁴^x⁴₃^+a+2b ; ^2x³⁺^x₃⁴^+b−a ;x3;x4) pour tous réels x3 et x4}.

➢ Exercice 4-7

Dans le plan muni d'un repère, on donne les points suivants : A(2;2,5) ; B(-1;-5) et C(3;3).

1. Ces trois points passent par la parabole d'équation y=ax²+bx+c.

Ecrire le système de 3 équations à 3 inconnues a, b et c obtenu et sa forme matricielle.

2. Le résoudre et en déduire l'équation de la parabole.

3. Trouver les coordonnées du sommet de cette parabole.

Le système est . Son déterminant . C'est

{

^x¹ ^{- 2}³⁹^x^x^x²²² ⁺^-^- ²⁶^x^x^x³³³ ^{+ 2}^-^- ³^x^x^x⁴⁴⁴ ⁼⁼⁼ ^b−a^c−a^a

{

^x¹ ^{- 2}³^x^x²² ⁺^- ²^x^x³³ ^{+ 2}^- ^x^x⁴⁴ ⁼⁼ ^b−a^a

{

⁹^4a^a^a ^{+ 2}^-^{+ 3b}^b^b ⁺⁺⁺ ^c^c^c ^{= 2,5}⁼⁼ ⁻⁵³

^|

⁴¹⁹ ^{−1 1}²³ ¹¹

^|

^=12≠0

(5)

donc un système de Cramer . Donc

doncla parabole a pour équation y=-0,5x²+3x-1,5

Le sommet P de la parabole a pour abscisse ^−b₂_a⁼⁻³₋₁⁼³ donc les coordonnées du point sont 3 et -0,53²+33-1,5=3 donc P(3;3).

Exercices en plus pour réviser

➢ Exercice 4-8

Chercher les solutions du système suivant pour toutes les valeurs de p avec la méthode de votre choix :

pxy=1 x−yz=0

2y−z=3

On a le système . Calculons le déterminant

Si p=1 le système devient . Par la transformation

L2 L2-L1 , on a

Les deux dernières équations sont incompatibles donc S=.

Si p  1 , on a S=

{ ⁽

^p−1⁻² ^;³^p−1^p−1^;³^p−1^p⁺¹

⁾ }

^.

➢ Exercice 4-9

Résoudre les systèmes suivants avec le pivot de Gauss et Cramer (si possible) :

ax−by=1

bx+ay=2 , ^2x^x⁻^y7z=−^y5z=−¹⁵

−x−3y−9z=−5

x2y=6

−3x4y6z=30

−x−2y3z=8

{

^ax^bx ^-⁺ ^by^ay ⁼^{= 2}¹ on calcule . Si a=0 et b=0, S=.

Si a0 et b0 , S=

{ ⁽

^a+2^b^;²^a−b

⁾ }

^.

a=

|

^2,5⁻⁵³ ^{−1 1}²³ ¹¹

|

12 =−0,5 et b=

|

^{4 2,5 1}¹⁹ ^{−5 1}³ ¹

|

12 =3 et c=

|

⁴¹⁹ ⁻¹²³ ⁻⁵^2,5³

|

12 =−1,5

{

^px^x ⁺^- ²^y^y^y ⁺^- ^z^z ^{= 1}^{= 0}^{= 3}

|

¹⁰^p ⁻¹¹² ⁻¹⁰¹

|

⁼¹⁻^p

{

^x^x ⁺^- ²^y^y^y ⁺^- ^z^z ^{= 1}^{= 0}^{= 3}

{

^x ⁺ ⁻²²^y^y^y ⁺^- ^z^z ⁼⁼⁼ ⁻¹¹³

|

^a^b ^−b^a

|

^=a²^+b²

(6)

. On a

Le système est de Cramer. On trouve S=

{

⁽^2;⁴^;−1⁾

}

^.

On a

Le système est de Cramer. On trouve

S=

{ ⁽

^2;²^;¹⁴³⁰

⁾ }

^.

{

^−x²^x^x ⁺^-^- ³^y^y^y ^{+ 7}^{+ 5}^- ⁹^z^z^z ⁼⁼⁼ ⁻¹⁻⁵⁻⁵

|

⁻¹¹² ⁻¹⁻³¹ ⁻⁹⁵⁷

|

^=−12≠0

{

⁻³⁻^x^x^x ^{+ 2}^{+ 4}^- ²^y^y^y ^{+ 6}^{+ 3}^z^z ⁼^{= 30}⁼ ⁶⁸

|

⁻³⁻¹¹ ^{−2 3}²⁴ ⁰⁶

|

^=30≠0

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