TD 4 Chapitre 2 §6 Semestre 1-2015/2016

TD 4 Chapitre 2 §6 Semestre 1-2015/2016

L'intégration

Révisions (voir fiches 6 et 8)

➢ Exercice 4-1 (voir fiche 6)

1. Donner les dérivées de f1(x)=x⁷; f2(t)=4t^-3; f3(p)=e^5p, f4(x)=π² ainsi que les ensembles sur lesquelles les fonctions sont dérivables.

2. Trouver pour chaque fonction, une fonction dont elle est la dérivée.

➢ Exercice 4-2

Si f est continue sur ^ℝ et vérifie, pour trois réels donnés a, b et c

∫

b fxdx=8 et

∫

c fxdx=4 . Que vaut

∫

b fxdx ?

Primitives (voir fiche 8)

➢ Exercice 4-3

1. Donner les primitives des fonctions de x suivantes : x¹³, _e^{−14 x} , et 3e^px pour p entier relatif.

2. Donner les primitives de g(x)=3x⁴+5x²+2.

3. Donner LA primitive de g qui vaut 3 en 0.

➢ Exercice 4-4

1. Montrer que les primitives de (ax+b)^p (a et p réels avec a≠0 et p≠−1) sont de la forme

2. En déduire une primitive de 4−¹ x et 2x1⁴ .

➢ Exercice 4-5

Trouver les primitives de (x-1)² et de ^x3−3x4_x .

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1

ap1axb^p1C.

➢ Exercice 4-6

Lors de la fabrication d'un produit, le coût marginal en fonction de la production de x unités est donné par C'(x)=αe^βx+γ où β≠0 et où les coûts fixes sont égaux à C0. Déterminer la fonction de coût total C(x).

➢ Exercice 4-7 (valeur moyenne)

Le profit d'une entreprise est donné par une fonction du nombre d'unités x de production.

On a, pour tout x>0

Donner l'ensemble de dérivabilité de f et donner f'(x). En déduire le tableau de variation de f. Tracer la courbe représentative de f sur [1 000; 3 000].

Sachant que la valeur moyenne entre deux réels a et b (a<b) d'une fonction continue sur [a;b] est donnée par _b−a¹

∫

Calcul d'aires

➢ Exercice 4-8

Calculer l'aire sous la courbe représentative de g(x)=1/x² entre 1 et 10.

Calcul d'intégrales à l'aide de primitives (voir fiche 9)

➢ Exercice 4-9

f est une fonction définie sur ^ℝ par f(x)= x si x ∈ [0;1]

2-x si x ∈ ]1;2]

0 sinon 1. Tracer la courbe représentative de f sur [-1;3].

2. Montrer que f est continue.

3. Calculer

∫

b fxdx pour a<0 et b>0.

4. Calculer E=

∫

bx fxdx pour a<0 et b>0.

➢ Exercice 4-10

Calculer les intégrales suivantes , ^I1=

∫

6(x²+6)dx , ^I2=

∫

2(x−3)(x−9)dx ,

I₃=

∫

1 e^−2x+1dx , ^I4=

∫

∫

8(√^2x+√^3x)dx .

Calcul d'intégrales à l'aide d'une intégration par parties (voir fiche 9)

➢ Exercice 4-11

A l'aide d'une intégration par parties, calculer I=

∫

2xlnxdx .

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fx=4 000−x−3000 000

x .

Pour aller plus loin

➢ Exercice 4-12

Pour trois réels strictement positifs quelconques r, s et t, calculer

∫

1x^px^qx^rdx .

➢ Exercice 4-13

1. Il est évident que pour une fonction continue f sur [a;b], a et b étant des réels quelconques; f(x) peut s'écrire 1×f(x). Utiliser cet artifice pour démontrer que

∫

b ftdt=bfb−afa−

∫

btf 'tdt . On suppose que f est continue, dérivable et que sa dérivée est continue sur [a;b].

2. Application : calcul de

∫

10lntdt .

➢ Exercice 4-14

En utilisant deux intégrations par parties successives, calculer

∫

2x²e^xdx .

➢ Exercice 4-15

Calcul d'intégrales à l'aide d'un changement de variable

Le changement de variable est une technique qui permet de calculer certaines intégrales.

Pour l'utiliser certaines précautions sont à prendre.

Si on cherche à calculer I=

∫

b fuxu 'xdx , on doit vérifier que u est une fonction dérivable sur [a;b] avec une dérivée continue et que f est continue sur u([a;b]) alors , on a :

I=

∫

b fuxu 'xdx=

∫

ub ftdt .

Méthode : identifier les fonctions f et u, calculer u' puis écrire la fonction à intégrer sous la forme

Il faut ensuite changer les bornes de l'intégrale.

A l'aide de cette méthode, calculer I=

∫

52x−1dx puis ^I=

∫

1xdx .

➢ Exercice 4-16

Intégrales généralisées

Les intégrales sur un intervalle infini sont fréquentes en statistique et en économie.

Si f est une fonction continue pour tout x ≥ a, alors

∫

b fxdx est définie pour tout b ≥ a.

Si la limite de cette intégrale existe (et est finie) quand b tend vers +∞, on dit que f est intégrable sur [a;+∞[ et on définit

∫

∞ fxdx=limb∞

∫

b fxdx. On dit que l'intégrale impropre

∫

∞ fxdx convergne. Si la limite n'existe pas,on dit qu'elle diverge.

Calculer

∫

∞e^−kxdx où k est un réel non nul quelconque.

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fuxu'x.