CORRECTION TD 0 Semestre 1-2015/2016

CORRECTION Semestre 1-2015/2016 TD 0

Des rappels utiles

Manipulation d'égalités et de relations à connaître

Ce premier paragraphe a pour objectif de revoir des relations, parfois simples et connues depuis longtemps mais indispensables pour réussir cette première année et pas seulement en mathématiques.

➢ Exercice 0-1

Considérons le modèle macroéconomique de base :

(i) Y=C+I ; (ii) C = a+bY où Y est le produit national brut (PNB), C la consommation et I l'investissement total. a et b sont des paramètres strictement positifs du modèle avec b<1.

Exprimer Y en fonction de I et des paramètres a et b.

D'après (i) Y=C+I et C= a+bY (ii) donc Y=a+bY+I soit Y-bY=a+I donc Y(1-b)=a+I.

b est différent de 1 donc Y= _1−b^{a }_1−b^I .

➢ Exercice 0-2

Trouver L en fonction de Y0 et des autres paramètres (A et K sont strictement positifs) : Y0 = A^K^L^

Attention, penser aux cas particuliers. Rien n'est précisé au sujet de ^ ni de L.

Les valeurs possibles de L dépendent de la valeur de ^ . Dans le cas le plus défavorable, L doit être strictement positif.

Si ^=0,Y0=K^ , ainsi Y0 ne dépend pas de L.

Si ^≠0, , donc

➢ Exercice 0-3

Ecrire à l'aide de ln2 : ln ² , à l'aide de ln 5 : ln(0,2) aide : ∀ a et b réels strictement positifs, ln(a^b)=b lna ln 2 = ^{ln 212}=1

2ln 2 et ^{ln0,2=ln1}5=−ln5 Bien sûr, signaler que la formule est encore vraie pour b<0.

➢ Exercice 0-4

L^=Y₀K^−

A^ L=Y₀

1

K

−



A .

Soit f(t)=a²-(t-a)² où a est une constante.

Calculer f(-a), f(2a), 3f(a)+f(-2a) puis développer et réduire l'expression de f(t).

f(-a)=a²-(-a-a)²=a²-4a²=-3a² f(2a)=a²-(2a-a)²=a²-a²=0

3f(a)+f(-2a)=3(a²-(a-a)²)+a²-(-2a-a)²=4a²-9a²=-5a²

développement : factorisation :

f(t)=a²-t²+2ta-a²=2ta-t² f(t)=(a+t-a)(a-t+a)=t(2a-t)

➢ Exercice 0-5

Le graphique ci-dessous représente dans différents cas, les comportements d'une variable C en fonction de la variable q. Attribuer à chaque cas, la courbe correspondante :

1. C est proportionnelle à q.

2. C est proportionnelle au carré de q.

3. C est inversement proportionnelle à q.

4. ln(C) est proportionnelle à q.

5. ln(C) est une fonction affine de ln(q).

1. C est linéaire donc la courbe est une droite passant par l'origine : les croix.

2. C de la forme Kq² où K est une constante donc la courbe est une portion de parabole : les losanges.

3. C de la forme K/q où K est une constante donc la courbe est une portion d'hyperbole : les plus.

4. ln(C) de la forme Kq où K est une constante donc C=e^Kq et la courbe est une fonction exponentielle passant par (0;1) : les points noirs.

5. ln(C)=aln(q)+b=ln(q^a)+b donc C=q^ae^b=Kq^a donc la courbe est une fonction puissance passant par l'origine : les carrés.

Résolution d'équations

➢ Exercice 0-6

D est la fonction demande et S la fonction offre, toutes deux dépendent du prix p. A l'équilibre, offre=demande. Si D(p)=75-3p et S(p)=20+2p, quelle est la valeur du prix à l'équilibre?

75-3p=20+2p⇔-3p-2p=20-75⇔−5p=-55⇔p=-55/(-5)=11 A l'équilibre le prix est de 11 unités.

➢ Exercice 0-7

Résoudre les équations en x, p, z ou t suivantes :

x³=8, x⁶=729, p⁵=-243, p=7,2 , z⁴=-16, _z¹⁴₌₁₆ , t⁴=-33, t⁵=-33, 7^x=16 807, (1+t/100)³=1,008

Equation x ³ =8

3 est entier impair et 8 positif, donc on a une seule solution ₈¹³₌₂ . Equation x =729⁶

6 est entier pair et 729 positif, donc on a deux solutions ₇₂₉¹⁶_=3et−729¹⁶₌₋₃ . Equation p ⁵ =-243

5 est entier impair et -243 négatif, donc on a une seule solution ₋₂₄₃¹⁵₌₋₃ . Equation t ⁴ =-33

4 est entier pair et -33 négatif, donc cette équation n'a pas de solution (une puissance paire de tout nombre réel est positive).

Equation t ⁵ =-33

5 est entier impair et -33 négatif, donc cette équation admet la solution ₋₃₃¹⁵ . Ce nombre n'admet pas d'écriture décimale.

Equation 7 ^x =16 807

Ici, l'inconnue est en exposant : on ne résoud plus l'équation en prenant la puissance inverse mais en passant par la relation suivante : 7 =e^{x xln7} donc l'équation devient

e^xln7 = 16 807, en prenant le logarithme népérien de chaque membre (possible car tout est

strictement positif) :

ln(e^xln7)= ln(16 807) soit x ln7=ln(16 807) donc x=ln(16 807)/ln7 . Equation (1+t/100)³ =1,008

Prenons la puissance un tiers de chaque membre : 1+t/100=1,008^1/3. Donc t/100=1,008^1/3-1 donc t=( 1,008^1/3-1)×100.

➢ Exercice 0-8

Trouver une solution évidente de 3x²+5x-8=0, en déduire la deuxième. Retrouver le

résultat en utilisant le discriminant.

1 est une solution évidente. Pour un trinôme de la forme ax²+bx+c, si x1 et x2 sont les deux racines réelles (si elles existent), alors x1+x2= ^−b_a et x1×x2= ^c_a . De l'une ou l'autre des relations, nous pouvons trouver x2, sachant que x1=1.

1×x2= ⁻⁸₃ donc x2= ⁻⁸₃ .

Avec le discriminant : ∆=25+96=121 donc ^x1=−5¹²¹

6 =1 et ^x2=−5−121 6 =−16

6 =−8 3 .

➢ Exercice 0-9

Résoudre l'équation en x suivante : 15x-x²=0

Ici, on peut factoriser par x et aboutir à une équation produit : x(15-x)=0. Le produit est nul si x=0 ou 15-x=0 soit x=15. On a donc 2 solutions 0 et 15.

On peut aussi utiliser le discriminant et procéder comme pour tout trinôme mais c'est plus long.

Résolution d'inéquations

➢ Exercice 0-10

Déterminer l'intervalle de ^ℝ dans lequel se trouve x qui vérifie 5x+2 ≥ -3.

5x+2 ≥ -3 ⇔ 5x ≥ -3 – 2 ⇔ x ≥ −1 donc x ∈ [−1;+∞[.

➢ Exercice 0-11

Trouver les valeurs de l'entier n qui vérifient 1,1ⁿ≥2.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+ ∞ [ et ∀n, 1,1ⁿ et 2 sont strictement positifs donc ln(1,1ⁿ) ≥ ln(2).

En appliquant la relation ln(a^b)=b ln(a) valide pour tous réels b quelconque et a strictement positifs, il vient : n ln(1,1)≥ ln(2).

1,1>1 donc ln(1,1)>ln(1) soit ln(1,1)>0 donc n≥ ln(2)/ln(1,1) c'est à dire n ≥ 7,3.

Tous les entiers supérieurs ou égaux à 8 sont donc solution.

➢ Exercice 0-12

1. Résoudre l'inéquation en p : p²-2p+4 ≥ 0.

2. En déduire l'ensemble de définition de la fonction fp=



4. Quel est l'ensemble des x pour lesquels ln(x²+5x-6) existe?

1. Equation du second degré.

∆=(-2)²-4×4=-12<0 donc l'équation n'admet pas de solution réelle donc p²-2p+4 est de signe constant (par exemple le signe de sa valeur en zéro, ici 4 donc >0). Donc S= ^ℝ . 2. f est définie si p²-2p+4≥0. Le trinôme est positif partout ainsi f est définie pour tout réel.

3. Pour x≠2, ^3x6_x−2^{=3⇔3x6=3}x−2⇔3x−3x=−6−6⇔0=−12 L'équation n'a pas de solution.

Pour x≠2, ^3x6_x−2 ^{=5⇔3x6=5x−2⇔}3x−5x=−10−6⇔−2x=−16⇔x=8 une solution : 8.

3x+6=0⇔x=-2 et x-2=0⇔x=2. On construit le tableau de signes suivant :

x -∞ -2 2 +∞

3x+6 - 0 + + x-2 - - 0 +

3x6

x−2 + 0 - + Donc g(x)<0 pour x∈]−2;2[ .

4. ln(x²+5x-6) existe si et seulement si x²+5x-6 > 0.

Recherche des racines du trinôme :

∆=5²-4×(−6)=49 > 0 et 49=7 , on a donc deux solutions réelles x1= ⁻⁵⁻⁷₂ =-6 et x2= ^−57₂ =1.

Le trinôme est strictement positif, qui est le signe de a, en dehors des racines soit sur ]-∞;-6[ ∪ ]1;+∞[.

Equations de droites

➢ Exercice 0-13

1. Trouver l'équation de la droite de coefficient directeur 0,5 et passant par le point (2;3).

2. Trouver l'équation de la droite passant par les points (2;3) et (5;8).

1. Le coefficient directeur étant donné par ^_^y_x , on peut écrire, pour un point M(x;y) de la droite, _x−2^y−3=0,5 soit y-3=0,5(x-2) donc y=0,5x+2.

2. De la même façon, utilisons le coefficient directeur, pour lequel on peut donner plusieurs expressions selon les points utilisés : _x−2^y−3=8−3₅₋₂⁼⁵₃ donc y-3= ⁵₃ (x-2) soit

y=5 3x−10

33=5 3x−1

3 donc l'équation de la droite est ^y=5₃^x−1₃ .

➢ Exercice 0-14

Le prix HT en euros noté C facturé par une entreprise de transport pour l'acheminement d'un colis, est une fonction affine par intervalles du poids en kilogramme, noté p.

1. Ecrire l'expression de C(p) pour p ∈ ]0;60[ sachant que :

- Pour un colis de moins de 10 kg, le tarif est forfaitairement fixé à 75€.

- Pour un colis d'au moins 10 kg mais de moins de 30 kg, on paie 5€ par kg à quoi s'ajoutent des frais fixes pour un montant de 25€.

- Pour un colis d'au moins 30 kg mais d'au plus 60 kg, on paie 10% de moins par kg que dans le cas précédent tandis que les frais fixes s'élèvent à 40€.

2. Représenter la fonction C dans un repère.

1. Une baisse de 10% pour un prix de 5€ donne un nouveau prix de 5(1-10/100)=4,5€.

C(p) = 75 pour 0 < p < 10

25 + 5p pour 10 ≤ p < 30 40 + 4,5p pour 30 ≤ p < 60

➢ Exercice 0-15

Déterminer la pente de la tangente au graphe de f au point spécifié : f1(x)=3x+2 en (0;2) f2(x)=x²-1 en (1;0) f3(x)=2+ ³_x en (3;3)

La pente de la tangente au graphe d'une fonction f en un point d'abscisse x0 est donnée par f'(x0).

f1'(x)=3 donc f1'(0)=3 f2'(x)=2x donc f2'(1)=2 f3'(x)=-3/x² donc f3'(3)=-1/3 .

➢ Exercice 0-16

Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de f(x)=3-x-x² en x=1.

La pente de la tangente est donnée par f'(1). Or, pour tout réel x, f'(x)=-1-2x. Donc f'(1)=-3. f(1)=1 donc si M(x;y) est un point de la tangente à la courbe en x=1, alors

y−1

x−1=−3 . Ainsi, y-1=-3(x-1) donc y=-3x+4.

La récurrence

Nous rencontrerons plusieurs fois ce mode de raisonnement qu'il sera indispensable de maîtriser.

➢ Exercice 0-17

Démontrer par récurrence que ∀ n, un entier, 3+3²+3³+ ... +3ⁿ= ¹₂^{3n1−3} . 1. Définition de la propriété

Soit P(n) la propriété définie pour n entier naturel >0 par : P(n) : ''3+3²+3³+ ... +3ⁿ= ¹₂^{3n1−3} “.

2. Vérification de la propriété au rang de départ

Montrons que P(n) est vraie au premier rang (ici 1 mais le premier rang est souvent 0) :

Pour n=1, ¹₂^{311−3=3} donc P(1) est vraie.

3. Vérification de l'hérédité

Hérédité : montrons que P(n) est héréditaire à partir du rang 1.

Supposons que pour UN entier n≥1, P(n) soit vérifiée.

On a donc : 3+3²+3³+ ... +3ⁿ= ¹₂^{3n1−3} . Calculons 3+3²+3³+ ... +3ⁿ+3ⁿ⁺¹ à partir de P(n) :

3+3²+3³+ ... +3ⁿ+3ⁿ⁺¹ = ¹₂^{3n1−3} +3ⁿ⁺¹ =3^{n+1 1}₂^1−3₂ = ³₂^×3n1−3₂^=3n2₂⁻³⁼¹₂^{3n2−3 .} On trouve alors que la propriété est vraie au rang n+1.

Donc P(n+1) est vérifiée.

4. Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 1 ET elle est héréditaire.

Ainsi, ∀ n ≥1, 3+3²+3³+ ... +3ⁿ= ¹₂^{3n1−3} .

Les dérivées

➢ Exercice 0-18

Donner les ensembles de définitions de chaque fonction, dériver ces dernières et donner l'ensemble des réels sur lesquels les dérivées existent :

f1(x) = 5x⁸ ; f2(x) = ₁₀₀^x100 ; f3(x) =



f1

f1 est définie sur ^ℝ et f1'(x) = 5×8x^8-1= 40x⁷ définie pour tout réel x.

f2

f2 est définie sur ^ℝ et f2'(x) = ¹⁰⁰₁₀₀^×x100−1 =x⁹⁹ définie pour tout réel x.

f3

f3 est définie sur ^ℝ =[0;+∞[ et f3(x) =



sur ]0;+∞[.

f4

f4 est définie sur ^{ℝ*=ℝ−{0}} et f4'(t) = 2×t^2-1+3-(-4)t^-4-1= 2t+3+4t^-5 définie sur .

ℝ^*=ℝ−{0} f5

f5 est définie sur ^ℝ et f5'(t) = e^t définie sur ^ℝ . f6

f6 est définie sur ^ℝ* =]0;+∞[ et f6'(x) = 1/x définie sur ]0;+∞[.

f7

f7 est définie sur ^ℝ et f7'(x) = 0 (c'est une constante) définie sur ^ℝ .

Exercices supplémentaires

➢ Exercice 0-19

Soit f(x)= _1x^x 2 . Donner l'ensemble de définition de f. Montrer que, ∀x réel, f(-x)=-f(x).

Que cela signifie t-il? Montrer que pour tout réel x non nul, f( ¹_x )=f(x).

∀x réel, 1+x²>1 donc non nul ainsi la fonction f est définie sur ^ℝ .

∀x réel, f(-x)= _{1−x}^{−x 2=−}_1x^{x 2} =-f(x) donc f est impaire ainsi son graphe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

f1 x =

1 x 11

x

2= 1 x x²1

x²

=1 x× x²

x²1= x

1x² =f(x).

➢ Exercice 0-20

Résoudre les équations en x suivantes : ln(3-x)=-1 et 2e^x=5.

Equation ln(3-x)=-1

Le logarithme népérien n'existe que pour des valeurs strictement positives donc, on doit avoir 3-x>0 soit x<3.

Prenons l'exponentielle des deux membres : e^ln(3-x) = e^-1. Par définition de l'exponentielle, ceci conduit à 3-x=e^-1. Donc x=3-e^-1<3. La solution est donc 3-e^-1.

Equation 2e ^x =5

On a e^x=5/2>0, ce qui donne, en prenant le logarithme de chaque membre : ln( e^x)=ln(5/2)

D'où x=ln(5/2).

➢ Exercice 0-21 Résoudre x²+1 ≤ 1.

x²+1 ≤ 1 ⇔ x² ≤ 0. x² étant positif ou nul, on a une seule solution x=0.

➢ Exercice 0-22

Déterminer quels sont les nombres p qui vérifient ^2p−3_p−1 > 3-p Les nombres p solution doivent être différents de 1.

2p−3

p−13−p⇔2p−3

p−1−3−p0⇔2p−3−3−pp−1

p−1 0⇔2p−3−4pp²3

p−1 0⇔−2pp² p−1 0

soit ^p_p−1^p−20 .

Remarque : On peut aboutir à une inéquation utilisable en choisissant de multiplier l'inéquation de départ par p-1 mais dans ce cas, le signe de p-1 est important. S'il est positif, l'inégalité est inchangée sinon, elle change de sens.

Il ne reste plus qu'à construire un tableau de signes :

p −∞ 0 1 2 +∞

p - 0 + + + p-2 - - - 0 +

p-1 - - 0 + +

pp−2

p−1 - 0 + - 0 + L'ensemble solution est ]0;1[ ∪ ]2;+∞[.